"Категорный" vs "некатегорный" подход

[kp9r4d]

Да я не про то, я не понимаю, откуда идёт желание свести всё к синтаксису, к конструктивизму. И в этом смысле для меня что классическся, что интуиционистская логика одинакова - это нечто такое, что пытается свести все логические фигуры используемые в математике до правил вывода в некоторой формальной системе первого порядка.

В философии были фигуры такого уровня, как Лакан, который писал (в ответ на письмо чудаку бельгийцу):

Цитата:

... на истине не женятся, брачного контракта с ней не подписывают, а во внебрачную связь и тем более не вступают. Она ничего подобного не терпит.

вот есть ощущение, что в этом всём формально-логическом дискурсе, который идёт ещё, кажется, с Витгенштейна и логико-философского кружка истину пытаются чуть ли не изнасиловать.

Между тем, попытку построить неконструктивные основания, или хотя бы написать манифест для них, никто не делал (по крайней мере я спрашивал одного околологика, на что он ответил: "Это уже мистика какая-то, а не математика"). Ну вот и Ловер не вытягивает:

Цитата:

I felt a strong need to learn more set theory and logic from experts in that field, still of course with the aim of clarifying the foundations of category theory and of physics.

ну очевидно же, что обосновывать категории через множества - это совершенно некатегорного духа предприятие, от которого вся nPOV идеология только проигрывает. Это множества нужно мыслить как (0,0)-категории, а не наоборот. Ну вот, если Лакан - это анти-философ, то какого-нибудь анти-логика очень не хватает, чтобы хотя бы с некоторых важных фигур снять эту истеризацию на конструктивных основаниях.

[arseniiv]

(«Я обиделась, больше никогда не подходи ко мне»)

maximav в сообщении #1208179 писал(а):

Боюсь, что даже если прощу вам, когда-нибудь нарвусь на старое.

Ну, если у вас такое отношение к имеющейся ситуации, то можете продолжать. Но вообще я задал пару вопросов, ответы на которые было бы интересно узнать не одному лишь мне. И посоветовал хорошую книгу, которую, опять же, сам открыл благодаря другим людям. А фиксироваться на моей персоне — что ж, запретить не могу, фиксируйтесь. (Лично я считаю, что большинство того, что я вам написал раньше, написано не зря. Но реагировать на это можно по-разному.)

-- Пн апр 10, 2017 18:01:51 --

kp9r4d в сообщении #1208183 писал(а):

ну очевидно же, что обосновывать категории через множества - это совершенно некатегорного духа предприятие, от которого вся nPOV идеология только проигрывает

А если это понимать не как обоснование, а как выражение? Разве не заслуживает интереса вопрос «как выразить теорию категорий множествами»?

[kp9r4d]

arseniiv в сообщении #1208186 писал(а):

А если это понимать не как обоснование, а как выражение? Разве не заслуживает интереса вопрос «как выразить теорию категорий множествами»?

Мне кажется это более-менее невозможно без какого-либо ущемления категорий. Как только мы хотим рассматривать категорию $\mathbf{Set}$ предтсавляя это как класс множеств в $\mathbf{NBG}$ так тут же возникает желание рассмотреть категорию $\mathbf{Class}$, как только мы рассматриваем это как ансамбль классов в расширенной $\mathbf{NBG}$ тут же возникает желание рассмотреть категорию $\mathbf{Ens}$. И это всё ещё на уровне категорий происходит, на $(\infty,1)$ проблемы куда существеннее. Тут, мне кажется, нужно менять что-то в головах людей грамотно заданным вопросом в духе: "Да, не получается, но почему это нас должно волновать?".

[arseniiv]

Ну, можно взять теорию множеств помощнее, там разве всегда будут такие проблемы? Я честно не знаю.

-- Пн апр 10, 2017 18:16:41 --

kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):

Тут, мне кажется, нужно менять что-то в головах людей грамотно заданным вопросом в духе: "Да, не получается, но почему это нас должно волновать?".

Наверное. Меня вот что-то не волнует, т. к. ограничения в теориях множеств были сделаны для того, чтобы избавиться от известных парадоксов, а в большущих категориях их, вроде, всё равно не возникает(?).

[kp9r4d]

Я тоже. Но меня когда-то это очень волновало и я очень захотел что-то об этом найти, но не нашёл ничего, что бы меня полностью устроило. Потом решил, что волноваться об этом не стоит.

[maximav]

Здесь мне ситуация напоминает известную физическую проблему соотношения микро и макро. Как говорил Нейман, где-нибудь, когда-нибудь, но границу между ними провести все равно придется. Это и будет то место, что физики называют проекционный постулат. Если честно, то меня самого до сих пор добивает мысль, что можно противопоставить этому тезису. Как можно выдумывать нечто новое, если не обращать внимание на эту убийственную мысль. Против лома нет приема. Но, с другой стороны

kp9r4d в сообщении #1208183 писал(а):

... желание свести всё к синтаксису

согласен, бесполезно. Анализировать язык математики вместо мышления (математического/физического), по-моему безнадежно. Вопрос, похоже, вечным останется. Но видите, я окаменелый физик по типу рассуждений, поэтому мне трудно отделаться от идеи, что основы ("по наглому" ) должны быть просты, если не сказать банально примитивны. Я, так или иначе, переношу это на математику. Тут и начинаются непонятки. В общем где-то здесь я и пытаюсь раскопать мотивировки по ТК.

[Metford]

kp9r4d в сообщении #1208165 писал(а):

Деятельность абсолютно конкретного физика, работающего с числами и абстрактного категорщика одинакова: они преобразуют символы (будь то цифры или точки со стрелками) исходя из какого-то своего понимания, суть которого - система мнемоник

А "физическую интуицию" Вы тоже к мнемонике сведёте?
Если Бурбаки - это формализм, то у Вас уже какой-то сверхформализм тогда получается... Или я чего-то не понял.

