В защиту Литлвуда

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Да, правильно задачу перенесли. И вывод совершенно правильный: в полдень Ахиллес и черепаха окажутся в одном месте.

Этому есть простое объяснение: $1 \cdot \omega = 10 \cdot \omega$, где $\omega$ обозначает первый бесконечный ординал, а точка --- операцию умножения на ординалах

P. S. Я так понимаю, что если шары --- фермионы, то в полдень их в ящике будет бесконечно много, а если бозоны, то ни одного. Пусть меня физики больно не бьют за такое высказывание...

Если мне не изменяет память (не помню книжку - кажется Александров Введение в теорию множеств и общую топологию) ординалы идут так:
$ 1, 2, 3, ...n, ... w, w+1, w+2, ...w+w = 2 \cdot w, 2 \cdot w+1, 2 \cdot w+2, ...n \cdot w, n \cdot w+1... w \cdot w, ... $

мне кажется между $1 \cdot w$ и $10 \cdot w$еще целых 9 счетных ординалов. Порядочное расстояние. Или я не так умножаю?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Или я не так умножаю?

Да, не так. Операции на ординалах не коммутативны.

$\omega \cdot 2 = \omega + \omega$, но $2 \cdot \omega = \omega$.

[Dan B-Yallay]

Помню лишь $1+w = w \ne w+1$ а про умножение забыл. Книжки под рукой нету, поищу.

[Профессор Снэйп]

Можете тут глянуть

Добавлено спустя 7 минут 12 секунд:

Хотя нет, там только сложение расписано. А про умножение я тогда не писал.

Но, кстати, в английской Википедии есть целая статья Ordinal arithmetic, можно там почитать.

Поправлю сразу ещё один косяк.

Dan B-Yallay писал(а):

...между $1 \cdot w$ и $10 \cdot w$еще целых 9 счетных ординалов.

Счётных ординалов между $\omega$ и $\omega \cdot 10$ бесконечно много. А вот предельных ординалов там действительно десять

[Dan B-Yallay]

TOTAL писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Задача об убегающем от черепахи Ахилле.
Ахиллес испугался черепахи-нинзя и за полчаса до обеда пробежал 10 метров, а черепаха проползла за ним вдогонку 1 метр. За 1/3 часа до обеда Ахиллес пробежал еще 10 метров, а черепаха еще 1 метр. И так далее.
Доказать что к полудню черепаха догонит и вломит люлей Ахиллу, деформировав его внешнюю метрику и внутреннюю топологию.

Можно доказать, что Черепаха догонит Ахилла, т.е. оставит позади себя все точки дистанции, которые оставил позади себя Ахилл, если согласиться, что к полудню Ахилл пройдет все, что только можно было пройти.

Дойдет до забора, остановится и тут ему кранты...
И ничего не изменится если задачу из дискретной сделать непрерывной?
Вы уже сдались, как сами сказали. А я ощущаю себя наполовину ферматистом который не может понять, что если две ракеты летят друг за другом с одинаковой скоростью на расстоянии 9 метров, то вторая никогда не догонит первую. А вот если вторая отстает, то как ни странно, в конце концов - догонит...

Профессор Снэйп писал(а):

Поправлю сразу ещё один косяк.

Dan B-Yallay писал(а):
...между $1 \cdot w$ и $10 \cdot w$еще целых 9 счетных ординалов.


Счётных ординалов между $\omega$ и $\omega \cdot 10$ бесконечно много. А вот предельных ординалов там действительно десять Smile

Хм, действительно. Спасибо за ссылки - все вылетело из головы за давностью лет.

[TOTAL]

Dan B-Yallay писал(а):

А я ощущаю себя наполовину ферматистом который не может понять, что если две ракеты летят друг за другом с одинаковой скоростью на расстоянии 9 метров, то вторая никогда не догонит первую. А вот если вторая отстает, то как ни странно, в конце концов - догонит...

Нет разницы, дискретная или непрерывная. Нет разницы, одинаковые скорости или разные. Если из условия следует, что вторая ракета (как и первая) пролетела все, что можно было пролететь, т.е. впереди нее не осталось ничего еще не пролетённого, то это и означает, что между ракетами ничего нет.

[Профессор Снэйп]

По прямой ползёт гусеница, поедая по ходу подножный корм и постоянно удлиняясь. Голова у неё движется со скоростью $10$ мм./с., а хвост --- со скоростью $1$ мм./с. (в том же направлении).

Когда голова гусеницы достигнет бесконечно удалённой точки, останется ли что-нибудь от неё на прямой? Ничего, кроме слизи...

А теперь представьте, что к голове гусеницы приделана фигурка Ахилла, а к хвосту --- фигурка черепахи.

[Dan B-Yallay]

TOTAL писал(а):

Нет разницы, одинаковые скорости или разные. Если из условия следует, что вторая ракета (как и первая) пролетела все, что можно было пролететь, т.е. впереди нее не осталось ничего еще не пролетённого, то это и означает, что между ракетами ничего нет.

А еще это означает, что в полдень обе ракеты остановятся, так как "не осталось ничего еще не пролетённого" и лететь им уже некуда. Во всем этом парадоксе меня смущает именно какая-то недосказанность или же неконструктивность решения, что ли.

