"Категорный" vs "некатегорный" подход

[Padawan]

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

пусть у нас есть индуктивная система $(V_i, \varphi_{ij})$ конечномерных хаусдорфовых TVS, тогда прямой предел этой системы изоморфен как TVS некоторому гильбертовому пространству. Доказательство: на конечномерном TVS есть ровно одна хаусдорфова топология, поэтому ситуация эквивалентна $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \to ...$ со стрелками "вложение в первые $n-1$ координат", поэтому результатирующее пространство как множество будет $\cup_i \mathbb{R}^i$ а топология будет как у прямого предела (множество замкнутое титтк пересечение с любым $\mathbb{R}^n$ замкнуто). А это ровно и есть гильбетово пространство как TVS.

На этом пространстве любой линейный функционал непрерывен, а в гильбертовом - не любой. Значит, это пространство не изоморфно гильбертову пространству как топологическое векторное пространство.

kp9r4d в сообщении #1209523 писал(а):

Вообще вторая мысль, которая сразу на ум пришла: это то, что гильбертовы - это объекты с базисом, а значит это просто свободные объекты в категории TVSов и именно так на них нужно смотреть, но я теперь проверю тщательнее

Нет, свободный объект в категории хаусдорфовых топологических векторных пространств - это как раз и есть Ваш индуктивный предел конечномерных пространств. Любое отображения множества $\{e_n=(0,\ldots,0,1,0,0,\ldots)\}_{n=1}^\infty$ в хаусдорфово топологическое векторное пространство однозначно продолжается до линейного отображения. И это линейное отображение будет непрерывным, т.к. его ограничение на любое $\mathbb R^n$ непрерывно.

kp9r4d в сообщении #1209510 писал(а):

Конечно, это не очень удовлетворительная конструкция, хотелось бы, чтобы они получались "процедурой пополнения" категории евклидовых конечномерных пространств, но я ничего такого не находил, но уверен, что такое быть должно

Интересно. Итак, задача: охарактеризовать в категорных терминах гильбертовы пространства в категории хаусдорфовых ТВП. Либо в категории локально выпуклых пространств.

[Red_Herring]

Padawan в сообщении #1209931 писал(а):

охарактеризовать в категорных терминах гильбертовы пространства в категории хаусдорфовых ТВП. Либо в категории локально выпуклых пространств.

Напоминает

И. Ильф, Е. Петров в «Разговоры за чайным столом» писал(а):

- Кто была Екатерина Вторая?
- Продукт.
- Как продукт?
- Я сейчас вспомню. Мы прорабатывали... Ага! Продукт эпохи нарастающего
влияния торгового капита...
- Ты скажи, кем она была? Должность какую занимала?
- Этого мы не прорабатывали.

[Brukvalub]

Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий?

[Munin]

Этот вопрос на форуме уже был, и на него подробно отвечали, так что уважаемый Brukvalub не спросить, а погуглисть стесняется.

[Brukvalub]

Munin, мой вопрос обращен к тем, кто компетентен, а не к дилетантам, начитавшимся форумов, но толком ничего не понявшим, поэтому можете не беспокоиться, вас мой вопрос не касается, и ваше мнение мне глубоко не интересно.

[Red_Herring]

В книге Хелемского утверждается, что было решено несколько важных задач. Конкретно называлась "проблема Халмоша о подобии":
https://en.wikipedia.org/wiki/Gilles_Pisier

Цитата:

in 1997, he constructed an operator that was polynomially bounded but not similar to a contraction, answering a famous question of Paul Halmos.

В книге Introduction to Operator Space Theory. By Gilles Pisier, вероятно, имеется доказательство. Отдельные вопросы: насколько важную роль играют категории (а) в доказательстве (б) в мотивировке доказательства (иной раз на доказательство наталкивают соображения, которые в итоге в доказательстве не используются) (в) можно ли доказать без теории категорий, и насколько такое доказательство будет длиннее.

[Brukvalub]

Где-то четыре десятилетия назад активно пропагандировался так называемый "Нестандартный анализ" Робинсона, и щедро раздавались обещания, что возникший новый взгляд на основы математического анализа позволит обнаружить и доказать новые теоремы, а также перевернет основы преподавания математического анализа! Средствами нестандартного анализа даже был получен новый результат, кажется, в ТВП. Но почти сразу этот же результат был доказан стандартными методами, и каких-либо других "прорывов" нестандартный анализ так и не принес, и тихо ушел на задворки математики.
Вот мне и интересно, не является ли теория категорий подобным же эффектом?

