2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Математический марафон
Сообщение30.09.2013, 00:09 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
Традиционный график Математического марафона "один тур зимой, другой - летом" потихоньку скатился к системе "весна-осень". Зато теперь для очередного тура можно с полным основанием использовать раскрученный бренд "Осенний марафон".

Особенностью XIX тура является отсутствие тематического конкурса. Не то, чтобы это осознанное решение ведущего, но как-то не сложилось. Хотя в предлагаемых задачах участники без труда заметят следы попыток сохранить тематический конкурс. Как будет дальше, ответить пока не готов. Но всегда готов выслушать (а иногда даже учесть :-)) пожелания участников.

Познакомиться с решениями задач XIX-го тура и обсудить их можно здесь.

========= ММ181 ==========

Разминка

ММ181 (3 балла)

Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013?


========= ММ182 ==========

Продолжаем разминаться

ММ182 (3 балла)

Назовем натуральное число n суперделимым, если:
1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;
2) для любого нетривиального подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.
Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел.


========= ММ183 ==========

Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением

ММ183 (3 балла)

Про пять чисел $a,b,c,d,e$ известно, что $a<b<c<d<e$. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел.

========= ММ184 ==========

Как же без графов?

ММ184 (7 баллов)

Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.
Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе?


========= ММ185 ==========

Очередной раз режем квадрат

ММ185 (5 баллов)

Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P.

========= ММ186 ==========

Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...

ММ186 (7 баллов)

В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло $12$ км, а до буксира "Омега" - $4\sqrt{13}$.
В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по $12\sqrt5$
Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой".

Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки.

========= ММ187 ==========

Можно обойтись без эллиптических кривых

ММ187 (6 баллов)

Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел $(a,b)$, таких что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является натуральным числом.
Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1}= 1369$.
Существуют ли пары, для которых $\frac{a^2+b^2}{ab+1} = 2013$?

========= ММ188 ==========

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

ММ188 (9 баллов)

1. Пусть $M = \{\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}\}$. Подмножество множества $M$ назовем хорошим, если существуют такие векторы $a,b,c,d$ трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные), что все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у $M$?
2. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 4, и четырехмерного пространства.
3. Тот же вопрос для случая, когда $M$ - множество сочетаний множества $\{a,b,c,d,e\}$ по 3, и трехмерного пространства.

========= ММ189 ==========

Псевдогеометрия

ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.

========= ММ190 ==========

Настоящая геометрия

ММ190 (12 баллов)

Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?

Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.
==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение26.05.2014, 15:08 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
20-й тур Математического марафона.

Наконец-то стартует юбилейный, 20-й тур Математического марафона.
С одной стороны, в рамках этого тура не проводится никакого дополнительного тематического конкурса.
С другой стороны, сам тур тематический - треугольный. Конечно, лучше было бы сделать треугольным 21-й тур. Но, боюсь, в этом случае, инкубационный период 20-го пришлось бы отложить еще на несколько месяцев. А марафонцы и без того (хочется верить) заждались. Поэтому треугольным будет 20-й.

Публикую задачи прямо сейчас, дабы желающим было чем заняться во время отпусков и каникул. В то же время, учитывая, что не у всех в летние месяцы есть регулярный доступ к Интернету (например, ведущий проводит часть лета без инета), прием решений начинается лишь в сентябре.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ191===============

ММ191 (4 балла)

Рассматриваются тройки чисел $a \le b \le c$, не превосходящих данного натурального числа n. Каких троек больше, тех, которые могут быть длинами сторон некоторого треугольника, или остальных?


===========ММ192===============

ММ192 (5 баллов)

Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами, не превосходящими данного натурального числа n.
Каких треугольников больше: остроугольных или тупоугольных?


===========ММ193===============

ММ193 (6 баллов)

Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b?
Примечания:
участники первой партии определяются жребием;
для определенности будем считать, что $b \le a$.


===========ММ194===============

ММ194 (6 баллов)

Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали 6 и разбили их на две тройки. При этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация?


===========ММ195===============

ММ195 (7 баллов)

Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m.


