2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Математический марафон
Сообщение30.09.2013, 00:09 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
Традиционный график Математического марафона "один тур зимой, другой - летом" потихоньку скатился к системе "весна-осень". Зато теперь для очередного тура можно с полным основанием использовать раскрученный бренд "Осенний марафон".

Особенностью XIX тура является отсутствие тематического конкурса. Не то, чтобы это осознанное решение ведущего, но как-то не сложилось. Хотя в предлагаемых задачах участники без труда заметят следы попыток сохранить тематический конкурс. Как будет дальше, ответить пока не готов. Но всегда готов выслушать (а иногда даже учесть :-)) пожелания участников.

Познакомиться с решениями задач XIX-го тура и обсудить их можно здесь.

========= ММ181 ==========

Разминка

ММ181 (3 балла)

Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013?


========= ММ182 ==========

Продолжаем разминаться

ММ182 (3 балла)

Назовем натуральное число n суперделимым, если:
1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;
2) для любого нетривиального подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.
Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел.


========= ММ183 ==========

Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением

ММ183 (3 балла)

Про пять чисел $a,b,c,d,e$ известно, что $a<b<c<d<e$. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел.

========= ММ184 ==========

Как же без графов?

ММ184 (7 баллов)

Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.
Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе?


========= ММ185 ==========

Очередной раз режем квадрат

ММ185 (5 баллов)

Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.

========= ММ186 ==========

Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...

ММ186 (7 баллов)

В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $12$ км, а до буксира "Омега" - $4\sqrt{13}$.
В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по $12\sqrt5$
Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.

========= ММ187 ==========

Можно обойтись без эллиптических кривых

ММ187 (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(a,b)$, таких что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1}= 1369$.
Существуют ли пары, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = 2013$?

========= ММ188 ==========

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

ММ188 (9 баллов)

1. Пусть $M = \{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}$. Подмножество множества $M$ назовем хорошим, если существуют такие векторы $a,b,c,d$ трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные), что все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у $M$?
2. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 4, и четырехмерного пространства.
3. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 3, и трехмерного пространства.

========= ММ189 ==========

Псевдогеометрия

ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.

========= ММ190 ==========

Настоящая геометрия

ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.
==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение26.05.2014, 15:08 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
20-й тур Математического марафона.

Наконец-то стартует юбилейный, 20-й тур Математического марафона.
С одной стороны, в рамках этого тура не проводится никакого дополнительного тематического конкурса.
С другой стороны, сам тур тематический - треугольный. Конечно, лучше было бы сделать треугольным 21-й тур. Но, боюсь, в этом случае, инкубационный период 20-го пришлось бы отложить еще на несколько месяцев. А марафонцы и без того (хочется верить) заждались. Поэтому треугольным будет 20-й.

Публикую задачи прямо сейчас, дабы желающим было чем заняться во время отпусков и каникул. В то же время, учитывая, что не у всех в летние месяцы есть регулярный доступ к Интернету (например, ведущий проводит часть лета без инета), прием решений начинается лишь в сентябре.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ191===============

ММ191 (4 балла)

Рассматриваются тройки чисел $a \le b \le c$, не превосходящих данного натурального числа n. Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных?


===========ММ192===============

ММ192 (5 баллов)

Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?


===========ММ193===============

ММ193 (6 баллов)

Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b?
Примечания:
участники первой партии определяются жребием;
для определенности будем считать, что $b \le a$.


===========ММ194===============

ММ194 (6 баллов)

Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?


===========ММ195===============

ММ195 (7 баллов)

Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m.


===========ММ196===============

Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186

ММ196 (9 баллов)

1. Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно.
2. Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.
3. Когда корабль B находился ближе всего к маяку, расстояние между A и C было 40 миль.
4. Когда корабль C находился ближе всего к маяку, расстояние между A и B было 14 миль.
5. В 12:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
6. В 13:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
7. В 14:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
8. В 15:00 корабль B пересек маршрут корабля A.
9. В 16:00 корабль A пересек маршрут корабля B.
Найти скорость каждого корабля.
Примечание: Все корабли и маяк - материальные точки.

Последние задачи тура посвящены триангуляции многоугольников


==========================

В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,146,147,150, под многоугольником понимается фигура, ограниченная плоской несамопересекающейся замкнутой ломаной, никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой.

===========ММ197===============

ММ197 (5 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников, одной прямой. Найти все возможные значения k для $n = 2014$.


