Задача о двух детях, запутался

[DmitriyMalakhov]

Лукомор в сообщении #1184982 писал(а):

DmitriyMalakhov в сообщении #1184977 писал(а):

Нет, если у нас только Коли, то вероятность второй девочки $p = \frac{2}{3}$, в этом случае сказать что один из детей мальчик эквивалентно сказать, что один из детей Коля

Не так.
Если один из детей Коля, то вероятность второй девочки равна $1/2$ и второго мальчика тоже $1/2$, поскольку в семье из двух мальчиков "один из детей" - Коля - с вероятностью $1/2$ и с вероятностью 1/2 - Коля не "один из детей", а его брат, при этом с вероятностью 1 у Коли есть брат, и с вероятностью 0 у Коли есть сестра...

Нет, Если у нас есть только Коли, то
вопрос вероятность второй девочки, если в семье есть мальчик будет эквивалентен вопросу
вероятность второй девочки, если в семье есть Коля. И ответ будет 0,6666 вероятность девочки.
Потому что если есть мальчик, то это Коля .
Покажите ошибку в этом конкретном обосновании?

[Mikhail_K]

atlakatl в сообщении #1184986 писал(а):

Mikhail_K, начнём с исходника. Приведите решения этих задач.
Ну или хотя бы отличия в решении. - Прямо отталкиваясь от формулировки ТС.

Без априорных условий, следующие варианты семей с двумя детьми равновероятны: ММ, МЖ, ЖМ, ЖЖ.

Задача 1. Дано, что один из детей мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок мальчик?
(Я это условие понимаю так. Дано, что хотя бы один из детей - мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка - мальчики?)
Решение. Пусть дано, что один из детей мальчик. Это значит, что остаются три варианта (по-прежнему равновероятные): ММ, МЖ, ЖМ. Вероятность ММ равна $1/3$. Это и есть ответ.

(Гм. А Лукомор, видимо, понимает это условие так. Взят мальчик из двудетной семьи. Какова вероятность того, что его брат - тоже мальчик?
Разумеется, тогда ответ будет другой. Но моё толкование мне кажется адекватнее условию. Если спрашивать всевозможные двудетные семьи - "Верно ли, что один из детей у вас мальчик?" - то ответят "да" семьи ММ, МЖ, ЖМ. Ровно треть из этих семей (ММ) ответит "да" и на второй вопрос: "Верно ли, что другой ваш ребёнок - тоже мальчик?" Хотя при ответе на первый вопрос эти семьи ММ не фиксировали мальчика, а при ответе на второй им пришлось это сделать.)

-- 15.01.2017, 18:41 --

Ах да, задача формулировалась на самом деле так:

Задача 1. Дано, что один из детей мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок - девочка?
(Я это условие понимаю так. Дано, что хотя бы один из детей - мальчик. Какова вероятность того, что в семье есть девочка?)
Решение. Пусть дано, что один из детей мальчик. Это значит, что остаются три варианта (по-прежнему равновероятные): ММ, МЖ, ЖМ. Вероятность МЖ или ЖМ равна $2/3$. Это и есть ответ.

(Опять же, моё толкование мне кажется адекватным условию. Если спрашивать всевозможные двудетные семьи - "Верно ли, что один из детей у вас мальчик?" - то ответят "да" семьи ММ, МЖ, ЖМ. Ровно $2/3$ из этих семей (МЖ, ЖМ) ответит "да" и на второй вопрос: "Верно ли, что другой ваш ребёнок - девочка?")

[DmitriyMalakhov]

Mikhail_K в сообщении #1184994 писал(а):

atlakatl в сообщении #1184986 писал(а):

Mikhail_K, начнём с исходника. Приведите решения этих задач.
Ну или хотя бы отличия в решении. - Прямо отталкиваясь от формулировки ТС.

Без априорных условий, следующие варианты семей с двумя детьми равновероятны: ММ, МЖ, ЖМ, ЖЖ.

Задача 1. Дано, что один из детей мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок мальчик?
(Я это условие понимаю так. Дано, что хотя бы один из детей - мальчик. Какова вероятность того, что оба ребёнка - мальчики?)
Решение. Пусть дано, что один из детей мальчик. Это значит, что остаются три варианта (по-прежнему равновероятные): ММ, МЖ, ЖМ. Вероятность ММ равна $1/3$. Это и есть ответ.

(Гм. А Лукомор, видимо, понимает это условие так. Взят мальчик из двудетной семьи. Какова вероятность того, что его брат - тоже мальчик?
Разумеется, тогда ответ будет другой. Но моё толкование мне кажется адекватнее условию. Если спрашивать всевозможные двудетные семьи - "Верно ли, что один из детей у вас мальчик?" - то ответят "да" семьи ММ, МЖ, ЖМ. Ровно треть из этих семей (ММ) ответит "да" и на второй вопрос: "Верно ли, что другой ваш ребёнок - тоже мальчик?" Хотя при ответе на первый вопрос эти семьи ММ не фиксировали мальчика, а при ответе на второй им пришлось это сделать.)