===========ММ196===============

Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186

ММ196 (9 баллов)

1. Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно.
2. Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.
3. Когда корабль B находился ближе всего к маяку, расстояние между A и C было 40 миль.
4. Когда корабль C находился ближе всего к маяку, расстояние между A и B было 14 миль.
5. В 12:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
6. В 13:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
7. В 14:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.
8. В 15:00 корабль B пересек маршрут корабля A.
9. В 16:00 корабль A пересек маршрут корабля B.
Найти скорость каждого корабля.
Примечание: Все корабли и маяк - материальные точки.

Последние задачи тура посвящены триангуляции многоугольников


==========================

В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,146,147,150, под многоугольником понимается фигура, ограниченная плоской несамопересекающейся замкнутой ломаной, никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой.

===========ММ197===============

ММ197 (5 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников, одной прямой. Найти все возможные значения k для $n = 2014$.


===========ММ198===============

ММ198 (8 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s для $n = 20$.


===========ММ199===============

В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники, которые могут иметь многоугольные "дыры". Будем говорить, что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности, в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.)

ММ199 (5 баллов)

Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?


===========ММ200===============

ММ200 (8 баллов)

Обозначим через $T(m)$ максимально возможное количество треугольников, на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.)
При каком наименьшем m значение отношения $\frac{T(m)}m$ достигает 4?

Примечание:
13 баллов - это условная цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем у ведущего.

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение31.05.2015, 19:43 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
21-й тур Математического марафона

После затянувшейся паузы стартует очередной тур Марафона
Впрочем, активная фаза, как и в прошлом году, начнется осенью.

Особенностью 21-го тура ориентированность (не всех, но большинства задач) на использование компьютера.
Я пытался сделать так, чтобы компьютерные вычисления были лишь вспомогательным инструментом решения.
Получилось ли это у меня - судить вам.

Познакомиться с решениями задач XX-го тура и обсудить их можно здесь.

===========ММ201===============

ММ201 (3 балла)

Для каждого натурального $k$ найти все возможные $n$, при которых множество $\{1, 2, ..., n\}$ можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в $k$ раз больше количества элементов класса.

===========ММ202===============

ММ202 (5 баллов)

При каких значениях параметра a разрешимо уравнение $x^2 - a = \lfloor x \rfloor  \{x\}$?

===========ММ203===============

ММ203 (5 баллов)

Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.

===========ММ204===============

ММ204 (5 баллов)

Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.

===========ММ205===============

ММ205 (7 баллов)

Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016?

===========ММ206===============

Задачи ММ205 и ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

ММ206 (11 баллов)

Каждое из $n$ натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно $k$ натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) $k = 18$;
2) $k = 20$;
3) $k = 22$;
4) $k = 202$.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.
Полагаю, эти результаты давно усилены. Но найти в сети сведения об этом я не смог.

===========ММ207===============

ММ207 (13 баллов)

Обозначим через $A(a,d)$ максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно $a$ натуральных делителей, второе - $a+d$, третье - $a+2d$ и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и знаменателем $d$).
1) найти наибольшее возможное значение $A(n,1)$;
2) найти наибольшее возможное значение $A(n,3)$;
3) найти $A(2,2)$;
4) найти $A(4,2)$;
5) доказать, что при подходящем n $A(n,2) \ge 8$.

===========ММ208===============

ММ208 (7 баллов)
От двух до пяти.

Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,.

===========ММ209===============

ММ209 (9 баллов)
Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39

Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.

===========ММ210===============

ММ210 (13 баллов)

1. Пусть $М = \{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC $(a < b < c)$ и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?
3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел $\{ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc\}$ могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем $a \le b \le c$ и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)

Примечание.
Получить ответ для каждого из случаев:
1) рассматриваются только невырожденные треугольники;
2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой).

==========================

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение21.05.2016, 20:23 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
22-й конкурс в рамках Математического марафона

Старожилы Марафона, наверняка, обратили внимание, что привычное слово "тур" заменено на "конкурс". Это сделано, чтобы подчеркнуть самостоятельность этого соревнования.

В связи с этим и рядом других накопившихся изменений в ПРАВИЛА МАРАФОНА внесены некоторые уточнения.