===========ММ198===============

ММ198 (8 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s для $n = 20$.


===========ММ199===============

В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные "дыры". Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.)

ММ199 (5 баллов)

Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?


===========ММ200===============

ММ200 (8 баллов)

Обозначим через $T(m)$ максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.)
При каком наименьшем m значение отношения $\frac{T(m)}m$ достигает 4?

Примечание:
13 баллов - это условная цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем у ведущего.

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение31.05.2015, 19:43 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
21-й тур Математического марафона

После затянувшейся паузы стартует очередной тур Марафона
Впрочем, активная фаза, как и в прошлом году, начнется осенью.

Особенностью 21-го тура ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.
Я пытался сделать так, чтобы компьютерные вычисления были лишь вспомогательным инструментом решения.
Получилось ли это у меня - судить вам.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ201===============

ММ201 (3 балла)

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

===========ММ202===============

ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor  \{x\}$?

===========ММ203===============

ММ203 (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

===========ММ204===============

ММ204 (5 баллов)

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

===========ММ205===============

ММ205 (7 баллов)

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

===========ММ206===============

Задачи ММ205 и ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

ММ206 (11 баллов)

Каждое из $n$ натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно $k$ натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) $k = 18$;
2) $k = 20$;
3) $k = 22$;
4) $k = 202$.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.
Полагаю, эти результаты давно усилены. Но найти в сети сведения об этом я не смог.

===========ММ207===============

ММ207 (13 баллов)

Обозначим через $A(a,d)$ максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно $a$ натуральных делителей, второе - $a+d$, третье - $a+2d$ и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и знаменателем $d$).
1) найти наибольшее возможное значение $A(n,1)$;
2) найти наибольшее возможное значение $A(n,3)$;
3) найти $A(2,2)$;
4) найти $A(4,2)$;
5) доказать, что при подходящем n $A(n,2) \ge 8$.

===========ММ208===============

ММ208 (7 баллов)
От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

===========ММ209===============

ММ209 (9 баллов)
Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

===========ММ210===============

ММ210 (13 баллов)

1. Пусть $М = \{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC $(a < b < c)$ и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел $\{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем $a \le b \le c$ и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение21.05.2016, 20:23 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
22-й конкурс в рамках Математического марафона

Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.

В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в ПРАВИЛА МАРАФОНА внесены некоторые уточнения.

22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках.
Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник.

Решения задач XX-го тура можно посмотреть и обсудить здесь.

===========ММ211===============

ММ211 (3 балла)

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

===========ММ212===============

ММ212 (4 балла)

Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров.

===========ММ213===============

ММ213 (4 балла)

1. Пусть $H = \{h_1, h_2, \dots h_f\}$, где $f$ - количество граней, а $h_i$ - число сторон i-й грани. Какое наименьшее значение может принимать $f-|H|$ ?
2. Пусть $g_i$ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения $i$ . Могут ли все $g_i$ не превышать 2?

===========ММ214===============

ММ214 (4 балла)

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

===========ММ215===============

ММ215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

===========ММ216===============

ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число $n$ красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно $n$ натуральных делителей, кратно $n$.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида $k^7$, где $k$ - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида $7^k$, где $k$ - некоторое натуральное число?

===========ММ217===============

ММ217 (6 баллов)

Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ шестигранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке $O$. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

===========ММ218===============

ММ218 (5 баллов)

Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.

===========ММ219===============

ММ219 (8 баллов)

Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?

===========ММ220===============

ММ220 (15 баллов)

Найти наименьшее $v$ такое, что существует многогранник, имеющий $v$ вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего $v+1$ вершину и 2016 диагоналей, не существует.

==========================

Познакомиться с решениями задач XXII-го тура и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение22.04.2017, 22:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
23-й конкурс в рамках Математического марафона

Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим арифметике и комбинаторной геометрии. Третью можно условно озаглавить "Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ". Окажется ли этот сон кошмарным, узнаем осенью.

Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).

Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.

Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ221===============

ММ221 (4 балла)

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $3x^4 + 2y^3 = 37^z$ ?


===========ММ222===============

ММ222 (5 баллов)

На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
Пусть $n$ – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом $n+1$?


===========ММ223===============

ММ223 (6 баллов)

Рассмотрим две задачки.

1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?

Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5


===========ММ224===============

ММ224 (6 баллов)

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.


===========ММ225===============

ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ имеет два целых корня.


===========ММ226===============

ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число $n$ счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель $n$ равен количеству натуральных делителей $n$.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?