-- 15.01.2017, 18:41 --

Ах да, задача формулировалась на самом деле так:

Задача 1. Дано, что один из детей мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок - девочка?
(Я это условие понимаю так. Дано, что хотя бы один из детей - мальчик. Какова вероятность того, что в семье есть девочка?)
Решение. Пусть дано, что один из детей мальчик. Это значит, что остаются три варианта (по-прежнему равновероятные): ММ, МЖ, ЖМ. Вероятность МЖ или ЖМ равна $2/3$. Это и есть ответ.

(Опять же, моё толкование мне кажется адекватным условию. Если спрашивать всевозможные двудетные семьи - "Верно ли, что один из детей у вас мальчик?" - то ответят "да" семьи ММ, МЖ, ЖМ. Ровно $2/3$ из этих семей (МЖ, ЖМ) ответит "да" и на второй вопрос: "Верно ли, что другой ваш ребёнок - девочка?")

Все правильно, это и есть первая задача (и ответ верный). А вторая задача точно такая же, но вместо того что в семье есть мальчик, говорят, что в семье есть Коля. Вопрос такой же как и в первой задаче

[Mikhail_K]

DmitriyMalakhov в сообщении #1184999 писал(а):

Вопрос такой же как и в первой задаче

Нет, вопрос другой, и сейчас объясню почему.

[atlakatl]

Mikhail_K
Ничего не понял. Просто ответьте на мой вопрос. Либо объясните Ваше

Mikhail_K в сообщении #1184994 писал(а):

Ах да, задача формулировалась на самом деле так:

[Mikhail_K]

Разница в том, что в первой задаче семей ММ, семей МЖ и семей ЖМ одинаковое количество. Но во второй задаче семей ММ, в которых есть Коля, вдвое больше, чем семей МЖ, в которых есть Коля, или семей ЖМ, в которых есть Коля.
Потому что в семье с двумя мальчиками больше шансов найти мальчика по имени Коля, чем в семье с одним мальчиком.

Задача 2. Дано, что одного из мальчиков в двудетной семье зовут Коля. Какова вероятность, что другой ребёнок - девочка?

Решение. Пусть вероятность того, что мальчика зовут Коля, равна $p\ll1$, а вероятность того, что у него иное имя - $1-p$. Тогда вероятность того, что в семье ММ оба мальчика - не Коли, равна $(1-p)^2$. А вероятность того, что среди мальчиков есть Коля, равна $1-(1-p)^2=2p-p^2\approx 2p$ (отбрасываю член $p^2$ в силу $p\ll1$).
Конкретно, среди этих $2p$ вероятность того, что старший мальчик есть Коля, равна $p$, и вероятность того, что младший есть Коля, равна $p$ (очевидно, вероятности здесь равные).

Вероятность того, что в семье МЖ есть Коля, равна $p$.
Вероятность того, что в семье ЖМ есть Коля, равна $p$.
Вероятность того, что в семье ЖЖ есть Коля, равна $0$.

Тем самым, получаем четыре равновероятных варианта семей с Колями (абсолютные вероятности будут по $p$):
1) ММ, старший Коля;
2) ММ, младший Коля;
3) МЖ, М=Коля;
4) ЖМ, М=Коля.
Из этих четырёх равновероятных вариантов условию задачи (второй ребёнок - девочка) отвечают последние два.
Вероятность того, что второй ребёнок - девочка, равна $2/4=1/2$.

P.S. Разумеется, мне не сложно было бы это всё записать на языке условных вероятностей, но, думаю, это излишне.

[EUgeneUS]

Мне вот, что интересно. ИМХО.
В топике http://dxdy.ru/topic113742.html рассматривалась эквивалентная задача, в более общем случае. А именно (в пересказе): есть случайное событие с $2^n$ равновероятных исходов. Часть из них объявляются запрещенными, какая вероятность оставшихся?

И сразу же, на первой странице от уважаемого участника прозвучал вопрос

Someone в сообщении #1180548 писал(а):

Что значит — "запрещено"?

То есть
а) все зависит от того, как запрещаем девочку.
б) если из постановки вопроса следует однозначный метод запрета девочки, то все решается. Если не следует - то возникает спор, на тему какой способ запрета девочек кому более прельстив.

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1185005 писал(а):

все зависит от того, как запрещаем девочку.

Запрещаем в смысле условных вероятностей.
Нужно найти $P(\textrm{событие}\,|\,\textrm{разрешённые исходы})$.

-- 15.01.2017, 19:18 --

atlakatl в сообщении #1185001 писал(а):

Mikhail_K
Ничего не понял. Просто ответьте на мой вопрос. Либо объясните Ваше

На Ваш вопрос дан исчерпывающий ответ.

