Задача о двух детях, запутался

[iwndr]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185262 писал(а):

Ваше решение не верно хотя бы уже тем, что у вас вероятность (множества) WW меньше, чем MW, что не верно, вероятности по условию одинаковые и в этом случае равны $\frac{1}{4}$ или количество вариантов в каждом множестве $n^2$

Предполагается, что шары не возвращаются в мешок. В таком случае, событие, например, $\left((B,1),(B,1)\right)$ невозможно. Тогда понятно, что вероятность вытащить два шара одинакового цвета меньше, чем вероятность вытащить два разноцветных шара.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185262 писал(а):

Для дальнейшего разбирательства не ясно какие у вас выражения для вероятностей в числителе и знаменателе (вы приводите уже итоговую дробь). Приведите выражения для вероятностей и будем дальше разбираться.

Числитель:
$P \left(\text{second W}\cap i=1 \right )=P \left(\{(B,1),(W,j) \} \right )=n/|\Omega|$, ибо событие "второй белый и на одном из шаров написано 1" есть событие "первый черный с надписью 1, второй белый". Поскольку $j$ пробегает $n$ значений (от $n+1$ до $2n$), получаем $n$ точек. Отсюда $n/|\Omega|$.

Знаменатель:
$P \left(i=1 \right )=\frac{n+n+(n-1)+(n-1)}{|\Omega|}$ ибо данное событие включает:

$n$ точек вида $\{((B,1),(W,n+1)),((B,1),(W,n+2)), \dots ,((B,1),(W,2n)) \}$ (т. е. сперва черный с 1, а потом белый)
$n$ точек вида $\{((W,n+1),(B,1)),((W,n+2),(B,1)), \dots ,((W,2n),(B,1)) \}$ (т. е. сперва белый, а потом черный с 1)
$n-1$ точек вида $\{((B,1),(B,2)),((B,1),(B,3)), \dots ,((B,1),(B,n)) \}$ (т. е. сперва черный с 1, а потом черный с другим числом)
$n-1$ точек вида $\{((B,2),(B,1)),((B,3),(B,1)), \dots ,((B,n),(B,1)) \}$ (т. е. сперва черный с $i\neq 1$, а потом черный с 1)

[DmitriyMalakhov]

iwndr в сообщении #1185272 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185262 писал(а):

Ваше решение не верно хотя бы уже тем, что у вас вероятность (множества) WW меньше, чем MW, что не верно, вероятности по условию одинаковые и в этом случае равны $\frac{1}{4}$ или количество вариантов в каждом множестве $n^2$

Предполагается, что шары не возвращаются в мешок. В таком случае, событие, например, $\left((B,1),(B,1)\right)$ невозможно. Тогда понятно, что вероятность вытащить два шара одинакового цвета меньше, чем вероятность вытащить два разноцветных шара.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185262 писал(а):

Для дальнейшего разбирательства не ясно какие у вас выражения для вероятностей в числителе и знаменателе (вы приводите уже итоговую дробь). Приведите выражения для вероятностей и будем дальше разбираться.

Числитель:
$P \left(\text{second W}\cap i=1 \right )=P \left(\{(B,1),(W,j) \} \right )=n/|\Omega|$, ибо событие "второй белый и на одном из шаров написано 1" есть событие "первый черный с надписью 1, второй белый". Поскольку $j$ пробегает $n$ значений (от $n+1$ до $2n$), получаем $n$ точек. Отсюда $n/|\Omega|$.

Знаменатель:
$P \left(i=1 \right )=\frac{n+n+(n-1)+(n-1)}{|\Omega|}$ ибо данное событие включает:

$n$ точек вида $\{((B,1),(W,n+1)),((B,1),(W,n+2)), \dots ,((B,1),(W,2n)) \}$ (т. е. сперва черный с 1, а потом белый)
$n$ точек вида $\{((W,n+1),(B,1)),((W,n+2),(B,1)), \dots ,((W,2n),(B,1)) \}$ (т. е. сперва белый, а потом черный с 1)
$n-1$ точек вида $\{((B,1),(B,2)),((B,1),(B,3)), \dots ,((B,1),(B,n)) \}$ (т. е. сперва черный с 1, а потом черный с другим числом)
$n-1$ точек вида $\{((B,2),(B,1)),((B,3),(B,1)), \dots ,((B,n),(B,1)) \}$ (т. е. сперва черный с $i\neq 1$, а потом черный с 1)

