"Категорный" vs "некатегорный" подход

[Anton_Peplov]

kp9r4d
Не-не, я против того, чтобы "держать и не падать". Просто объяснил (не знаю, кому, Вы и так знаете), чем хороши формальные системы. Мне тоже близок взгляд на математику как на ряд школ, по-разному понимающих доказательство. И я за то, чтобы на этом поле цвели все цветы.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1208223 писал(а):

Ну так практики как раз формальными системами не пользуются, а пользуются своим ощущением того какие выкладки/численные методы/мат. модели сработают на практике, а какие нет.

Вот заметьте, это для них главная проблема, чтобы работало на практике. А сами выкладки должны делаться без запинки, автоматически, даже без применения мозгов, потому что мозги о более важном думают.

Ладно, это разговор ушёл в сторону.

А по поводу категорий, мой голос стал "однозначно за" в тот момент, когда я узнал простой факт: в коммутативной диаграмме можно развернуть все стрелки задом наперёд, и забесплатно получить из одного математического факта другой (двойственный ему) математический факт. По-моему, круто.

[arseniiv]

Metford в сообщении #1208204 писал(а):

А "физическую интуицию" Вы тоже к мнемонике сведёте?

Судя по всему, любая интуиция — продукт опыта. Хотя я вместе с тем не уверен, что мнемоники — подходящее слово для названия того, чем изменения в мозге от всего этого опыта являются.

maximav в сообщении #1208210 писал(а):

Но сотворение банальных натуральных чисел в ТМ сидит очень близко к с ее аксиоматике. Грубо говоря, прямо под носом. А что с ТК (и числами, конечно)?

По-моему, определение как отдельной категории $\mathbf N$, так и определение объекта натуральных чисел в какой-то категории не очень-то сложно. Но вы же не собираетесь читать книжки, вам же надо всё переписать. Этим я заниматься не собираюсь, извините.

А чтобы получить ординал $\omega$ из аксиомы бесконечности в ZFC, ещё повозиться надо, я бы сказал, знатно.

maximav в сообщении #1208214 писал(а):

А наоборот?

А наоборот есть категория $\mathbf{Set}$, определяемая с точностью до эквивалентности категорий (очевидно, лучше и не получится, и не стоит требовать) в терминах одной лишь ТК.

[Mikhail_K]

arseniiv в сообщении #1208255 писал(а):

А наоборот есть категория $\mathbf{Set}$, определяемая с точностью до эквивалентности категорий (очевидно, лучше и не получится, и не стоит требовать) в терминах одной лишь ТК.

Вот это для меня самое-самое интересное.
Как определить множества только в терминах теории категорий и пользуясь только её аксиоматикой.
В том же смысле, в котором натуральные числа определяются только средствами теории множеств - через ординалы.
Где об этом можно почитать на русском языке? - все учебники по теории категорий у меня давно в листе ожидания, но хотелось бы прочесть такой, где это есть. У Голдблатта есть?

К слову о натуральных числах.
Я краем уха слышал, что $\mathbb{N}$ в теории категорий определяется как специальная такая категория с одним объектом и бесконечным количеством стрелок, причём каждой стрелке соответствует своё натуральное число.
Но ведь это нельзя считать определением в терминах теории категорий, да?
Можно ли определить $\mathbb{N}$ действительно строго средствами теории категорий, чтобы это была альтернатива определению через ординалы в теории множеств?

[arseniiv]

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

У Голдблатта есть?

Думаю, должно быть, но не листал его до конца. Эта категория — элементарный топос, на который наложили ещё несколько ограничений, ну а книга про топосы, основания упоминаются в начале, и эта категория там тоже с самого начала упоминается, так что есть основания думать, что она там будет определена дальше чисто категорно. Призываю в помощь kp9r4d, чтобы подтвердить гипотезу.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Я краем уха слышал, что $\mathbb{N}$ в теории категорий определяется как специальная такая категория с одним объектом и бесконечным количеством стрелок, причём каждой стрелке соответствует своё натуральное число.
Но ведь это нельзя считать определением в терминах теории категорий, да?