[Someone]

EUgeneUS в сообщении #1185005 писал(а):

В топике topic113742.html
рассматривалась эквивалентная задача

Ничего подобного, это другая задача. Здесь речь идёт о вычислении условной вероятности события "в семье два мальчика" при условии, что "в семье есть хотя бы один мальчик". Никто ни о каком запрете девочки не говорил. Вы же объявили некоторые исходы "запрещёнными", не объяснив, каким образом от этих исходов избавляться, если они всё-таки выпадут.
Вашу задачу нужно было бы сформулировать так: правильную монету бросили $5$ раз; найти вероятность того, что решка выпала ровно один раз, если известно, что выпадали и гербы, и решки.
При такой формулировке никто не запрещает никакие исходы, просто нас информируют, что они не случились, и это позволяет определить условную вероятность.

[atlakatl]

Mikhail_K
Да. Подумаю.

[Shtorm]

levtsn в сообщении #1184678 писал(а):

В исходной задаче вроде какой-то парадокс, в Вики читал.

Парадокс Монти-Холла

[EUgeneUS]

Попробую по-другому.

Someone в сообщении #1185010 писал(а):

Здесь речь идёт о вычислении условной вероятности события "в семье два мальчика" при условии, что "в семье есть хотя бы один мальчик".

Вопрос в том, как формируется множество, из которого берутся разрешенные ответы. Если разрешен ответ "в семье хотя бы одна девочка", то ситуация меняется.

Аналогично с Колями. Из какого множеств ответов берется ответ "Одного из мальчиков в двудетной семье зовут Коля"? Если из множества {"одного из мальчиков в двудетной семье зовут Коля", "одного из мальчиков в двудетной семье зовут не Коля", "мальчиков нет"}, то решение Mikhail_K верное.

Если из множества {"одного из мальчиков в двудетной семье зовут <любое имя, применимое к мальчикам>", "мальчиков нет"} - то решение другое.

Проблема в том, что в вопросе указывается только один элемент этого множества, но не как оно строится.

Someone в сообщении #1185010 писал(а):

Вашу задачу...

FGJ, это не моя задача.

-- 15.01.2017, 20:30 --

Mikhail_K

Какой будет ответ, если скажут "у одного из мальчиков в двудетной семье СНИЛС «123-456-789 01»"?
Ведь вероятность, что у мальчика такой СНИЛС $p\ll1$...

[Mikhail_K]

EUgeneUS в сообщении #1185024 писал(а):

Аналогично с Колями. Из какого множеств ответов берется ответ "Одного из мальчиков в двудетной семье зовут Коля"? Если из множества {"одного из мальчиков в двудетной семье зовут Коля", "одного из мальчиков в двудетной семье зовут не Коля", "мальчиков нет"}, то решение Mikhail_K верное.

Если из множества {"одного из мальчиков в двудетной семье зовут <любое имя, применимое к мальчикам>", "мальчиков нет"} - то решение другое.

Проблема в том, что в вопросе указывается только один элемент этого множества, но не как оно строится.

Я не понял эти Ваши слова, но думаю, что Вы в чём-то ошибаетесь.
Решение вполне однозначное.
Обзваниваем все двудетные семьи и задаём им два вопроса: 1) Один из Ваших детей - мальчик? / Один из Ваших детей - Коля? 2) (задаём только в случае положительного ответа на первый вопрос) Другой Ваш ребёнок - девочка?
Смотрим, какой среди положительно ответивших на первый вопрос процент тех, кто положительно ответил и на второй тоже.
Мне кажется, это единственный разумный способ интерпретировать условие задачи.

EUgeneUS в сообщении #1185024 писал(а):

Какой будет ответ, если скажут "у одного из мальчиков в двудетной семье СНИЛС «123-456-789 01»"?
Ведь вероятность, что у мальчика такой СНИЛС $p\ll1$...

Если СНИЛС'ы с таким номером попадаются многократно с постоянной частотой, то ответ такой же, как во второй задаче. Вероятность $1/2$.
Хотя здесь вопрос сформулирован более туманно. Нужно предполагать, что семьи с двумя девочками будут отвечать на него "Нет".

[DmitriyMalakhov]

задачи можно переформулировать в таком виде:
пусть у нас есть большой мешок с черными и белыми шарами(вероятность вытянуть черный или белый шар 0,5).
Пусть на черных шарах написаны числа от 1 до $n$, на белых от $n + 1$ до $2n$.
Вытягиваем случайно 2 шара.
Вопрос 1) Какая вероятность что второй шар белый, если один из шаров черный? (Ответ - 0,6666...)
Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1? (Ответ 0,5)

[mihaild]

DmitriyMalakhov в сообщении #1185044 писал(а):

Вопрос 2) Какая вероятность что второй шар белый, если на одном из шаров написано 1? (Ответ 0,5)

Нет, не $\frac{1}{2}$ а $\frac{n-1}{2n-1}$.