===========ММ203===============ММ203 (5 баллов)
Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.
РешениеПривожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Сергея Половинкина.
ОбсуждениеВ отличие от первых двух задач, ММ203 оказалась трудным орешком. И для участников, и для ведущего.
Предлагая эту задачу, я располагал обоснованием оптимальности известного мне решения (точнее, бесконечного числа решений с одинаковым ответом), основные идеи и степень строгости которого примерно совпадают с аналогами, изложенными в решениях Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.
Как и Анатолий (но не Олег), я полагал такая строгость не оставляет сомнений в правильности ответа, но не является логически безупречной.
Возникает вопрос, зачем же тогда я оценил всего 5-ю баллами сложность задачи, которую я сам не смог решить.
Ответ прост. Как и в ряде предыдущих задач, я заранее предполагал оценивать в 5 баллов решения подобные авторскому, а более строгие или даже более оптимальные решения (в существование коих я ни секунды верил) поощрять дополнительными призовыми баллами. Точно так же я не раз поступал при назначении цены предыдущих задач Марафона. Правда, обычно я заранее сообщал о подобных тонкостях в примечаниях к условии. А на этот раз не стал, дабы не отпугнуть наиболее робких участников
И, как водится, заложив в условие вышеописанную мину замедленного действия, я сам же на ней и подорвался.
Казалось бы, какие проблемы? На ММ203 поступило всего 7 решений (еще одно свидетельство трудности задачи). В каждой из семи есть правильный ответ. Но...
Как оценивать решения в которых:
ничего не говорится об оптимальности приводимого разреза (разрезов);
утверждается, что автор уверен в оптимальности решения, но не знает, как это обосновать;
утверждается, что автор полагает, что есть более оптимальный разрез, который найти не удалось;
приводится обоснование оптимальности, которое,
на мой взгляд, не является строгим;
приводится обоснование оптимальности, которое,
на мой взгляд, не является обоснованием...
?
А если добавить, что некоторые участники ограничились одним вариантом оптимального разреза, другие привели несколько, третьи указали, что подходящих разрезов бесконечно много...
В общем я, привычно затруднялся, распределяя призовые баллы. И, после долгих мучений, занялся почти уравниловкой.
Особо отмечу слова, выделенные в предыдущих причитаниях жирным шрифтом. Высокая квалификация участников, утверждающих, что оптимальность решения обоснована, не вызывает сомнений. Поэтому я не исключаю, что именно я чего-то недоглядел и недооценил. Если это так... Что ж, эта тема недаром называется "Обсуждение и разбор марафонских задач", а не только разбор. Буду рад пересмотреть свои оценки, если на то будет достаточное основание.
На этот раз участники почти не пытались обобщать задачу. Хотя рассмотрение ситуации, в которой квадрат режется на другое частей, казалось бы, напрашивается. Однако единственным, кто задался этим вопросом, был Олег Полубасов. Но и у него не все получилось. По крайней мере, предложенные Олегом разрезы на 9 и 10 равновеликих частей не оптимальны:
Суммарная длина отрезков разбиения равна
т.е. меньше чем у Олега.
А здесь суммарная длина отрезков разбиения равна
т.е. вновь меньше чем у Олега.
У меня, было, возникла гипотеза, что при разрезании квадрата на
частей наименьшая суммарная длина разреза будет равна
. Однако, она рухнула уже при
:
Легко убедиться, что суммарная длина разреза меньше
ровно на длину двух синих отрезков.
НаградыЗа решение задачи ММ203 начислены следующие баллы: Олег Полубасов - 6 призовых баллов, Анатолий Казмерчук - 5 призовых баллов; Сергей Половинкин, Евгений Гужавин, Виктор Филимоненков, Валентина Колыбасова (Ариадна) и Алексей Извалов - по 4 призовых балла.
Эстетическая оценка задачи - 5 баллов
достигается, если во внутренних узлах пересекается по три прямые, а во внешних ровно по две.
сразу получаем 
, но при 
не удаётся удовлетворить полученному условие во внешних вершинах. Так что 
.
для всех 
, меньших 13.
задач? Не только придумать примерно 
задач, но ещё и отобрать из них 
конкурсных? Уму нерастяжимо 
найти все возможные 
, при которых множество 
можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в 
является максимальным элементом какого-то класса, то по условию оно должно делиться на 
. Очевидно, максимальный элемент каждого класса должен иметь вид 
и такой класс будет содержать ровно 
элементов. Так как все классы будут содержать разное количество элементов, то общее количество элементов не превосходит 
. Отсюда следует оценка 
или 
. Покажем, что для каждого такого 
существует требуемое разбиение. Пусть 
. Разобьем исходное множество на подмножества следующим образом: для всех 
положим 
. 
. Также видим, что 
. Теперь построим требуемые классы: 
для всех 
являются соответственно числа 
, и 
.
.
, где 
. В итоге я решил считать безупречными все принципиально правильные обоснования, даже если они недостаточно подробны (но все же присутствуют 
?
. По сути, ответ на этот вопрос почти сам собой получается при поиске ответа на вопрос задачи. Я поощрил одним призовым баллом участников, явно (и без погрешностей) указавших количество решений при каждом 
. Я не стал давать за это дополнительные баллы. Возможно, тут подсознательно сработало мое негативное отношение к этому определению. Официальные же отмазки таковы:
