Задача о двух детях, запутался

[DmitriyMalakhov]

mihaild в сообщении #1185078 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185044 писал(а):

Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1? (Ответ 0,5)

Нет, не $\frac{1}{2}$ а $\frac{n-1}{2n-1}$.

нет, при $n =1$ у вас получается ответ $0$, а ответ $0{,}5$ (видимо вы не так поняли условие)
каждое из чисел имеет одинаковую вероятность на шарах $\frac{1}{n}$, а шаров бесконечно много.
Более точно имеются в мешке бесконечное число шаров(черных и белых) вероятность вытащить белый или черный 0,5.
На черных написано числа $1,2,\dots,n$ каждое число с вероятностью $\frac{1}{n}$. На белых числа $n + 1,\dots,2n$ c одинаковой вероятностью $\frac{1}{n}$.

[Someone]

EUgeneUS в сообщении #1185024 писал(а):

это не моя задача.

Да, не ваша. Прошу прощения. Это был vamoroz. Но это не отменяет того, что я писал о задаче.

[mihaild]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185079 писал(а):

нет, при n =1 у вас получается ответ 0, а ответ 0,5 (видимо вы не так поняли условие)

Да, это была вероятность вытащить еще один черный шар, а не белый.

Не очень понятно, что такое "бесконечное число шаров", видимо имеется в виду, что цифры на подряд вытащенных шарах независимы?

Впрочем, всё равно я написал бред. Обозначим за $p$ вероятность события "вытащили $1$" (т.е. $\frac{1}{2n}$). Событие "есть $1$" это сумма трех непересекающихся событий "две $1$" (с вероятностью $p^2$), "$1$ и черный не-$1$" (с вероятностью $2 \cdot p \cdot \left(\frac{1}{2} - p\right) = p - 2p^2$), "$1$ и белый" с вероятностью $2\cdot p\cdot\frac{1}{2} = p$. Получаем вероятность "$1$ и белый" при условии $1$ равную $\frac{p}{p + p^2 + p - 2p^2} = \frac{1}{2 - p}$. Что равно ожидаемым $\frac{2}{3}$ при $p = \frac{1}{2}$ (когда $1 = \text{черный}$).

[DmitriyMalakhov]

mihaild в сообщении #1185102 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185079 писал(а):

нет, при n =1 у вас получается ответ 0, а ответ 0,5 (видимо вы не так поняли условие)

Да, это была вероятность вытащить еще один черный шар, а не белый.

Не очень понятно, что такое "бесконечное число шаров", видимо имеется в виду, что цифры на подряд вытащенных шарах независимы?

Впрочем, всё равно я написал бред. Обозначим за $p$ вероятность события "вытащили $1$" (т.е. $\frac{1}{2n}$). Событие "есть $1$" это сумма трех непересекающихся событий "две $1$" (с вероятностью $p^2$), "$1$ и черный не-$1$" (с вероятностью $2 \cdot p \cdot \left(\frac{1}{2} - p\right) = p - 2p^2$), "$1$ и белый" с вероятностью $2\cdot p\cdot\frac{1}{2} = p$. Получаем вероятность "$1$ и белый" при условии $1$ равную $\frac{p}{p + p^2 + p - 2p^2} = \frac{1}{2 - p}$. Что равно ожидаемым $\frac{2}{3}$ при $p = \frac{1}{2}$ (когда $1 = \text{черный}$).

Что такое бесконечное число шаров - это значит, что вероятности вынуть белый или черный не зависят от того сколько шаров достали до этого и равна 0,5 и вероятность получить то или иное число тоже не зависит от того что до этого вынули.


Опять не верно.(что значит сначала вы обозначили - Обозначим за $p$ вероятность события "вытащили $1$" (т.е. $\frac{1}{2n}$), а потом говорите - при $p = \frac{1}{2}$ это как?

Посчитаем условную вероятность вытащить белый, если на одном из шаров цифра 1.
Получим вероятность события один белый, один с надписью '1' равна $\frac{1}{2n}$ . Вероятность события иммется по крайней мере один шар с надписью '1' равна $1 -\frac{(2n-1)^2}{(2n)^2}$ . искомая вероятность равна их отношению
$ \frac{\frac{1}{2n}}{1 -\frac{(2n-1)^2}{(2n)^2}}$ или после упрощения получим $\frac{2n}{4n - 1}$
Ответ так же как и в исходных задачах хорошо проверяется на предельных случаях (при n очень большом ответ $\frac{1}{2}$). А вот при $n = 1$ (то есть у нас только цифры 1 имеются , ответ получается $\frac{2}{3}$. Вероятность падает от $\frac{2}{3}$) до $\frac{1}{2}$) по мере роста количества разных имен (разных чисел на шарах)

[Karan]

DmitriyMalakhov, замечание за неоформление формул с помощью LaTeX ( post1185079.html#p1185079 )
Сообщение исправлено.