Во первых, условие в задаче предполагает возможность одинаковых чисел (событие $\left((B,1),(B,1)\right)$ возможно). В противном случае у вас случай $n = 1$ невозможно.
Во вторых вероятность в числителе в два раза больше, так как вы рассматриваете варианты только "первый черный с надписью 1, второй белый", но упускаете случай "первый белый, второй черный с надписью 1"

[iwndr]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185282 писал(а):

но упускаете случай "первый белый, второй черный с надписью 1"

Так ведь второй должен быть белым. $P \left(\text{second W}\cap i=1 \right )$ это вероятность события "второй белый и на одном из шаров написано 1". Напоминаю - вы рассматриваете событие

Цитата:

Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1?

UPD: Хотя, кажется, я понял о чем вы. "Второй" в вашем вопросе означает "другой", а не "второй в порядке вытаскивания" (иначе вы бы написали "Какова вероятность того, что второй шар белый, если на первом написано 1"). Тогда согласен.

[Lia]

DmitriyMalakhov
Замечание за избыточное цитирование по всей теме. Для выборочного цитирования выделенного фрагмента поста можно пользоваться кнопкой "Вставка".

[Someone]

(Оффтоп)

DmitriyMalakhov в сообщении #1185216 писал(а):

они отбрасывают возможность двух Коль в семье

Моя мать знала семью, в которой было три сына, и все Иваны. И дело не в том, что родители не знали других имён. Имена выбирал поп при крещении ребёнка. Родители пытались его уговаривать, чтобы имена были хотя бы разные, но поп был непреклонен.

[mihailm]

(Оффтоп)

Как в Пушкине прямо - "поп, толоконный лоб")
Но вобще то имя дают при рождении, гораздо раньше крещения. Поп конечно может дать свое имя, но обычно в том случае, если родительского имени нет в святцах.
И еще, второе имя (церковное) даже сейчас распространенная практика (например, у меня у бабушки кроме польского было данное попом) и жить это никак не мешает.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1185333 писал(а):

Моя мать знала семью, в которой было три сына, и все Иваны.

Классика жанра:

Цитата:

- Вы Винценто оба?
- Чёрт побери!
С рожденья и до гроба,
Таков наш древний родовой закон -
Что всех мужчин зовут в семье Винценто.
(с) к/ф "Гусарская баллада"

[Лукомор]

(Оффтоп)

В действительности все иначе, чем на самом деле. (с) Антуан де Сент-Экзюпери

Проведем несколько вероятностных опытов с различными условиями.
Прежде всего подготовим реквизит.
Это три урны, в каждую из которых я положу пару шаров.
В одну урну два черных шара.
В две другие урны по одному черному и одному белому шару.
Уже сейчас, когда никаких действий с урнами и шарами еще не производилось,
выполнено обязательное условие:
В каждой урне есть хотя бы один мальчик, хотя бы один черный шар.
Никакие дальнейшие действия на это условие не повлияют.
На момент начала опыта оно соблюдено уже автоматически.
I.
Первый опыт заключается в том, что я прошу Вас выбрать одну из трех урн.
Выбрали?! А какую?!
Понятно: с вероятностью 1/3 выбрали урну с двумя черными шарами,
с вероятностью 2/3 - с одним черным и одним белым.
Теперь я прошу Вас из выбранной урны достать наудачу один шар.
Какого цвета шар вы достали?!
С вероятностью, 2/3 этот шар - черный, с вероятностью 1/3 вы достали белый шар.
Какого цвета шар теперь остался в ящике.
Опять, с вероятностью 2/3 другой шар черный, с вероятностью 1/3 он белый.
В переводе на детей: случайно выбранный ребенок будет с вероятностью 2/3 мальчик.
Другой ребенок тоже с вероятностью 2/3 мальчик.
И все это при условии, что выбор ведется из семей, где хотя бы один ребенок - мальчик.
II.
Изменим условия опыта.
Снова три урны, снова в каждой по два шара, мы всё вернули как было.
Вы выбираете урну, достаете один шар.
И, только если он черный, достаете из той же урны другой шар.
Какова вероятность того, что второй шар черный, при условии, что первый был черный?!
Эта вероятность равна 1/2.
То есть, если вы случайно выбрали ребенка, при соблюдении условий, что в семье два ребенка, и один из них обязательно мальчик, и если этот ребенок случайно оказался мальчиком, то другой ребенок с вероятностью 1/2 - мальчик.
III.
Следующий опыт.
Всё то же самое, только я перед началом опыта убираю по одному черному шару из каждой урны.
Потому что в каждой урне есть как минимум один черный шар.
(А убрать из каждой урны белый шар я не могу, потому что не в каждой урне он есть).
В каждой урне теперь по одному шару (один я убрал).
Теперь, выбрав урну, вы с вероятностью 1/3 достанете из нее черный шар, и с вероятностью 2/3 - белый шар.
1/3 - это вероятность того, что другой ребенок - мальчик, если первым ребенком Вы назначили мальчика.
-------------------------------------------
Три опыта.
Три вероятности того что "другой ребенок - мальчик".
(2/3 - в первом опыте, 1/2 - во втором опыте, 1/3 - в третьем опыте).
Во всех трех опытах условие: "в семье ровно из двух детей, хотя бы один - мальчик", - соблюдено.
И ни одного мальчика не зовут Колей...