[kp9r4d]

Ну, как минимум вся гомологическая алгебра без категорий не формулируется. А без неё даже Риман-Рох не доказывается - одна из самых центральных теорем в геометрии алгебраических и комплексно-аналитических кривых.

Больше можно почитать тут: applications of (higher) category theory.

Вопрос о том, в каком смысле гильбертовы пространства естественны с категорной точки зрения я бы предпочёл отложить, так как он не совсем рилейтед.

[Brukvalub]

kp9r4d в сообщении #1210032 писал(а):

Ну, как минимум вся гомологическая алгебра без категорий не формулируется.

Это только ваше мнение. Например, когда-то преподававший мне на семинарах высшую алгебру профессор Е.С. Голод думает иначе.Вот его совместная с Пионтковским публикация для Большой Российской энциклопедии, в которой они, конечно, упоминают, что функториальный взгляд на гомологии позволил унифицировать некоторые конструкции, но вовсе не ставят этот взгляд как главный и необходимый компонент гомологической алгебры.
Как-то больше мне верится Голоду с Пионтковским, по крайней мере, я достоверно знаю уровень их компетенции в алгебре.

[Someone]

Someone в сообщении #1209711 писал(а):

Может быть, обратный предел попробовать?

Кстати, тоже не получится.

Someone в сообщении #1209754 писал(а):

Если ТВП имеет достаточно много непрерывных линейных отображений на конечномерные векторные пространства, то легко соорудить обратный спектр, пределом которого и будет данное ТВП.

Гильбертово пространство не имеет достаточного множества линейных отображений на конечномерные пространства. Собственно, нужно, чтобы для любой точки гильбертова пространства и для любого не содержащего её замкнутого множества нашлось отображение, при котором образ точки не принадлежит замыканию образа этого множества.

g______d в сообщении #1209739 писал(а):

Я бы предположил, что любая подобная попытка обречена на провал. Все конечномерные хаусдорфовы ТВП выглядят с точки зрения топологии абсолютно одинаково.

Ну, само по себе это ничего не означает. Например, всякий нульмерный (би)компакт можно представить как обратный предел конечных пространств (с дискретной топологией).

[kp9r4d]

Это не моё мнение, это стандарт de facto которому следуют все учебники гомологической алгебры. Главный и необходимый он или нет - это оценки более-менее субъективные и эстетические (которые, кстати, в упомянутой вами статье озвучены не были, так что не знаю, откуда вы их взяли). Приведённая вами статья вполне современная, там, помимо стандартного "детского" подхода с производными функторами от точного (слева/справа) в абелевой категории с достаточным количеством инъективных/проективных объектов упомянуты так же операды, производные и триангулированные категории, так что, казалось бы, впечатление она должна создавать прямо обратное тому, что высказали вы.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1209988 писал(а):

Munin, мой вопрос обращен к тем, кто компетентен, а не к дилетантам

Вот там как раз кто компетентен - и отвечали. Гуглите и обрящете.

[george66]

Brukvalub в сообщении #1209980 писал(а):

Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий?

Я так понимаю, теорию категорий придумали именно как технический инструмент для алгебраической топологии. Но в алгебраической топологии я не силён, а вообще интересная область науки в первую очередь открывает свои новые объекты исследований (для теории категорий это, допустим, топосы). По себе скажу, что математический логик может жить, не зная категорий, но с категориями жизнь гораздо интереснее.

[kp9r4d]

Не смотря на то, что конкретные примеры таких теорем уже привели я бы ещё добавил, что этот тест о "задаче, которая не решается без этих терминов, но решается с ними" такой себе и его, так-то, добрая часть всех этих *QFT не проходит (кажется).

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1209980 писал(а):

Я вот тоже уже давно стесняюсь спросить, но все-таки спрошу: есть ли какой-нибудь новый, интересный и существенный результат в математике, который был доказан именно средствами теории категорий, но сам этот результат не относится к теории категорий?

Гипотeза Блоха--Като, напримeр.