"Категорный" vs "некатегорный" подход

[g______d]

Когда я первый раз изучал базовую абстрактную алгебру, меня очень раздражали упражнения вроде "докажите, что при изоморфизме групп обратный элемент переходит в обратный", а потом то же самое для колец, полей и т. п. Или, например, что гомоморфизм векторных пространств переводит линейно зависимые вектора в линейно зависимые. Ну или что у гомеоморфных топологических пространств одинаковое количество компонент связности.

Я, конечно, был способен написать формальное доказательство, но было очевидно, что есть какой-то общий принцип, по которому все подобные утверждения должны были быть очевидны. У меня был какой-то бэкграунд из матлогики, и я пытался как-то формализовать этот принцип (типа того, что если есть какое-то высказывание или предикат с кванторами и алгебраическими операциями, то к нему можно применить изоморфизм и получить аналогичное высказывание в изоморфной группе/кольце/поле. Сформулировать сложнее, чем доказать). Потом оказалось, что теория категорий как раз и является аппаратом, объединяющим все подобные утверждения.

По-видимому, это банальность, но теория категорий подчиняется тем же законам, что и любой другой раздел математики: когда нужно уметь формулировать много однотипных утверждений, разумно выделить свойства, общие для этих утверждений, в отдельную теорию. Соответственно, переход на язык категорий (как и на любой другой язык) оправдан, если он упрощает движение к цели; при этом понятно, что сами категории (что бы это ни значило) являются целью довольно редко. В этом смысле мне довольно сильно не нравится учебник Хелемского. У автора может быть личное мнение о том, что когомологии банаховых алгебр важнее, чем неограниченные операторы, но студенты не должны из-за этого страдать.

[Droog_Andrey]

kp9r4d в сообщении #1208349 писал(а):

Мне все эти истории при волшебный навык вскрытия тайных паттернов в последнее время кажутся дико подозрительными.

Ну, кажутся так кажутся. На практике в этом нет ничего волшебного либо тайного. Отличник оптимизированно ищет, гений создаёт. Возьмите работы Mochizuki. Что-то совсем не похоже на оптимизированный поиск :)

Да и не в гениальности дело, в общем-то; гении просто являются яркими контрпримерами утверждению "понимание есть удачное запоминание". Более по этому вопросу добавить в рамках темы мне особо нечего.

[kp9r4d]

Metford в сообщении #1208354 писал(а):

Все формулы, которые можно в принципе написать не переберёшь, увы. Так что аналогия здесь нехороша.

Почему? По мне так вполне себе перечислимое множество, есть же даже нумерация Гёделя, нумерующая все формулы.

Metford в сообщении #1208354 писал(а):

Все известные ему формулы тогда уж. Т.е. принципиально нового так не получить.

Ну так принципиально ничего нового и не получают, об этом ещё Витгенштейн говорил ^^ То есть разница между какой-нибудь топологической К-теорией или теорией Черна-Вейля и каким-нибудь простым олимпиадным трюком, связанным с вычислением инварианта мне видится не очень-то и большой, просто вторые хорошо оптимизированы под какой-то конкретный класс задач и масса логических этапов, типичных для этого класса задач, в них скомпактифицирована в теоремы (которые доказывались тоже перебором с отсечениями), что позволяет перебирать человеку быстрее - ему не нужно один и тот же путь проходить дважды, + хороший язык теории зачастую даёт много хороших способов её запомнить.

-- 10.04.2017, 21:02 --

Droog_Andrey в сообщении #1208363 писал(а):

Возьмите работы Mochizuki. Что-то совсем не похоже на оптимизированный поиск :)

Да, похоже на неоптимизированный поиск ^^

[Metford]

Да. Наверное, kp9r4d, мы с Вами думаем очень сильно по-разному. Могу только констатировать, что Вашу позицию касательно запоминания я не разделяю (да и ссылка на авторитет - Витгенштейн в данном случае, что для меня особенно показательно - аргументом не является) - и покинуть тему.

