"Категорный" vs "некатегорный" подход

[kp9r4d]

Да это ещё Гауэрс говорил вроде, что: "Для любой аномалии существует банахово пространство ей обладающее". Ну а так-то мне не нравится, что это не инфинитарная версия алгебраической теории, в том смысле, что забывающий функтор $\mathbf{Ban}_1 \to \mathbf{Set}$ и функтор свободы $\mathbf{Set} \to \mathbf{Ban}_1$ хоть и составляют сопряжённую пару, но эта сопряжённость не монадическая, откуда, мне кажется, большинство аномалий и пролезают. Так-то банаховы пространства в основном нужны чтобы о $L_p$ инвариантно говорить, ну это, видимо, должно делатся получше в каких-нибудь других терминах.

[maximav]

сообщении #1208329 писал(а):

kp9r4d в сообщении #1208165
Я стою на той точке зрения, что математику, как и физику именно что запоминают, а если кто-то говорит, что он это понимает, то значит, что он нашёл несколько удачных мнемоник для запоминания.

Droog_Andrey в сообщении #1208329 писал(а):

Категорически не соглашусь.

По-моему здесь нет противоречия, так как вкладывается разный смысл в одни и те же слова

maximav в сообщении #1208138 писал(а):

Определения ведь, в сущности, это ярлыки на те сущности, которые мелькают у человека в голове и каждый за ними, при каждом употреблении, подразумевает свой образ (мгновенный, быстрый, четкий, но свой собственный). .. При стократном употреблении все внутренние образы и примеры просто отвердевают в словесные фразы-определения

"Запоминания" и подразумевались скорее всего как отвердевания.

Munin в сообщении #1208280 писал(а):

Множества и натуральные числа давно не в центре внимания математики. Как я понял, делаются они просто, и часто возникают как побочный продукт чего-то другого. Например, делаете вы группы, бац - и у вас натуральные числа (и даже целые).

Вы примитивизируете. Если отвлечься на минутку от проблем бесконечностей и ординалов в ТМ, то всякие страшные(некоммутативные и т.д.) структуры идут от низкоуровневых множеств ZFC. А это числа. Потом идут представления, а без них вам придется выбросить чуть не львиную долю математики. Я не зря акцентрировал выше внимание на банальных числах и на том, что это не так примитивно, как может казаться. Если вы оперируете схемами и категориями, то это не основания математики, а собственно она. Но какова предельно низкоуровневая основа? Я пока не могу воообразить, что она не есть что-нибудь, кроме как, на неформальном уровне, "перечисление неких штук/сущностей". За этим стоит смысл того, что мы называем разные и отождествляем с разными значками. Их обзываем элементами чего-то. Без потери общности рисуем их числовыми символами. Заметьте, еще никакой арифметики. Потом, если угодно, вводим упорядочения. Это уже ближе к жизни. Я бы сказал, жизнь (вход математики в область приложений) здесь-то и начинается. Потом вводим всякие слова про вложения/упорядочения/больше/меньше. Жизнь пошла. Уже есть понятие "больше баранов чем у него". Это уже настоящая математика (древних неадертальцев). Это построение шло, фактически, от внутреннего утройства человеческого мозга (того же Ловера). Вот здесь я могу остановится и спросить. Ограничим на мгновение, умственные (=математические) возможности homosapiens'а только этим набором интеллектуальных актов. Вопрос: могу ли я здесь построить альтернативную теорию к только что построенной
(числа-метки, упорядочения $>$, $<$)? Назовем ее условно ТК. Можно далее обогатить ТМ чем-нибудь типа "сложение количеств баранов". Похоже, что ТК здесь не возникнет и, быть может и не нужна. Но если так, то это и есть ответ на вопрос о первопричинах.

Вопрос про соотношение чисел, ТМ и ТК можно фактически переформулирвоать и так. Хорошо, отбросим из рассуждений формализации ТМ-понятия "количества штук" ("беспорядковые" числа). Что взамен ставит ТК? Стрелки, функторы. Я не против. Но физика (пардон перед математиками, но матифизики меня поймут)
потребует отождествления феноменологических чисел и тех объектов, которые с ними ассоциируются в ТК. Вопрос в лоб, что называется. Банальные (натуральные) числа превращаем в более сложные: вещественные и т.д. Эта процедура вновь достаточно приземленна по части близости к феноменологии (физ. эксперименты).
Ну а здесь уже идут всё, что мы называем числовыми представлениями. Причем они прекрасно обслуживают всякого рода "некоммутативный сброд", который появляется в виде структур. Но, как известно, здесь как раз и начинается то, что мы давно называем разные формальные языки описания. Но это уже весьма высоко-уровневая надстройка над примитивами. Примитивы не есть, конечно, объект ежеминутного использования. Но они, типа аксиомы выбора, на подсознании зашиты в конструкциях и рассуждениях; если не уходить уж совсем от физики.

-- 11.04.2017, 19:26 --

g______d в сообщении #1208360 писал(а):

при этом понятно, что сами категории (что бы это ни значило) являются целью довольно редко.

Мне это нравится.

-- 11.04.2017, 19:30 --

kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):

само понятие "банахового пространства" - никуда не годное.

А вот это скорее проявление того, что сама теоретико-множественная парадигма не нравится и ее надо бы поменять. А банахово пр-во только один из показательных примеров "плохости". Но тут опять: дело не в этом пр-ве, а в перекройке языка.