[maximav]

kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):

тут же возникает желание рассмотреть категорию $\mathbf{Ens}$. И это всё ещё на уровне категорий происходит, на $(\infty,1)$ проблемы куда существеннее

У меня небольшая просьба. Поскольку тут общего характера обсуждение и чтиво может представлять интерес для многих, включая далеко не специалистов, то стараться упрощать мысли. А то я, например, читаю-понимаю, а потом резко в ступор: не догнал. Но это пожелание, пусть каждый пишет как хочет.

kp9r4d в сообщении #1208199 писал(а):

что бы меня полностью устроило. Потом решил, что волноваться об этом не стоит.

А не похоже ли это по факту на то, что тот, кто не знает, но однажды, подергавшись понять, не въехал .... и оказался прав? Потери по-существу нет. Можно ли сказать, что совокупность аксиом-языка-симоволов ТМ, по формальным математическим критериям, просто другая, но равноценная такой же совокупности ТК? Или есть метаматематические (как мы понимаем, их не избежать) несовместимости?

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1208183 писал(а):

Да я не про то, я не понимаю, откуда идёт желание свести всё к синтаксису, к конструктивизму.

Ну как же! В формальной системе понятно, что делать. Есть правила игры. Это как шахматы рядом с живописью.

[maximav]

arseniiv в сообщении #1208163 писал(а):

ТК не больше и не меньше «манипуляция формулами», чем другие матаппараты.

Но сотворение банальных натуральных чисел в ТМ сидит очень близко к с ее аксиоматике. Грубо говоря, прямо под носом. А что с ТК (и числами, конечно)? Любая феноменология без привязки (скрыто или нет) к числам (если угодно к координатам) есть надстройка, но не основы. Физик (не мат, а теор), даже круто-абстракционист, как я мало сомневаюсь, очень хорошо осознает этот момент. Будем считать, что про NGB он знает, поэтому вопрос про "все-что угодно, но не ZFC, NGB ...", но систему, претендующую на фундаментальность. Да, еще. Будем подразумевать, что в нашей "плохой/старой/примитивной ТМ" все же есть понятие класс.

[kp9r4d]

Munin
Ну это плюс для инженеров-программистов, пишущих автопруверы и минус для некоторых частей математики. Как говорил Вавилов (цитата не точная): "Иногда даже аксиома экстенсиональности является слишком сильной".

[maximav]

kp9r4d в сообщении #1208193 писал(а):

Мне кажется это более-менее невозможно без какого-либо ущемления категорий

А наоборот? Что-то типа вложений одного в другое есть или одно шире другого, или есть только области перекрытия?

[Anton_Peplov]

Формальные системы создавались, чтобы проверять доказательства. Для этого пришлось изгнать из доказательств отдающий мистикой элемент "понимания cмысла", о котором можно бесконечно спорить, все ли мы так поняли. Сила формальных систем в том, что, чтобы удостоверить "ход сделан по правилам", не обязательно знать о шахматах хоть что-нибудь, кроме правил.

Касательно вопроса "запоминание vs понимание". Я не понимаю этого вопроса, потому что не могу сформулировать, что такое понимать. Кто-нибудь может? Или мы говорим неизвестно о чем?

P. S. Sorry, что не оформляю цитат. Впервые в жизни сижу на dxdy со смартфона.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #1208213 писал(а):

Ну это плюс для инженеров-программистов, пишущих автопруверы и минус для некоторых частей математики.

Я скорее имел в виду, что это плюс для всех практиков, для которых некая задача - не самоцель, а средство для достижения другой цели.

И что бы вы ни хотели, таких практиков всегда будет на порядки (!) больше, чем "свободных художников", строящих воздушные замки просто потому, что они красивые.

Anton_Peplov в сообщении #1208216 писал(а):

Я не понимаю этого вопроса, потому что не могу сформулировать, что такое понимать. Кто-нибудь может? Или мы говорим неизвестно о чем?

Я примерно понимаю, что kp9r4d называет "мнемониками", хотя я бы их так не назвал: для меня это скорее "образ", причём - рабочий. Например, я могу разобраться, как представить себе 4-мерную сферу или куб, так чтобы потом отвечать на конкретные вопросы об их геометрии, и отвечать правильно.

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Ну вот есть соображения, что категории (полные, со всякими $(\infty,n)$ и прочими) формализовать в формальных системах не получится, и что теперь делать? Считать это не математикой?

Мне наоборот гораздо ближе идея смотреть на математику как на литературоведение, где есть несколько школ, которые как-то используют какие-то слова и доказательством считают разные вещи. Вот кого-то убеждает формализация в формальных системах, кого-то "понимание смысла", кто-то вообще считает, что доказательства не нужны. Сейчас, конечно, такого в полной мере нет, так как есть доминирующее направление мысли, но и доказательств в смысле формальных систем тоже нет (почти). Так что в этом смысле такой взгляд не хуже.

Munin в сообщении #1208220 писал(а):

Я скорее имел в виду, что это плюс для всех практиков, для которых некая задача - не самоцель, а средство для достижения другой цели.

Ну так практики как раз формальными системами не пользуются, а пользуются своим ощущением того какие выкладки/численные методы/мат. модели сработают на практике, а какие нет. Даже если практиков понимать как "решателей математических задач" то они тоже всегда пользуются некоторым чувством того, что специалисты в той или иной области понимают под строгим доказательством, а что нет. Ну вот у категорщиков есть тоже такое общее чувство, просто оно плохо ложиться во всю эту историю с формальными системами.