2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 22  След.
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5936
Когда я первый раз изучал базовую абстрактную алгебру, меня очень раздражали упражнения вроде "докажите, что при изоморфизме групп обратный элемент переходит в обратный", а потом то же самое для колец, полей и т. п. Или, например, что гомоморфизм векторных пространств переводит линейно зависимые вектора в линейно зависимые. Ну или что у гомеоморфных топологических пространств одинаковое количество компонент связности.

Я, конечно, был способен написать формальное доказательство, но было очевидно, что есть какой-то общий принцип, по которому все подобные утверждения должны были быть очевидны. У меня был какой-то бэкграунд из матлогики, и я пытался как-то формализовать этот принцип (типа того, что если есть какое-то высказывание или предикат с кванторами и алгебраическими операциями, то к нему можно применить изоморфизм и получить аналогичное высказывание в изоморфной группе/кольце/поле. Сформулировать сложнее, чем доказать). Потом оказалось, что теория категорий как раз и является аппаратом, объединяющим все подобные утверждения.

По-видимому, это банальность, но теория категорий подчиняется тем же законам, что и любой другой раздел математики: когда нужно уметь формулировать много однотипных утверждений, разумно выделить свойства, общие для этих утверждений, в отдельную теорию. Соответственно, переход на язык категорий (как и на любой другой язык) оправдан, если он упрощает движение к цели; при этом понятно, что сами категории (что бы это ни значило) являются целью довольно редко. В этом смысле мне довольно сильно не нравится учебник Хелемского. У автора может быть личное мнение о том, что когомологии банаховых алгебр важнее, чем неограниченные операторы, но студенты не должны из-за этого страдать.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2028
Минск, Беларусь
kp9r4d в сообщении #1208349 писал(а):
Мне все эти истории при волшебный навык вскрытия тайных паттернов в последнее время кажутся дико подозрительными.
Ну, кажутся так кажутся. На практике в этом нет ничего волшебного либо тайного. Отличник оптимизированно ищет, гений создаёт. Возьмите работы Mochizuki. Что-то совсем не похоже на оптимизированный поиск :)

Да и не в гениальности дело, в общем-то; гении просто являются яркими контрпримерами утверждению "понимание есть удачное запоминание". Более по этому вопросу добавить в рамках темы мне особо нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Metford в сообщении #1208354 писал(а):
Все формулы, которые можно в принципе написать не переберёшь, увы. Так что аналогия здесь нехороша.


Почему? По мне так вполне себе перечислимое множество, есть же даже нумерация Гёделя, нумерующая все формулы.

Metford в сообщении #1208354 писал(а):
Все известные ему формулы тогда уж. Т.е. принципиально нового так не получить.

Ну так принципиально ничего нового и не получают, об этом ещё Витгенштейн говорил ^^ То есть разница между какой-нибудь топологической К-теорией или теорией Черна-Вейля и каким-нибудь простым олимпиадным трюком, связанным с вычислением инварианта мне видится не очень-то и большой, просто вторые хорошо оптимизированы под какой-то конкретный класс задач и масса логических этапов, типичных для этого класса задач, в них скомпактифицирована в теоремы (которые доказывались тоже перебором с отсечениями), что позволяет перебирать человеку быстрее - ему не нужно один и тот же путь проходить дважды, + хороший язык теории зачастую даёт много хороших способов её запомнить.

-- 10.04.2017, 21:02 --

Droog_Andrey в сообщении #1208363 писал(а):
Возьмите работы Mochizuki. Что-то совсем не похоже на оптимизированный поиск :)

Да, похоже на неоптимизированный поиск ^^

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Да. Наверное, kp9r4d, мы с Вами думаем очень сильно по-разному. Могу только констатировать, что Вашу позицию касательно запоминания я не разделяю (да и ссылка на авторитет - Витгенштейн в данном случае, что для меня особенно показательно - аргументом не является) - и покинуть тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Metford
1) Не любая фраза структуры "об Х ещё Y говорил" является ссылкой на авторитет, это ещё может быть указанием на то, что мысль не нова.
2) Тема вообще про категории, поэтому все эти рассуждизмы про процесс решения задачи тут оффтоп и на самом деле я-то не очень хотел это начинать вообще.
$\infty$) Не авторитет совершенно, авторитеты - Лакан, Деррида и Делёз, впрочем, для вас это ещё более показательно, наверное. ^^

