Задача о двух детях, запутался

[wrest]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185216 писал(а):

но это не суть в данном случае, так как хочется понять природу расхождения, а не просто формулу записать и получить ответ

А вы уже поняли природу расхождения или еще нет?

Можно сказать так: расхождение состоит в том, что в разных задачах вы имеете дело с разными выборками из одной генеральной совокупности, так что и вероятность девочки -- разная.

Природа расхождения -- различное количество информации (о выборке из генеральной совокупности всех двухдетных семей) в различных задачах. В одном случае вы знаете меньше: "один из них - мальчик" (то есть, выбрали только те семьи, где не мене одного мальчика), а в другом -- больше "старший из них - мальчик" (то есть - еще сократили предыдущую выборку, удалив семьи, где девочка -- старшая). Соответственно, используя дополнительную информацию ("старший -- мальчик") вы получаете другую вероятность.

[DmitriyMalakhov]

wrest в сообщении #1185221 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185216 писал(а):

но это не суть в данном случае, так как хочется понять природу расхождения, а не просто формулу записать и получить ответ

А вы уже поняли природу расхождения или еще нет?

Природа расхождения -- различное количество информации (о выборке из генеральной совокупности всех двухдетных семей) в различных задачах. В одном случае вы знаете меньше: "один из них - мальчик" (то есть, выбрали только те семьи, где не мене одного мальчика), а в другом -- больше "старший из них - мальчик" (то есть - еще сократили выборку, удалив семьи где девочка -- старшая). Соответственно, используя дополнительную информацию ("старший -- мальчик") вы получаете другую вероятность.

В каком из условий сказано, что старший это мальчик? у меня этого не было. А если вы это так интерпретировали, то наверное, это не верно.

Природу расхождения, наверное, понял.

[wrest]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185222 писал(а):

В каком из условий сказано, что старший это мальчик? у меня этого не было.

У вас не было. Вот я вам и говорю, что ваше условие "один из них Коля" -- эквивалентно "один из них мальчик" и обе задачи поэтому имеют один (а не разные!) ответы. Разными вы их сделали предположив, что только один из детей -- Коля.

Для того, чтобы "расхождение" появилось, надо как-то упорядочить детей. Например -- по возрасту (мальчик - старший), или пронумеровать (мальчик - первый) или как-то ещё (мальчик -- самый любимый и т.п.).

[iwndr]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185044 писал(а):

задачи можно переформулировать в таком виде:
пусть у нас есть большой мешок с черными и белыми шарами(вероятность вытянуть черный или белый шар 0,5).
Пусть на черных шарах написаны числа от 1 до $n$, на белых от $n + 1$ до $2n$.
Вытягиваем случайно 2 шара.
Вопрос 1) Какая вероятность что второй шар белый, если один из шаров черный? (Ответ - 0,6666...)
Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1? (Ответ 0,5)

mihaild в сообщении #1185078 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185044 писал(а):

Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1? (Ответ 0,5)

Нет, не $\frac{1}{2}$ а $\frac{n-1}{2n-1}$.

Разве не $\frac{n}{4n-2}$?
Все точки пространства элементарных событий (точка $\left ((B,i),(W,j) \right)$ обозначает событие "первый шар черный с числом $i$, второй - белый с числом $j$"):
$\left((B,i),(W,j) \right )\, ,\, 1 \leq i\leq n \, , \, n+1\leq j \leq 2n$ (всего таких точек $n^2$)
$\left((W,j),(B,i) \right )\, ,\, 1 \leq i\leq n \, , \, n+1\leq j \leq 2n$ (всего таких точек $n^2$)
$\left((B,i),(B,j) \right )\, ,\, 1 \leq i,j\leq n \, , \, i \neq j$ (всего таких точек $n(n-1)$)
$\left((W,i),(W,j) \right )\, ,\, n+1 \leq i,j\leq 2n \, , \, i \neq j$ (всего таких точек $n(n-1)$)

Тогда

$$P \left(\text{second W}\mid i=1 \right )=\frac{P \left(\text{second W}\cap i=1 \right )}{P \left(i=1 \right )}=\frac{n}{n+n+(n-1)+(n-1)}=\frac{n}{4n-2}$$

[DmitriyMalakhov]

wrest в сообщении #1185224 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185222 писал(а):

В каком из условий сказано, что старший это мальчик? у меня этого не было.