22-й конкурс - тематический. Во всех задачах тура, кроме ММ216, речь пойдет о выпуклых многогранниках.
Во всех задачах, где речь идет о многогранниках, под словом "многогранник" подразумевается выпуклый многогранник.

Решения задач XX-го тура можно посмотреть и обсудить здесь.

===========ММ211===============

ММ211 (3 балла)

Доказать, что при любом четном $f > 4$ существует многогранник, имеющий $f$ граней, все грани которого четырехугольники.

===========ММ212===============

ММ212 (4 балла)

Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров.

===========ММ213===============

ММ213 (4 балла)

1. Пусть $H = \{h_1, h_2, \dots h_f\}$, где $f$ - количество граней, а $h_i$ - число сторон i-й грани. Какое наименьшее значение может принимать $f-|H|$ ?
2. Пусть $g_i$ означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения $i$ . Могут ли все $g_i$ не превышать 2?

===========ММ214===============

ММ214 (4 балла)

1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?
2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны?

===========ММ215===============

ММ215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

===========ММ216===============

ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число $n$ красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно $n$ натуральных делителей, кратно $n$.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида $k^7$, где $k$ - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида $7^k$, где $k$ - некоторое натуральное число?

===========ММ217===============

ММ217 (6 баллов)

Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ шестигранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке $O$. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться?

===========ММ218===============

ММ218 (5 баллов)

Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер.

===========ММ219===============

ММ219 (8 баллов)

Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?

===========ММ220===============

ММ220 (15 баллов)

Найти наименьшее $v$ такое, что существует многогранник, имеющий $v$ вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего $v+1$ вершину и 2016 диагоналей, не существует.

==========================

Познакомиться с решениями задач XXII-го тура и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение22.04.2017, 22:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
23-й конкурс в рамках Математического марафона

Какой-то единой тематикой задачи 23-го конкурса не объединены. Однако, легко разбить конкурсные задачи на три группы. Две из них посвящены традиционно любимым ведущим арифметике и комбинаторной геометрии. Третью можно условно озаглавить "Сон абитуриента в ночь перед ЕГЭ". Окажется ли этот сон кошмарным, узнаем осенью.

Выполняя взятые на себя обязательства, я постарался сделать задачи не слишком трудными. Впрочем, это замечание не касается последней задачи (оценка трудности которой - сама по себе трудная задача).

Еще одна цель, которую я преследовал, составляя задачи - избавиться от чрезмерного перекоса в сторону компьютерщины. Впрочем, от самого компьютера участникам избавляться не стоит, кое-где он пригодится.

Более ранний, по сравнению с предыдущими, старт конкурса не окажет существенного влияния на его дальнейший календарь. Как обычно, активная фаза конкурса начнется осенью. Это не значит, что нельзя решать задачи и присылать решения уже сейчас.

Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ221===============

ММ221 (4 балла)

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $3x^4 + 2y^3 = 37^z$ ?


===========ММ222===============

ММ222 (5 баллов)

На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
Пусть $n$ – наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом $n+1$?


===========ММ223===============

ММ223 (6 баллов)

Рассмотрим две задачки.

1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?

Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?

Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5


===========ММ224===============

ММ224 (6 баллов)

В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи — 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.


===========ММ225===============

ММ225 (6 баллов)

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $(2a+3)x^2 + xa + 3a - 1 = 0$ имеет два целых корня.


===========ММ226===============

ММ226 (5 баллов)

Назовем натуральное число $n$ счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель $n$ равен количеству натуральных делителей $n$.
А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?


===========ММ227===============

ММ227 (7 баллов)

Пусть $n = \prod_{i=1}^s p_i^{a_i}$ - каноническое разложение $n$. Обозначим через $sopf(n)$ число $p_1+p_2+...p_s$.
Назовем натуральное число $k$ слабым, если уравнение $x = k\cdot sopf(x)$ неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.
Доказать, что сильных чисел бесконечно много.
Найти наименьшее слабое число.
Доказать, что слабых чисел бесконечно много.


===========Терминология ММ228-230===============

Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.