[kp9r4d]

Metford
1) Не любая фраза структуры "об Х ещё Y говорил" является ссылкой на авторитет, это ещё может быть указанием на то, что мысль не нова.
2) Тема вообще про категории, поэтому все эти рассуждизмы про процесс решения задачи тут оффтоп и на самом деле я-то не очень хотел это начинать вообще.
$\infty$) Не авторитет совершенно, авторитеты - Лакан, Деррида и Делёз, впрочем, для вас это ещё более показательно, наверное. ^^

[grizzly]

kp9r4d
Всё, что Вы говорили в защиту своей метафоры о "Понимании -- Запоминании" в итоге свелось к оптимизации перебора. А это совсем не тождественно мнемонике (хотя и она при делах). Но в пределах топика можно согласиться, что выбор языка как раз и относится к мнемонической составляющей метафоры.

[Munin]

Мне кажется, все зря накинулись на формулировку kp9r4d. Просто неудачный выбор слова. Разумеется, то, что он назвал "запоминанием", есть просто то, что другие называют "пониманием", сопоставление описаний позволяет это понять.

[kp9r4d]

grizzly
Ну так при помощи мнемоник и оптимизируют.

[vpb]

Знаете, я немного знаю, что такое категории, и мне доводилось неоднократно их использовать в работе. Как "практик", скажу вам
так. Мне кажется не полезным вводить категории в любой сюжет, по поводу и без повода. Грубо говоря, они нужны там, где нужны,
а где не нужны, там не нужны. А думать о том, как обосновать в категорных терминах понятия натурального числа или множества,
для меня вообще лишнее. Зачем искать сложности там, где их на самом деле нет? Ведь категории были исходно придуманы
для прояснения мыслей, в алгебраической топологии. (впрочем, я не ей занимаюсь).

Читая дискуссию, вспомнил Высоцкого: "Все мозги разбил на части, / Все извилины заплёл, / И Канатчиковы власти / Колют нам
второй укол! "

[kp9r4d]

Ну меня тоже не волнует, как множества и категории соотносятся, да и логика вообще не сильно волнует; но кому-то это важно, и для них, наверное, аксиоматическое описание категории $\mathbf{Set}$ не является "введением категорий по поводу и без", а является вполне себе "практическим" и интересным результатом.

[arseniiv]

Droog_Andrey в сообщении #1208363 писал(а):

гении просто являются яркими контрпримерами утверждению "понимание есть удачное запоминание"

Мне нравится в этом утверждении полная определённость всех входящих терминов, а так же ясность определения, что там тема, а что рема (иначе говоря, что определяется через что).

Вообще я не понимаю, почему некоторым может не нравиться объяснение интуиции и успехов в области тем, что человек делал в ней и близких. Это, во-первых, ещё не конкретное утверждение о том, как всё организуется при этом в мозге, и не говорит нам никакого алгоритма, как сделать правильно, и не исключает случайностей. Это не тривиализует талантливых людей. Это не исключает корреляций с наличием или отсутствием некоторых генов. «Руки прочь от святыни!/Человек лучше машины Тьюринга/квантовые нанотрубочки» — неконструктив и/или псевдонаука. А это, наоборот, открывает новые вопросы, даже если к некоторым из них по техническим причинам ещё трудно подойти. Последнее не значит, что надо придумывать на пустом месте.

[Munin]

А понятие "точной последовательности" - это категорное понятие или не категорное?

[kp9r4d]

Категорное, осмысленно в любой абелевой категории.

[kp9r4d]

Да, извиняюсь, в абелевых категория обычно строится (классическая) гомологическая алгебра, но для концепта точности достаточно только, чтобы был определён "образ" и "ядро", например, в категории банаховых пространтсв точные последовательности определяются.

Кстати, что мне правда хорошо запомнилось в категорном Хелемском это то, что функтор банаховой сопряженности переводит точные последовательности в точные - красивая теорема довольно. Ну а так-то я согласен с g______d в неуместности большинства категорных вставок Хелемского (хотя не всех, скажем, двойственность Гельфанда-Наймарка формулировать нужно только с использованием термина "эквивалентность категорий"). В теории банаховых пространств категории нужны только за тем, чтобы увидеть, что само понятие "банахового пространства" - никуда не годное.

[Mikhail_K]

kp9r4d в сообщении #1208616 писал(а):

чтобы увидеть, что само понятие "банахового пространства" - никуда не годное

Объясните на пальцах?