[mihaild]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185154 писал(а):

Опять не верно.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185154 писал(а):

или после упрощения получим $\frac{2n}{4n - 1}$

А ничего страшного, что $\frac{1}{2-p} = \frac{2n}{4n - 1}$? Что неверного-то?

[DmitriyMalakhov]

mihaild в сообщении #1185160 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185154 писал(а):

Опять не верно.

DmitriyMalakhov в сообщении #1185154 писал(а):

или после упрощения получим $\frac{2n}{4n - 1}$

А ничего страшного, что $\frac{1}{2-p} = \frac{2n}{4n - 1}$? Что неверного-то?

не понял я, просто вы сначала обозначали за $p$ одно, а потом написали, что пусть $p = \frac{1}{2}$, сейчас согласен.

[EUgeneUS]

Someone в сообщении #1185082 писал(а):

Да, не ваша. Прошу прощения. Это был vamoroz . Но это не отменяет того, что я писал о задаче.

Нисколько не хочу вступать с Вами в спор, для меня это безнадежно.

Но все таки еще раз попытаюсь донести свою мысль. Цитата из первого сообщения в теме:

DmitriyMalakhov в сообщении #1184667 писал(а):

вам говорят, что одного из детей зовут Коля.

У нас есть ответ, но нет вопроса. Предлагается самим догадаться, что это был за вопрос, как был получен ответ, по какой процедуре. А это не однозначно. Если мы знаем, какие могут быть ответы, (даже не озвученные в этот раз), мы можем восстановить вопрос и процедуру отбора, тогда решение становится однозначным.

Можно отбирать как предложил:

Mikhail_K в сообщении #1185040 писал(а):

Обзваниваем все двудетные семьи и задаём им два вопроса: 1) Один из Ваших детей - мальчик? / Один из Ваших детей - Коля? 2) (задаём только в случае положительного ответа на первый вопрос) Другой Ваш ребёнок - девочка?
Смотрим, какой среди положительно ответивших на первый вопрос процент тех, кто положительно ответил и на второй тоже.
Мне кажется, это единственный разумный способ интерпретировать условие задачи.

Тогда все становится однозначным. А можно по-другому: задаем вопрос "Если у вас есть мальчик, то как его зовут?", получаем ответ "Коля". Это соответствует условию задачи (мы знаем, что в какой-то семье из двух детей есть Коля), но решение и ответ в задаче будет другим.

[DmitriyMalakhov]

EUgeneUS в сообщении #1185188 писал(а):

Someone в сообщении #1185082 писал(а):

Но все таки еще раз попытаюсь донести свою мысль. Цитата из первого сообщения в теме:

DmitriyMalakhov в сообщении #1184667 писал(а):

вам говорят, что одного из детей зовут Коля.

У нас есть ответ, но нет вопроса. Предлагается самим догадаться, что это был за вопрос, как был получен ответ, по какой процедуре. А это не однозначно. Если мы знаем, какие могут быть ответы, (даже не озвученные в этот раз), мы можем восстановить вопрос и процедуру отбора, тогда решение становится однозначным.

Можно отбирать как предложил:

Mikhail_K в сообщении #1185040 писал(а):

Обзваниваем все двудетные семьи и задаём им два вопроса: 1) Один из Ваших детей - мальчик? / Один из Ваших детей - Коля? 2) (задаём только в случае положительного ответа на первый вопрос) Другой Ваш ребёнок - девочка?
Смотрим, какой среди положительно ответивших на первый вопрос процент тех, кто положительно ответил и на второй тоже.
Мне кажется, это единственный разумный способ интерпретировать условие задачи.

Тогда все становится однозначным. А можно по-другому: задаем вопрос "Если у вас есть мальчик, то как его зовут?", получаем ответ "Коля". Это соответствует условию задачи (мы знаем, что в какой-то семье из двух детей есть Коля), но решение и ответ в задаче будет другим.

Как нет вопроса? В первом посту все написано, что какова вероятность второго ребенка девочки, если вам скажут что одного из детей зовут Коля? Задача, по моему четко сформулирована, а как вы ее интерпретируете это уже ваше дело. Я уже написал, что задача эквивалентна вытаскиванию шаров из мешка несколько постов раньше.