У вас не было. Вот я вам и говорю, что ваше условие "один из них Коля" -- эквивалентно "один из них мальчик" и обе задачи поэтому имеют один (а не разные!) ответы. Разными вы их сделали предположив, что только один из детей -- Коля.

Для того, чтобы "расхождение" появилось, надо как-то упорядочить детей. Например -- по возрасту (мальчик - старший), или пронумеровать (мальчик - первый) или как-то ещё (мальчик -- самый любимый и т.п.).

Нет, ответы разные и уже получены.
Для первого условия (просто мальчик в семье) ответ $\frac{2}{3}$ что другая девочка
Для второго условия (Коля в семье) ответ примерно $\frac{1}{2}$ что другая девочка (на сколько примерно уже есть в предыдущих постах)

вы опровергните решения которые я в том числе писал если не согласны или приведите ваши решения для двух формулировок, а не просто пишите, что они эквивалентны

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185212 писал(а):

Было сказано один из детей ( да не сказано что в семье). 'Один из детей мальчик' и 'один из детей Коля' (в семье). В противном случае нет интереса в задаче.

Было сказано, да!
Но было спрошено, какова вероятность второго ребенка - девочки?!
Понятно, что она всегда равна 1/2, так как пол одного ребенка никак не зависит от пола другого ребенка.
Путаница у Вас заключается в том, что в одном случае Вы, кроме пола, различаете детей по возрасту,
и получаете четыре различных варианта:
Коля старший и его младший брат
Коля младший и его старший брат
Коля старший и его младшая сестра
коля младший и его старшая сестра.
В итоге у Коли с вероятностью 1/2 есть братик и с вероятностью одна вторая есть сестренка.
Теперь Вы декларируете: я не буду различать детей ни по возрасту, ни по имени,
и получу три различных варианта:
мм, мж, жм.
Очевидно невооруженным глазом, что один из двух последних вариантов лишний, если не различать детей по возрасту...

[Mikhail_K]

wrest в сообщении #1185203 писал(а):

а вы в своем решении "Коля может быть или старшим или младшим" под ковром заменяете условие "хотя бы один Коля" на "ровно один Коля".

Если вероятность для мальчика называться Колей равна $p\ll 1$, то вероятностью $p^2$ того, что в семье ММ есть два Коли (равно как и вероятностью $\frac{1}{4}p^2$ того, что в семье есть два Коли), можно пренебречь.
Более того, разумно так и сделать. Где Вы видели семью, в которой обоих детей зовут одинаково?
(!) Но даже если не пренебрегать этой возможностью, задачи разные.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185216 писал(а):

так как хочется понять природу расхождения

Прочитайте мои сообщения, в которых природа расхождения ясно показана. Например:

Mikhail_K в сообщении #1185004 писал(а):

Разница в том, что в первой задаче семей ММ, семей МЖ и семей ЖМ одинаковое количество. Но во второй задаче семей ММ, в которых есть Коля, вдвое больше, чем семей МЖ, в которых есть Коля, или семей ЖМ, в которых есть Коля.
Потому что в семье с двумя мальчиками больше шансов найти мальчика по имени Коля, чем в семье с одним мальчиком.

Также см. мои сообщения рядом.
Пользователей Лукомор, EUgeneUS, wrest слушать не рекомендую. Я так и не понял, то ли они ошибаются, то ли просто запутывают дело.

[DmitriyMalakhov]

Лукомор в сообщении #1185228 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185212 писал(а):

Было сказано один из детей ( да не сказано что в семье). 'Один из детей мальчик' и 'один из детей Коля' (в семье). В противном случае нет интереса в задаче.

Было сказано, да!
Но было спрошено, какова вероятность второго ребенка - девочки?!
Понятно, что она всегда равна 1/2, так как пол одного ребенка никак не зависит от пола другого ребенка.
Путаница у Вас заключается в том, что в одном случае Вы, кроме пола, различаете детей по возрасту,
и получаете четыре различных варианта:
Коля старший и его младший брат
Коля младший и его старший брат
Коля старший и его младшая сестра
коля младший и его старшая сестра.
В итоге у Коли с вероятностью 1/2 есть братик и с вероятностью одна вторая есть сестренка.
Теперь Вы декларируете: я не буду различать детей ни по возрасту, ни по имени,
и получу три различных варианта:
мм, мж, жм.
Очевидно невооруженным глазом, что один из двух последних вариантов лишний, если не различать детей по возрасту...