Да, это ещё просто описание в терминах теории (можно считать, наивной теории множеств), в которую включены как уже известное множество $\mathbb{N}$, так и теория категорий, и в этой же теории можно показать, что такая штука действительно категория.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Можно ли определить $\mathbb{N}$ действительно строго средствами теории категорий, чтобы это была альтернатива определению через ординалы в теории множеств?

Ответ должен быть положительным, но опять тут найдётся куча людей, которые его знают уже наизусть, а у меня всё руки не доходят.

[kp9r4d]

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Можно ли определить $\mathbb{N}$ действительно строго средствами теории категорий, чтобы это была альтернатива определению через ординалы в теории множеств?

Ловер определяет натуральные числа (с точностью до изоморфизма) в любом топосе с терминальным объектом natural numbers object. Стандартные натуральные числа получаются, если взять за топос $\mathbf{Set}$.

Mikhail_K в сообщении #1208266 писал(а):

Где об этом можно почитать на русском языке? - все учебники по теории категорий у меня давно в листе ожидания, но хотелось бы прочесть такой, где это есть. У Голдблатта есть?

По модулю требования про русский язык, почитайте это: ETCS, fully formal ETCS

-- 10.04.2017, 18:37 --

arseniiv в сообщении #1208270 писал(а):

Призываю в помощь kp9r4d, чтобы подтвердить гипотезу.

Я не знаю, я сам Голдблатта до конца не дочитывал, к сожелению.

[Munin]

Мне кажется, вопросы типа "а как сделать множества или натуральные числа из категорий" все are mislead. Множества и натуральные числа давно не в центре внимания математики. Как я понял, делаются они просто, и часто возникают как побочный продукт чего-то другого. Например, делаете вы группы, бац - и у вас натуральные числа (и даже целые).

[arseniiv]

Ну да, наивная «структуралистическая» попытка «как обычно» конструировать всё из множеств, а числа из натуральных, но в категорных терминах, наверно, пользы несёт мало. Нас ведь от этих вещей интересует поведение, а не то, из чего их можно составить. Составлять нам их приходится.

[Munin]

Да, категории больше не о том, "что из чего сделано", а о том, "что на что похоже".
И мне кажется, этим привлекательны физикам.

[Droog_Andrey]

kp9r4d в сообщении #1208165 писал(а):

Я стою на той точке зрения, что математику, как и физику именно что запоминают, а если кто-то говорит, что он это понимает, то значит, что он нашёл несколько удачных мнемоник для запоминания.

Категорически не соглашусь. Разница между пониманием и запоминанием сродни разнице между колмогоровской сложностью и результатом обработки архиватором.

Понимание использует принципиальное сходство между паттернами в механизмах распознавания сигналов мозгом и законами природы, естественно сформировавшееся в процессе эволюции мозга. Оно позволяет вскрывать ту самую "колмогоровскую сложность".

Практически разница между пониманием и запоминанием выливается в способность создавать что-то новое в научном знании. Утрированно - один гений, другой задрот-отличник.

[Anton_Peplov]

Аналогию с колмогоровской сложностью можно подробнее? Что-то я не уловил сути.

[Metford]

Я вот не знаю как там насчёт сложности, но если бы всё дело было исключительно в запоминании, то уже давно компьютеры ставили бы задачи и решали их без помощи человека. У них с памятью немного лучше, чем у людей. Человек не просто знает формулу, он ещё и прилагает некоторые умственные усилия (обычно), чтобы решить, что, когда и как использовать. Это больше, чем запоминание, мнемоника и т.д.

А вот что собственно до категорий... Ну не знаю... Практически ко всем разделам математики можно обратиться с вопросом: "Где ты применяешься в физике, чудо?" Он не ответит, но найдётся человек, который быстро и на пальцах объяснит, где. С конкретным примером. В случае с категориями такого пока не произошло. То ли не с теми людьми говорил, то ли не дорос ещё. Надежду я ещё не оставил, но - выражаясь в терминах этой темы - этого слона мне ещё не продали.

