Обсуждение и разбор марафонских задач

[rockclimber]

VAL в сообщении #1309968 писал(а):

Но что-то пока не видно обычной реакции.

Это как?
Я уже почти решил первую задачу, а вам всё мало???

[VAL]

rockclimber в сообщении #1309970 писал(а):

VAL в сообщении #1309968 писал(а):

Но что-то пока не видно обычной реакции.

Это как?
Я уже почти решил первую задачу, а вам всё мало???

Ну я же пояснил, что нет критики, указания на ляпы...
Впрочем, на почте и в ЛС критика уже появилась. Так что, все в порядке

[vyv2]

VAL в сообщении #1310003 писал(а):

Ну я же пояснил, что нет критики, указания на ляпы...
Впрочем, на почте и в ЛС критика уже появилась. Так что, все в порядке

Решения на задачу ММ234 действительно принимаются до 20.09.2017 ?

[VAL]

vyv2 в сообщении #1315341 писал(а):

Решения на задачу ММ234 действительно принимаются до 20.09.2017 ?

А где Вы увидели 20.09? Там написано 29.09.
А год?.. Ну я же обещал ляпы

[fiviol]

ММ234: >Определим $f(n)$ как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи $n$, увеличенное на квадрат этой цифры.

Для однозначного $n$ при удалении последней цифры получается пустая запись, а это не число. Я правильно понимаю, что $f(n)$ не определена для однозначного аргумента?

[VAL]

fiviol в сообщении #1321738 писал(а):

ММ234: >Определим $f(n)$ как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи $n$, увеличенное на квадрат этой цифры.

Для однозначного $n$ при удалении последней цифры получается пустая запись, а это не число. Я правильно понимаю, что $f(n)$ не определена для однозначного аргумента?

Нет. Значение функции $f$ от однозначного числа равно его квадрату.

[VAL]

Начали поступать решения задач XXIV Марафонского конкурса.
Это хорошо!
Но...
В связи с этим выяснилось, что можно превратно истолковать условие. В частности, ММ236.
Цитрирую:

Цитата:

Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениЯМ всех чисел из второй и третьей групп.

Обратите внимание на выделенное окончание. То есть, речь идет о равенстве трех чисел, а не двух.

[VAL]

Лето, как всегда, пролетело незаметно.
А это значит (кроме прочих последствий), что очередной Марафонский конкурс вступает в свою решающую стадию. В том смысле, что пора присылать решения.
Что и сделали некоторые участники.
Не отставайте!

[VAL]

===========ММ231===============

ММ231 (4 балла)

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ египетского треугольника $ABC$ выбрали точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Оказалось, что треугольники $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равновелики. Какую часть площади $ABC$ составляет площадь треугольника $A_1B_1C_1$ при условии, что последний - прямоугольный?

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. А также набросок авторского решения.

Пусть $AC = 3, BC = 4, AB = 5$.
Введем обозначения как на рис. 1.

Из равновеликости треугольников $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ следует, что

$${5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y).$$

Отсюда, $x=\frac43z, y=\frac53z$ или $\frac{12}{3-z}, y=\frac{5(3-z)}{z}$. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых $z$ ($0<z<3$) дает недопустимые $x$.
Таким образом, равенство площадей треугольников $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равносильно тому, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.
Пусть теперь угол $C_1$ - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов $\overrightarrow{A_1C_1}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$, получим $z=\frac32$ или $z=\frac{48}{25}$. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей $\frac14$. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению $\frac{193}{625}$.
Если вершиной прямого угла является $B_1$, то $z=0$ или $z=\frac{21}{23}$. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей $\frac{193}{529}$.
Наконец, если вершиной прямого угла является $A_1$, то оба значения $z=3$ и $z=\frac{27}2$ не входят в область допустимых значений.

Обсуждение

Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения).
Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).
Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равносильна тому, что точки $A_1, B_1$ и $C_1$ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "незаметным фактом", стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$.
Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).

Награды

За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Владислав Франк - 4;
Юрий Варламов - 4
Владимир Чубанов - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Виктор Филимоненков - 3;

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1337554 писал(а):

Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Владислав Франк - 4;
Юрий Варламов - 4
Владимир Чубвнов - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Виктор Филимоненков - 3;

rockclimber - это Юрий Варламов или Владимир Чубвнов?

[VAL]

kotenok gav в сообщении #1337567 писал(а):

rockclimber - это Юрий Варламов или Владимир Чубвнов?

Владимир Чубвнов - это Владимир Чубанов (уже исправил).
А rockclimber'а здесь нет.

Кстати, а Вас почему нет?

[grizzly]

VAL в сообщении #1337554 писал(а):

прочие треугольники никто не исследовал

Я пытался с самого начала посмотреть общий случай. И там тоже что-то похожее: два решения с бОльшим углом на бОльшей стороне, одно -- на средней, нет решений на меньшей. (С соображениями подобия, которых я не заметил, это наблюдение хорошо согласуется.)

Но меня привлекло другое: каждый раз условие равенства площадей малых треугольников даёт совпадение точек пересечения медиан большого и внутреннего треугольника -- это независимо от совпадения каких-то углов до в этих треугольниках. (Я по естественным соображениям искал связь с пересечением медиан.) Это наблюдение мне понравилось, но я застрял на нём в обе стороны: ни из него ничего не смог получить, ни его не смог вывести из условия равенства площадей.

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1337576 писал(а):

Кстати, а Вас почему нет?

Занят был. В пятницу присоединюсь к решающим.

[VAL]

grizzly в сообщении #1337592 писал(а):

Но меня привлекло другое: каждый раз условие равенства площадей малых треугольников даёт совпадение точек пересечения медиан большого и внутреннего треугольника -- это независимо от совпадения каких-то углов до в этих треугольниках. (Я по естественным соображениям искал связь с пересечением медиан.) Это наблюдение мне понравилось, но я застрял на нём в обе стороны: ни из него ничего не смог получить, ни его не смог вывести из условия равенства площадей.

Насколько я понимаю (интуитивно, без вычислений), совпадение центров тяжести - прямое следствие того, что $A_1, B_1$ и $C_1$ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Т.е. центры тяжести будут совпадать и при отсутствии прямого угла у $A_1B_1C_1$.

[grizzly]

VAL в сообщении #1337596 писал(а):

Насколько я понимаю (интуитивно, без вычислений), совпадение центров тяжести - прямое следствие того, что $A_1, B_1$ и $C_1$ делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении.

Да, похоже. Значит, недокрутил

VAL в сообщении #1337596 писал(а):

Т.е. центры тяжести будут совпадать и при отсутствии прямого угла у $A_1B_1C_1$.

Да, я имел в виду произвольный треугольник внутри произвольного треугольника. Если дано только равенство площадей малых треугольников.