[Someone]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1185339 писал(а):

Но вобще то имя дают при рождении, гораздо раньше крещения. Поп конечно может дать свое имя, но обычно в том случае, если родительского имени нет в святцах.
И еще, второе имя (церковное) даже сейчас распространенная практика (например, у меня у бабушки кроме польского было данное попом) и жить это никак не мешает.

Это происходило не "сейчас", а более 100 лет назад, в деревне.

[DmitriyMalakhov]

Лукомор в сообщении #1185351 писал(а):

I.
Первый опыт заключается в том, что я прошу Вас выбрать одну из трех урн.
Выбрали?! А какую?!
Понятно: с вероятностью 1/3 выбрали урну с двумя черными шарами,
с вероятностью 2/3 - с одним черным и одним белым.
Теперь я прошу Вас из выбранной урны достать наудачу один шар.
Какого цвета шар вы достали?!
С вероятностью, 2/3 этот шар - черный, с вероятностью 1/3 вы достали белый шар.
Какого цвета шар теперь остался в ящике.
Опять, с вероятностью 2/3 другой шар черный, с вероятностью 1/3 он белый.

Приведите подробно, почему оставшийся шар черный с вероятностью $\frac{2}{3}$ (условная вероятность двух черных если первым вынули черный) ? У меня так не получается. У меня получилось $\frac{1}{2}$.


А понял.

[Lia]

Лукомор
DmitriyMalakhov
Замечание за неоформление формул.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1185393 писал(а):

Лукомор
DmitriyMalakhov
Замечание за неоформление формул.

Виноват, исправлюсь!

[wrest]

Лукомор в сообщении #1185351 писал(а):

Три опыта.
Три вероятности того что "другой ребенок - мальчик".

Прекрасное и очень ясное пояснение
Через три года стоит начать прямо с него

[DmitriyMalakhov]

Лукомор в сообщении #1185351 писал(а):

Во всех трех опытах условие: "в семье ровно из двух детей, хотя бы один - мальчик", - соблюдено.

И что? В задачах было четко сказано что вероятности условные.

Лукомор в сообщении #1185351 писал(а):

И ни одного мальчика не зовут Колей...

Мы сообщили не только пол мальчика, но и его имя, дали больше информации (по сравнению с тем, когда просто говорим пол одного из детей), почему при этом неопределенность в поле другого ребенка увеличилась? Если говорим пол одного из детей то вероятность другой девочки $\frac{2}{3}$ а если говорим еще и имя, то вероятность примерно $\frac{1}{2}$.

-- 17.01.2017, 13:30 --

wrest в сообщении #1185395 писал(а):

Прекрасное и очень ясное пояснение
Через три года стоит начать прямо с него

Объяснения чего? Вы прочтите условие задач и "объяснения". Человек провел опыты, спасибо ему за это. Только что они объясняют? То что проводя разные манипуляции получим разные ответы?

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185398 писал(а):

И что? В задачах было четко сказано что вероятности условные.

Конечно условные!
Как только мы сформулировали дополнительное условие, изменившее множество элементарных исходов, все вероятности стали условными.
Это нормальный процесс.