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):

В теории банаховых пространств категории нужны только за тем, чтобы увидеть, что само понятие "банахового пространства" - никуда не годное.

Если с точки зрения ТК "само понятие "банахового пространства" - никуда не годное", то это IMHO, доказывает, что

Цитата:

Суди, дружок, не выше сапога!

[maximav]

Похоже, чтобы треп был более содержательный, необходимо что-то типа ответвлений, но все на тему ТК vs ТМ. В той же некатегорной математике, обдумывая множества, приходишь к логике, к классам, моделям и всяким другим "категоричностям". Видимо и ТК здесь заслуживает отдельных подтем типа "категорная логика" и "феноменология и категории". Разумеется, все неформально. Можно добавить, на любителей, и "категорную философию".

[g______d]

maximav в сообщении #1208669 писал(а):

А вот это скорее проявление того, что сама теоретико-множественная парадигма не нравится и ее надо бы поменять. А банахово пр-во только один из показательных примеров "плохости". Но тут опять: дело не в этом пр-ве, а в перекройке языка.

Вы примитивизируете.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1208623 писал(а):

Да это ещё Гауэрс говорил вроде

После sowa я привык воспринимать этого автора как антирекомендацию.

maximav в сообщении #1208669 писал(а):

Если отвлечься на минутку от проблем бесконечностей и ординалов в ТМ, то всякие страшные(некоммутативные и т.д.) структуры идут от низкоуровневых множеств ZFC. А это числа.

Я не могу подняться до вашего уровня "непримитивности", на котором некоммутативные структуры растут из чисел. Я всю жизнь привык думать, что в обход. Видимо, уже не переучусь. Поэтому выключаюсь.

maximav в сообщении #1208669 писал(а):

Но какова предельно низкоуровневая основа?

С другой стороны, а надо ли её искать? Большая часть математики занята другим.

maximav в сообщении #1208669 писал(а):

Но физика (пардон перед математиками, но матифизики меня поймут) потребует отождествления феноменологических чисел и тех объектов, которые с ними ассоциируются в ТК. Вопрос в лоб, что называется.

Э нет. Я против. Меня опыт учит, что фундаментальная физика обычно сопряжена с нефундаментальной математикой. И чем дальше, тем нефундаментальней. Архимеду ещё хватало элементарной геометрии, циркуля и линейки. Ньютону уже потребовались произвольные и интегралы. Сегодня физику нужна дифференциальная геометрия, топология, функциональный анализ, представления групп и алгебр Ли, всякая кудрявая бесконечномерщина (не всякий в неё полезет).

Так что, зачем физику домогаться до чисел? Ему интересней математика не низкоуровневая, а удовлетворяющая его запросы. А низкоуровневая его интересует природа, материя.

Я думаю, вы здесь потеряли фокус.

[arseniiv]

Скорее, не находили. Когда была впервые упомянута категория $\mathbf{Set}$, никаких вопросов не было, а потом вдруг возник вопрос, как теорию множеств вложить в теорию категорий. На мой взгляд, это показательно.

[g______d]

Munin в сообщении #1208702 писал(а):

После sowa я привык воспринимать этого автора как антирекомендацию.

Это "автор", если что, имеет Fields medal, в том числе и за работы в области банаховых пространств. От человека, который не способен усвоить undergraduate analysis, не говоря уже о functional analysis, такой комментарий слышать как минимум странно.

[Red_Herring]

kp9r4d в сообщении #1208623 писал(а):

Да это ещё Гауэрс говорил вроде, что: "Для любой аномалии существует банахово пространство ей обладающее". ....Так-то банаховы пространства в основном нужны чтобы о $L_p$ инвариантно говорить, ну это, видимо, должно делатся получше в каких-нибудь других терминах.

Я думаю, что Гауэрс был абсолютно прав. А вот Вы--нет: существуют и другие весьма важные банаховы пространства и банаховы алгебры.

[Munin]

g______d в сообщении #1208719 писал(а):

Это "автор", если что, имеет Fields medal

Я в курсе.

g______d в сообщении #1208719 писал(а):

От человека, который не способен усвоить undergraduate analysis

Вы про меня? Я бы предпочёл слышать это прямо.

[g______d]

Munin в сообщении #1208730 писал(а):

Вы про меня? Я бы предпочёл слышать это прямо.

Да. Не про sowa же.

[kp9r4d]

Red_Herring

Я просто don't think concretely и всё такое. ^^ Ну есть и есть, они тоже, вполне вероятно, естественно ложаться на какой-нибудь другой язык. То что это где-то там работает не значит, что ничего менять не нужно.

[Munin]

g______d
Окей. Я не понимаю, зачем вам потребовалось оскорбление. И считаю, что независимо от моих знаний, мнение о Gowers-е я имею право иметь.

[g______d]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1208739 писал(а):

И считаю, что независимо от моих знаний, мнение о Gowers-е я имею право иметь.

Имеете, но я уже несколько раз говорил. Если бы кто-то полез с комментариями такого уровня в (Ф), вы бы первым на него накинулись с обвинениями в том, что он не читал ЛЛ. Ну правда же, я не уверен, что вы даже что такое банахово пространство знаете, вот честно.

[george66]

Услышал ты доводов разума много,
Внемли же, чему учит светлая йога!
Всё то, что для всех сновиденье, есть бденье
Тому, кто своё пересилил хотенье.
А бденье всего, что познало рожденье
Для истинно мудрого есть сновиденье.