[Droog_Andrey]

Anton_Peplov в сообщении #1208336 писал(а):

Аналогию с колмогоровской сложностью можно подробнее? Что-то я не уловил сути.

Для пакетов информации с небольшой (в сравнении с размером пакета) колмогоровской сложностью отыскание оптимального (или близкого к таковому) алгоритма требует того самого "понимания", о котором речь. Если бы хватало "запоминания", колмогоровская сложность была бы вычислимой :)

[kp9r4d]

Droog_Andrey в сообщении #1208329 писал(а):

Понимание использует принципиальное сходство между паттернами в механизмах распознавания сигналов мозгом и законами природы, естественно сформировавшееся в процессе эволюции мозга. Оно позволяет вскрывать ту самую "колмогоровскую сложность".

Мне все эти истории при волшебный навык вскрытия тайных паттернов в последнее время кажутся дико подозрительными. Как и фигура гения. Мне процесс решения конкретной задачи (при наблюдении исключительно за собой, так что выборка не очень, соглашусь) видится так: сначала пробуешь все методы (в широком смысле), которые можешь вспомнить, потом пытаешься внести случайную флуктуацию почти "наугад", скажем как-то пошевелить условия, что-то достроить, посмотреть на другой аспект задачи, а потом снова пробуешь все методы, что можешь вспомнить. Если какой-то метод заходит "достаточно далеко" то на него имеет смысл потратить больше времени. Если сил больше не остаётся - пытаешься узнать новые методы. Конечно, у некоторых людей это получается лучше и быстрее, у некоторых хуже, некоторые методы требуют попытки построения отдельной теории или концептуализации старой или какой-то аналогии, но в общем и целом это всё равно оптимизированный перебор. Тут кстати аналогия с шахматами весьма удачна: конечно можно много говорить об интуиции, шахматном зрении, позиционированнии, но всё равно всё это упирается в оптимизированный перебор. А гением называют постфактум, когда кто-то таки смог решить задачу, не значит конечно, что он этого звания не заслуживает и на его месте мог быть любой, но всё-таки зачастую тут есть серьезный элемент везения.

Metford в сообщении #1208345 писал(а):

Я вот не знаю как там насчёт сложности, но если бы всё дело было исключительно в запоминании, то уже давно компьютеры ставили бы задачи и решали их без помощи человека. У них с памятью немного лучше, чем у людей. Человек не просто знает формулу, он ещё и прилагает некоторые умственные усилия (обычно), чтобы решить, что, когда и как использовать. Это больше, чем запоминание, мнемоника и т.д.

Про постановки задач: сложнее, тут социальный элемент неустраним. То есть какие задачи, скажем, интересны в математике? Ну, которые мэтры посчитали интересными, они сами, конечно, могут это как угодно обосновывать: хоть историческим контекстом, хоть полезностью для физики и криптографии, хоть чем, но всё-таки это мода. А то, что компьютеры до сих пор не доказывают теоремы, то мне кажется, что дело как раз в ужасной формализации и ужасном языке. То есть когда простое рассуждение может быть формализовано только в несколько сотен тысяч тактов дедуктивной системы - это не дело никак, но как только (и если) смогут всё формализовать нормально, то станет видно, что компьютеры могут доказывать теоремы лучше людей.

Про знание формулы и когда использовать; естественно: он ещё и перебирает (оптимизировано) все возможные формулы, и пытается их использовать. Окей, дело не только в памяти, но и в частоте (хотя количество убитого времени может скомпенсировать частоту).

[Metford]

kp9r4d в сообщении #1208349 писал(а):

Тут кстати аналогия с шахматами весьма удачна: конечно можно много говорить об интуиции, шахматном зрении, позиционированнии, но всё равно всё это упирается в оптимизированный перебор

Все формулы, которые можно в принципе написать не переберёшь, увы. Так что аналогия здесь нехороша.

kp9r4d в сообщении #1208349 писал(а):

он ещё и перебирает (оптимизировано) все возможные формулы, и пытается их использовать

Все известные ему формулы тогда уж. Т.е. принципиально нового так не получить.