Изображение

Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.
Внешним циклом конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: $(1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2)$.
Выпуклыми вершинами внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.
Обратными вершинами назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.
Элементарными отрезками назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.
Элементарными многоугольниками назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.
Впадиной назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.
Вектором граней конфигурации назовем упорядоченный набор из $n-2$ чисел (где $n$ – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – $[6, 8, 1, 0, 0]$.


===========ММ228===============

ММ228 (4 балла)
От двух до пяти.

Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?


===========ММ229===============

ММ229 (7 баллов)

Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:
1) количество прямых;
2) количество элементарных многоугольников:
3) количество выпуклых вершин;
4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;
5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;
6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;
7) количество обратных вершин;
8) количество впадин;
9) количество сторон внешнего контура?

Примечание: Вася – умный.


===========ММ230===============

ММ230 (15 баллов)

Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?

==========================

Посмотреть решения задач XXIII конкурса можно здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение03.05.2018, 23:58 
Заслуженный участник


27/06/08
3246
Волгоград
24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
Те, кому это необходимо, могут освежить в памяти (или узнать) ПРАВИЛА МАРАФОНА.

===========ММ231===============

ММ231 (4 балла)
Решения принимаются до 08.09.2018

На сторонах $AB, BC$ и $AC$ египетского треугольника $ABC$ выбрали точки $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. Оказалось, что треугольники $AB_1C_1, BC_1A_1$ и $CA_1B_1$ равновелики. Какую часть площади $ABC$ составляет площадь треугольника $A_1B_1C_1$ при условии, что последний - прямоугольный?

===========ММ232===============

ММ232 (6 баллов)
Решения принимаются до 15.09.2018

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение $x^3+y^3=z^3-i$ для каждого $i \in \{1, 2, 4\}$ ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

===========ММ233===============

ММ233 (5 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
Решения принимаются до 22.09.2018

При каких значениях параметра $a$ множество точек плоскости, задаваемых системой
$$\begin{cases}
(x - a + 1)^2 + (y - 3)^2 \le 80, \\
(x - 3)^2 + (y - 4a + 1)^2 \le 20a^2, \\
|4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| = 230 -  2a\end{case}$$
является кругом?

===========ММ234===============

ММ234 (5 баллов)
Решения принимаются до 29.09.2017

Функция $g(n)$ натурального аргумента $n$ задается так:
Пусть $n$ натуральное число. Определим $f(n)$ как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи $n$, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, $f(576) = 57 + 36 = 93$.
Тогда $g(n)  = |\{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), \dots \}|$.
Пусть $a$ и $b$ – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что $g(a) = g(b) + 26$?

===========ММ235===============

ММ235 (7 баллов)
Решения принимаются до 06.10.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

===========ММ236===============

ММ236 (7 баллов)
Решения принимаются до 13.10.2018

Натуральные числа от 1 до $4n$ разбили на четыре группы по $n$ чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.

===========ММ237===============

ММ237 (7 баллов)
Решения принимаются до 20.10.2018

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку $A$ из $S_{10}$ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: $A^6$ – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов $A$ – числа Фибоначчи.
Даня: В $S_{10}$ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен $A$.
Маня: Хм, уравнение $X^2=B$ не может иметь в $S_{10}$ ровно 3 решения ни при каком $B$.
Саня: Более того, количество решений уравнения $X^2=B$ в $S_{10}$ не может быть нечетным ни при каком $B$.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка $A$.
Зина: $A^5$ имеет столько же циклов, сколько и $A$
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в $A$.
Найдите $A$.

===========ММ238===============

ММ238 (7 баллов)
Решения принимаются до 27.10.2018

Вася написал на доске $k$ последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - $V$.
Петя написал $k$ последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - $P$.
Оказалось, что $2018 < \frac VP < 2019$. При каком наименьшем $k$ такое возможно?

===========ММ239===============

ММ239 (10 баллов)
Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней семиугольники;
b) более половины граней семиугольники;
с) не менее половины граней восьмиугольники;
d) более половины граней восьмиугольники;
e) не менее половины граней девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

===========ММ240===============

ММ240 (13 баллов)
Решения принимаются до 01.12.2018

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
==========================

Решения присылайте на val-etc на Яндексе или в ЛС.
Не забывайте оценить эстетическую сторону задач.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group