По моему понятно, что в одном случае у вас отбираются все семьи, где хотя бы один из детей мальчик, а во втором случае все семьи, где есть хоть один Коля.

[wrest]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185196 писал(а):

По моему понятно, что

Причина споров состоит как раз в "понятно, что..." которое не очень-то однозначно понятно.
"хотя бы один мальчик" и "хотя бы один Коля" -- это одно и то же, а вы в своем решении "Коля может быть или старшим или младшим" под ковром заменяете условие "хотя бы один Коля" на "ровно один Коля".

[DmitriyMalakhov]

wrest в сообщении #1185203 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185196 писал(а):

По моему понятно, что

Причина споров состоит как раз в "понятно, что..." которое не очень-то однозначно понятно.
"хотя бы один мальчик" и "хотя бы один Коля" -- это одно и то же, а вы в своем решении "Коля может быть или старшим или младшим" под ковром заменяете условие "хотя бы один Коля" на "ровно один Коля".

Не понял, с чего вы взяли, что "хотя бы один мальчик" и "хотя бы один Коля" -- это одно и то же? Это совсем не одно и то же.
Задача была определена ясно, а то что у меня не решение, а рассуждения были не совсем точны (да и то можно поспорить), то я по этой причине и просил объяснить где я ошибаюсь и вообще почему на первый взгляд из одинаковых условий получаются разные ответы.

[Лукомор]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185196 писал(а):

какова вероятность второго ребенка девочки

Вот это как раз и нечетко сформулировано.
И все зависит от того, что Вы под этим понимаете.
Если понимать под "второго ребенка - девочки" то, что в данной семье есть и мальчик и девочка, то вероятность такого события равна 2/3.
Если понимать под "второго ребенка - девочки" то, что у мальчика есть сестричка, то вероятность такого события равна 1/2.

[DmitriyMalakhov]

Лукомор в сообщении #1185211 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185196 писал(а):

какова вероятность второго ребенка девочки

Вот это как раз и нечетко сформулировано.
И все зависит от того, что Вы под этим понимаете.
Если понимать под "второго ребенка - девочки" то, что в данной семье есть и мальчик и девочка, то вероятность такого события равна 2/3.
Если понимать под "второго ребенка - девочки" то, что у мальчика есть сестричка, то вероятность такого события равна 1/2.

Вы просто вырываете цитаты из контекста, а потом пытаетесь что то домыслить. Приводите полный вопрос. Было сказано один из детей ( да не сказано что в семье). 'Один из детей мальчик' и 'один из детей Коля' (в семье). В противном случае нет интереса в задаче.
Эквивалент задачи с детьми я привел с шарами(белые и черные - мальчик девочка с надписями на них - имена).

[wrest]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185208 писал(а):

Не понял, с чего вы взяли, что "хотя бы один мальчик" и "хотя бы один Коля" -- это одно и то же? Это совсем не одно и то же.

Потому что "хотя бы один" означает "один или два". Так что "хотя бы один Коля" означает "один или два Коли", также как "хотя бы один мальчик" означает "один или два мальчика". И разницы в постановке задачи тогда нет (потому что допущение, что все Коли - мальчики, оспорить довольно трудно), только если вы не считаете очевидным что два Коли это невозможная ситуация.
Условие "один из них" -- это эквивалент "хотя бы один", т.к. "один из них Коля" допускает что и второй тоже Коля.

А вот "старший - мальчик" это совсем другое, т.к. старший всегда только один из детей.

[DmitriyMalakhov]

wrest в сообщении #1185213 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1185208 писал(а):

Не понял, с чего вы взяли, что "хотя бы один мальчик" и "хотя бы один Коля" -- это одно и то же? Это совсем не одно и то же.

Потому что "хотя бы один" означает "один или два". Так что "хотя бы один Коля" означает "один или два Коли", также как "хотя бы один мальчик" означает "один или два мальчика". И разницы в постановке задачи тогда нет (потому что допущение, что все Коли - мальчики, оспорить довольно трудно), только если вы не считаете очевидным что два Коли это невозможная ситуация.
Условие "один из них" -- это эквивалент "хотя бы один", т.к. "один из них Коля" допускает что и второй тоже Коля.

А вот "старший - мальчик" это совсем другое, т.к. старший всегда только один из детей.

Я говорю о различии во фразах с точки зрения задачи (они разные). В начальных рассуждениях я пытался себе объяснить почему получается различие в ответах (и в принципе рассуждения не так уж и не верны , да они отбрасывают возможность двух Коль в семье, но это не суть в данном случае, так как хочется понять природу расхождения, а не просто формулу записать и получить ответ)