С каких это пор он должен быть лишним?
У вас элементарные события ММ, МЖ, ЖМ, ЖЖ, равновероятные. Если сказано, что один из детей М, то останутся ММ, МЖ и ЖМ и все равновероятные, с чем вы не согласны. Более обосновано объясните, а не с помощью невооруженного глаза.

-- 16.01.2017, 18:45 --

Mikhail_K в сообщении #1185229 писал(а):

wrest в сообщении #1185203 писал(а):

а вы в своем решении "Коля может быть или старшим или младшим" под ковром заменяете условие "хотя бы один Коля" на "ровно один Коля".

Если вероятность для мальчика называться Колей равна $p\ll 1$, то вероятностью $p^2$ того, что в семье ММ есть два Коли (равно как и вероятностью $\frac{1}{4}p^2$ того, что в семье есть два Коли), можно пренебречь.
Более того, разумно так и сделать. Где Вы видели семью, в которой обоих детей зовут одинаково?
(!) Но даже если не пренебрегать этой возможностью, задачи разные.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185216 писал(а):

так как хочется понять природу расхождения

Прочитайте мои сообщения, в которых природа расхождения ясно показана. Например:

Mikhail_K в сообщении #1185004 писал(а):

Разница в том, что в первой задаче семей ММ, семей МЖ и семей ЖМ одинаковое количество. Но во второй задаче семей ММ, в которых есть Коля, вдвое больше, чем семей МЖ, в которых есть Коля, или семей ЖМ, в которых есть Коля.
Потому что в семье с двумя мальчиками больше шансов найти мальчика по имени Коля, чем в семье с одним мальчиком.

Также см. мои сообщения рядом.
Пользователей Лукомор, EUgeneUS, wrest слушать не рекомендую. Я так и не понял, то ли они ошибаются, то ли просто запутывают дело.

Я читал и понял. Возражений нет. Я разобрался уже. Да и сам приводил ответы и аналогию с шарами, которые мы достаем из мешка.

[wrest]

Mikhail_K в сообщении #1185229 писал(а):

Если вероятность для мальчика называться Колей равна $p\ll 1$, то вероятностью $p^2$ того, что в семье ММ есть два Коли (равно как и вероятностью $\frac{1}{4}p^2$ того, что в семье есть два Коли), можно пренебречь.

Кажется, что так. Но! Как только мы сказали "один из них Коля" -- мы тут же переходим в мир условных вероятностей, и выкидываем из выборки все семьи где ни одного Коли, оставляя только семьи где не менее одного Коли. И теперь, в нашей выборке, вероятность того, что и второй тоже Коля уже не $\frac{1}{4}p^2$

[mihaild]

wrest в сообщении #1185237 писал(а):

И теперь, в нашей выборке, вероятность того, что и второй тоже Коля уже не $\frac{1}{4}p^2$

В нашей выборке доля семей с двумя Колями всё равно порядка $p$, и ей тоже можно пренебречь (если $p$ мало), получим $\frac{1}{2}$.

iwndr в сообщении #1185225 писал(а):

Разве не $\frac{n}{4n-2}$?

Да, так. Я уже не понимаю, о чем я думал, когда писал ту версию.

[DmitriyMalakhov]

mihaild в сообщении #1185248 писал(а):

wrest в сообщении #1185237 писал(а):

И теперь, в нашей выборке, вероятность того, что и второй тоже Коля уже не $\frac{1}{4}p^2$

В нашей выборке доля семей с двумя Колями всё равно порядка $p$, и ей тоже можно пренебречь (если $p$ мало), получим $\frac{1}{2}$.

iwndr в сообщении #1185225 писал(а):

Разве не $\frac{n}{4n-2}$?

Да, так. Я уже не понимаю, о чем я думал, когда писал ту версию.

Вы хорошо тролите.

Ответ в задаче с шарами $\frac{2n}{(4n - 1)}$. ну вы подставьте $n$ большое в ваш ответ и получите $\frac{1}{4}$, не правильно же.

Решения подробные уже даны (и для шаров и для семей). Если не согласны обоснуйте где ошибка конкретно в решении или приведите свое решение подробно без очевидно и без невооруженным глазом.