Опять таки, пример : Вовочка и его сестра Танечка весят по 10 кг. Вовочка за полчаса до обеда поправляется в 2 раза, а его сестра лишь на 1 кг. За треть часа Вовочка опять удваивается в весе, а его сестра набирает еще килограмм. И так далее. Найти соотношение весов Вовочки и его сестры в обед.
Очевидно что 1, если следовать таким же рассуждениям "сестра пройдет все веса которые прошел Вовочка" . Тогда давайте доопределять функцию 1/х единицей в нуле потому что

$$\frac {1}{x} = \frac {1/{x^2}}{1/x}$$

и в нуле одна функция все равно "догонит вторую". И вообще все неопределенности типа $\frac 0 0, \frac {\infty} {\infty} $ пусть будут равны 1. A $ (\infty - \infty) =0 $

Как я уже сказал, логически я понимаю и принимаю стандартное объяснение. Но где-то в глубине души меня терзают смутные сомнения и особенно насчет некоторых последствий из него.

[Профессор Снэйп]

Раз уж время устремляем к полудню, то и расстояние можно так же устремить к какой-то фиксированной величине.

К примеру, пусть $0 = a_0 < a_1 < a_2 < \ldots$ --- последовательность чисел, стремящихся к $1$. За $1/n$ часов до полудня пусть "быстрая" ракета оказывается в точке $a_{10n}$, а "медленная" --- в точке $a_n$. Где обе ракеты окажутся в полдень? Ясно, что в одной и той же точке $1$.

Скорости, метрика --- это всё вторичное, привнесённое. Топология же --- вещь более первичная. Прямую можно непрерывно деформировать, растягивая в одних местах и сжимая в других. С учётом этой деформации расстояния и скорости будут искажаться, пределы же остануться "неизменными".

Вот, к примеру: возьмём гусеницу, описанную в моём предыдущем сообщении. А теперь будем в каждый момент времени смотреть не расстояния, а арктангенсы от них. Тогда в полдень и хвост, и голова гусеницы упокоются в точке $\pi/2$.

[TOTAL]

Dan B-Yallay писал(а):

Как я уже сказал, логически я понимаю и принимаю стандартное объяснение. Но где-то в глубине души меня терзают смутные сомнения и особенно насчет некоторых последствий из него.

Сомневаться надо на этапе, когда предлагают принять за истину то, что пролетели над всем, над чем только можно пролететь. После этого уже можно не сомневаться.

[Dan B-Yallay]

TOTAL писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Как я уже сказал, логически я понимаю и принимаю стандартное объяснение. Но где-то в глубине души меня терзают смутные сомнения и особенно насчет некоторых последствий из него.

Сомневаться надо на этапе, когда предлагают принять за истину то, что пролетели над всем, над чем только можно пролететь. После этого уже можно не сомневаться.

Значит, без сомнений принимаем 1/0 = 1?

[TOTAL]

Dan B-Yallay писал(а):

Значит, без сомнений принимаем 1/0 = 1?

Если "не нравится" это равенство, то ищите причину в предположениях, из которых оно получено, и в способе получения.
Если же с предположениями и способом вывода согласны, то будьте добры согласитесь и с таким равенством.

[bot]

Dan B-Yallay писал(а):

Дойдет до забора, остановится и тут ему кранты...

А я чего-то Давидюка вспомнил. Рассматривал он объединение возрастающей цепочки счётных множеств ... и вот дошёл до забора. Теперь письма везде шлёт, вот и у меня его труд ещё с лета валяется - слава богу никто не напоминает, а он поди полагает, что Н.С. Диканский вслед за В.А. Садовничим глубоко над его вопросом задумался.

[Macavity]

PAV писал(а):

Macavity писал(а):

Вообще, то что рассматривается здесь называется мысленный эксперимент. Такого типа эксперименты в своё время делали Эйнштейн, Бор и другие. И демонстрировали инаковость квантового мира и его парадоксальность по отношению к классическому.

Мы не физическую реальность тут обсуждаем, а абстрактные математические конструкции.

Трудно сказать чего здесь больше "физической реальности" или физической теории, которая является довольно парадоксальной математической моделью.

Одна из аксиом квантовой механики это то, что все элементарные частицы одного вида абсолютно одинаковы. Другая идея, что наблюдая за ансамблем элементарных частиц невозможно с уверенностью сказать не поменялись ли они каким-либо загадочным способом местами в течении некоторого времени...

Профессор Снэйп писал(а):

P. S. Я так понимаю, что если шары --- фермионы, то в полдень их в ящике будет бесконечно много, а если бозоны, то ни одного. Пусть меня физики больно не бьют за такое высказывание...

[juna]

Нашел, кстати, эту задачу у Литлвуда в его "Математической смеси".

Литлвуд писал(а):

Парадокс бесконечности. Шары, занумерованные числами 1, 2, ... (для математика — сами эти числа), кладутся в ящик следующим образом. За одну минуту до полудня кладутся числа от 1 до 10, и число 1 вынимается обратно. За. 1/2 минуты до полудня кладутся числа от 11 до 20, и число 2 вынимается обратно. За 1/3 минуты до полудня кладутся числа от 21 до 30, и число 3 вынимается обратно, и т.д.. Сколько чисел останется в ящике в полдень? Ответ: ни одного. Какое бы число мы ни назвали, например 106, ОНО отсутствует в ящике, так как оно вынимается при 106-й операции.
Аналитик постоянно встречается с таким положением вещей; посмотрев на множество точек ОН сразу скажет, что оно «пустое», не видя в этом ничего парадоксального.

Еще раз убеждаемся, что вопрос задан некорректно (или некорректен перевод).
Слово "сколько" относится к сумме. Ответ - бесконечно много. Имелось ввиду какие числа останутся. Ответ - никакие.