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6316
kp9r4d
Всё, что Вы говорили в защиту своей метафоры о "Понимании -- Запоминании" в итоге свелось к оптимизации перебора. А это совсем не тождественно мнемонике (хотя и она при делах). Но в пределах топика можно согласиться, что выбор языка как раз и относится к мнемонической составляющей метафоры.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Мне кажется, все зря накинулись на формулировку kp9r4d. Просто неудачный выбор слова. Разумеется, то, что он назвал "запоминанием", есть просто то, что другие называют "пониманием", сопоставление описаний позволяет это понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение10.04.2017, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
grizzly
Ну так при помощи мнемоник и оптимизируют.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 02:01 
Заслуженный участник


18/01/15
2564
Знаете, я немного знаю, что такое категории, и мне доводилось неоднократно их использовать в работе. Как "практик", скажу вам
так. Мне кажется не полезным вводить категории в любой сюжет, по поводу и без повода. Грубо говоря, они нужны там, где нужны,
а где не нужны, там не нужны. А думать о том, как обосновать в категорных терминах понятия натурального числа или множества,
для меня вообще лишнее. Зачем искать сложности там, где их на самом деле нет? Ведь категории были исходно придуманы
для прояснения мыслей, в алгебраической топологии. (впрочем, я не ей занимаюсь).

Читая дискуссию, вспомнил Высоцкого: "Все мозги разбил на части, / Все извилины заплёл, / И Канатчиковы власти / Колют нам
второй укол! "

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну меня тоже не волнует, как множества и категории соотносятся, да и логика вообще не сильно волнует; но кому-то это важно, и для них, наверное, аксиоматическое описание категории $\mathbf{Set}$ не является "введением категорий по поводу и без", а является вполне себе "практическим" и интересным результатом.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 02:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Droog_Andrey в сообщении #1208363 писал(а):
гении просто являются яркими контрпримерами утверждению "понимание есть удачное запоминание"
Мне нравится в этом утверждении полная определённость всех входящих терминов, а так же ясность определения, что там тема, а что рема (иначе говоря, что определяется через что).

Вообще я не понимаю, почему некоторым может не нравиться объяснение интуиции и успехов в области тем, что человек делал в ней и близких. Это, во-первых, ещё не конкретное утверждение о том, как всё организуется при этом в мозге, и не говорит нам никакого алгоритма, как сделать правильно, и не исключает случайностей. Это не тривиализует талантливых людей. Это не исключает корреляций с наличием или отсутствием некоторых генов. «Руки прочь от святыни!/Человек лучше машины Тьюринга/квантовые нанотрубочки» — неконструктив и/или псевдонаука. А это, наоборот, открывает новые вопросы, даже если к некоторым из них по техническим причинам ещё трудно подойти. Последнее не значит, что надо придумывать на пустом месте.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
А понятие "точной последовательности" - это категорное понятие или не категорное?

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Категорное, осмысленно в любой абелевой категории.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да, извиняюсь, в абелевых категория обычно строится (классическая) гомологическая алгебра, но для концепта точности достаточно только, чтобы был определён "образ" и "ядро", например, в категории банаховых пространтсв точные последовательности определяются.

Кстати, что мне правда хорошо запомнилось в категорном Хелемском это то, что функтор банаховой сопряженности переводит точные последовательности в точные - красивая теорема довольно. Ну а так-то я согласен с g______d в неуместности большинства категорных вставок Хелемского (хотя не всех, скажем, двойственность Гельфанда-Наймарка формулировать нужно только с использованием термина "эквивалентность категорий"). В теории банаховых пространств категории нужны только за тем, чтобы увидеть, что само понятие "банахового пространства" - никуда не годное.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Категорный" vs "некатегорный" подход
Сообщение11.04.2017, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
3857
kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):
чтобы увидеть, что само понятие "банахового пространства" - никуда не годное
Объясните на пальцах?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 325 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group