[iwndr]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185256 писал(а):

Ответ в задаче с шарами $\frac{2n}{(4n - 1)}$. ну вы подставьте $n$ большое в ваш ответ и получите $\frac{1}{4}$, не правильно же.

Тогда где, по-вашему, ошибка в моем решении?

[DmitriyMalakhov]

iwndr в сообщении #1185260 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185256 писал(а):

Ответ в задаче с шарами $\frac{2n}{(4n - 1)}$. ну вы подставьте $n$ большое в ваш ответ и получите $\frac{1}{4}$, не правильно же.

Тогда где, по-вашему, ошибка в моем решении?

Ваше решение не верно хотя бы уже тем, что у вас вероятность (множества) WW меньше, чем MW, что не верно, вероятности по условию одинаковые и в этом случае равны $\frac{1}{4}$ или количество вариантов в каждом множестве $n^2$

Для дальнейшего разбирательства не ясно какие у вас выражения для вероятностей в числителе и знаменателе (вы приводите уже итоговую дробь). Приведите выражения для вероятностей и будем дальше разбираться.

[mihaild]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185256 писал(а):

Вы хорошо тролите.

Ответ в задаче с шарами $\frac{2n}{(4n - 1)}$.

Я не троллю, я не умею читать, и не заметил, что пропущена двойка (post1185102.html#p1185102)

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185230 писал(а):

У вас элементарные события ММ, МЖ, ЖМ, ЖЖ, равновероятные. Если сказано, что один из детей М, то останутся ММ, МЖ и ЖМ и все равновероятные, с чем вы не согласны. Более обосновано объясните, а не с помощью невооруженного глаза.

Я с Вами абсолютно согласен! А вы со мной не согласны...
Конечно же останутся три варианта:ММ, МЖ и ЖМ, и они равновероятны!
На каждую семью в которой два мальчика, приходится две семьи, в которых мальчик и девочка!
И если мы спросим родителей, мальчик или девочка другой ребенок, две трети родителей скажут, что другой ребенок у них девочка.
Другой ребенок, это не тот мальчик, который вот только что забегал на кухню...
Другой ребенок, это чаще девочка, и реже мальчик...
Причем если этот другой ребенок - мальчик, то он довольно странный мальчик
Он совсем не похож на первого....
Если один мальчик есть в каждой, буквально, семье, где есть хотя бы один мальчик, то другой мальчик, только в одной из трех семей...
У одного мальчика с вероятностью 1/3 есть брат, и с вероятностью 2/3 сестра.
У другого мальчика достоверно есть брат, но никогда - сестра... Потому что он - брат "одного мальчика".
А самое главное, у одного мальчика часто спрашивают, есть ли у него брат или сестра.
У другого мальчика об этом никогда не спрашивают,
и его брата никто никогда не учитывает при подсчете этих самых вероятностей.

А теперь более обоснованно прикинем на пальцах,
если уж нам запретили пользоваться невооруженным взглядом...

ММ, МЖ, ЖМ...
Всего три семьи по два ребенка, а какая драма за этим скрывается!
Итак, три семьи по два ребенка, это всего шесть детей...
Из этих шести детей - четыре мальчика. Четыре, Карл!
И всего лишь две девочки...
Теперь каждого из четырех мальчиков спрашиваем, есть ли у него брат или сестра.
Это важно!
Потому что три мальчика из четырех - это тот самый "один мальчик", который есть в каждой из трех семей.
А четвертый мальчик - это "другой мальчик", тот, который всего лишь в одной семье из этих трех.
И у которого всегда есть брат, и никогда нет сестры.
Четыре мальчика...
Я им присвою номера, вместо безликой метрополитенской эмблемы:
ММ, МЖ, ЖМ...
1 2, 3 Ж, Ж 4...
А теперь посчитаем, сколько у этих мальчиков братьев, и сколько сестер:
У первого мальчика есть брат.
У второго мальчика есть брат (а ведь его никто никогда об этом не спрашивал, учитывали только брата "одного мальчика").
У третьего мальчика есть сестра.
У четвертого мальчика есть сестра.
Не трудно определить, что вероятность того, что у любого мальчика есть брат равна 1/2,
и у любого мальчика есть сестра равна 1/2.

Так получается потому, что четыре мальчика и две девочки упакованы в три семьи, причем так хитро, что всего лишь в одной семье из трех есть два мальчика, а в двух других семьях есть и мальчик и девочка...