===========ММ227===============

ММ227 (7 баллов)

Пусть $n = \prod_{i=1}^s p_i^{a_i}$ - каноническое разложение $n$. Обозначим через $sopf(n)$ число $p_1+p_2+...p_s$.
Назовем натуральное число $k$ слабым, если уравнение $x = k\cdot sopf(x)$ неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.


===========Терминология ММ228-230===============

Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.

Изображение

Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.
Внешним циклом конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: $(1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2)$.
Выпуклыми вершинами внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.
Обратными вершинами назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.
Элементарными отрезками назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.
Элементарными многоугольниками назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.
Впадиной назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.
Вектором граней конфигурации назовем упорядоченный набор из $n-2$ чисел (где $n$ – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – $[6, 8, 1, 0, 0]$.


===========ММ228===============

ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.

Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?


===========ММ229===============

ММ229 (7 баллов)

Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:
1) количество прямых;
2) количество элементарных многоугольников:
3) количество выпуклых вершин;
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;
7) количество обратных вершин;
8) количество впадин;
9) количество сторон внешнего контура?

Примечание: Вася – умный.


===========ММ230===============

ММ230 (15 баллов)

Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?

==========================

Посмотреть решения задач XXIII конкурса можно здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение03.05.2018, 23:58 
Заслуженный участник


27/06/08
3313
Волгоград
24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ231===============

ММ231 (4 балла)
Решения принимаются до 08.09.2018

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ египетского треугольника $ABC$ выбрали точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Оказалось, что треугольники $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равновелики. Какую часть площади $ABC$ составляет площадь треугольника $A_1B_1C_1$ при условии, что последний - прямоугольный?

===========ММ232===============

ММ232 (6 баллов)
Решения принимаются до 15.09.2018

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение $x^3+y^3=z^3-i$ для каждого $i \in \{1, 2, 4\}$ ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

===========ММ233===============

ММ233 (5 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
Решения принимаются до 22.09.2018

При каких значениях параметра $a$ множество точек плоскости, задаваемых системой
$$\begin{cases}
(x - a + 1)^2 + (y - 3)^2 \le 80, \\
(x - 3)^2 + (y - 4a + 1)^2 \le 20a^2, \\
|4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| = 230 -  2a\end{case}$$
является кругом?

===========ММ234===============

ММ234 (5 баллов)
Решения принимаются до 29.09.2017

Функция $g(n)$ натурального аргумента $n$ задается так:
Пусть $n$ натуральное число. Определим $f(n)$ как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи $n$, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, $f(576) = 57 + 36 = 93$.
Тогда $g(n)  = |\{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dots \}|$.
Пусть $a$ и $b$ – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что $g(a) = g(b) + 26$?

===========ММ235===============

ММ235 (7 баллов)
Решения принимаются до 06.10.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

===========ММ236===============

ММ236 (7 баллов)
Решения принимаются до 13.10.2018

Натуральные числа от 1 до $4n$ разбили на четыре группы по $n$ чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.

===========ММ237===============

ММ237 (7 баллов)
Решения принимаются до 20.10.2018

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку $A$ из $S_{10}$ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: $A^6$ – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов $A$ – числа Фибоначчи.
Даня: В $S_{10}$ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен $A$.
Маня: Хм, уравнение $X^2=B$ не может иметь в $S_{10}$ ровно 3 решения ни при каком $B$.
Саня: Более того, количество решений уравнения $X^2=B$ в $S_{10}$ не может быть нечетным ни при каком $B$.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка $A$.
Зина: $A^5$ имеет столько же циклов, сколько и $A$
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в $A$.
Найдите $A$.

===========ММ238===============

ММ238 (7 баллов)
Решения принимаются до 27.10.2018

Вася написал на доске $k$ последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - $V$.
Петя написал $k$ последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - $P$.
Оказалось, что $2018 < \frac VP < 2019$. При каком наименьшем $k$ такое возможно?

===========ММ239===============

ММ239 (10 баллов)
Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней семиугольники;
b) более половины граней семиугольники;
с) не менее половины граней восьмиугольники;
d) более половины граней восьмиугольники;
e) не менее половины граней девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

===========ММ240===============

ММ240 (13 баллов)
Решения принимаются до 01.12.2018

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
==========================

Решения присылайте на val-etc на Яндексе или в ЛС.
Не забывайте оценить эстетическую сторону задач.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group