В защиту Литлвуда

[PAV]

Нет, не различаю. Но ответ данной задачи от этого не зависит.

Добавлено спустя 5 минут 13 секунд:

Педагогический смысл исходной задачи состоит как раз в том, что неправильно оперировать объемами конечных множеств при переходе к бесконечным.

Мы ведь можем рассуждать так. Будем наблюдать не за урной, а за кучей шаров, которые из нее извлекли. На каждом шаге к этой куче прибавляется шар с очередным номером и больше он никуда не денется. Точно так же, как и в урне, объем кучи стремится к бесконечности. Но анализ кучи как множества показывает, что после всех шагов она будет содержать в себе шары со всеми номерами. А значит, урна будет пуста, потому что все шары лежат в куче.

[TOTAL]

PAV писал(а):

Педагогический смысл исходной задачи состоит как раз в том, что неправильно оперировать объемами конечных множеств при переходе к бесконечным.

Вы видите педагогический смысл так.
А для меня главное другое. В данном случае надо решить, рассматривать ли шары в ящике как множество (и тогда получим ответ "пусто"), либо рассматривать их как целое число, которое возрастает на 9 в такие-то моменты (и тогда получим ответ "бесконечность"). Условие задачи провоцирует на оба подхода, т.к., с одной стороны, упоминаются номера, но с другой стороны, спрашивается о количестве. Именно неоднозначность формулировки и делает эту задачу "парадоксом".

[PAV]

Не согласен. Во-первых, уже неоднократно упоминалось, что подход "с цифрами" включает в себя предельный переход. Мол, поскольку количество шаров в урне стремится к бесконечности (с этим не спорим), то значит в полдень (после всех шагов) в урне бесконечное число шаров (предельный переход). Этот переход не обоснован, поэтому непрерывность использовать нельзя.

Рассуждение же, которое утверждает, что любой конкретный шар в полдень не лежит в урне, не использует никаких дополнительных предположений и допущений, поэтому его использовать можно. Это рассуждение вскрывает противоречие в том, что будто бы число шаров в урне окажется бесконечным. Противоречие показывает, что при получении этого вывода что-то неверно. Таким образом, задача показывает, что данный способ рассуждения приводит к неверному результату, поэтому пользоваться им нельзя.

Еще вот что отмечу. В задаче явно спрашивается про объем (мощность) некоторого множества. Для того, чтобы на этот вопрос ответить, множество нужно определить. Чтобы определить множество, необходимо уметь отвечать на вопрос - принадлежит ли этому множеству конкретный элемент. Поэтому данный вопрос неявно необходимо рассмотреть независимо от того, хочется Вам этого или нет. Говорят ли нам условия задачи ответ на этот вопрос для любого конкретного шара? Да, говорят, потому что все действия над этим шаром однозначно определены и последнее из этих действий - извлечение шара из урны в некоторый момент до полудня.

[TOTAL]

PAV писал(а):

Не согласен. Во-первых, уже неоднократно упоминалось, что подход "с цифрами" включает в себя предельный переход. Мол, поскольку количество шаров в урне стремится к бесконечности (с этим не спорим), то значит в полдень (после всех шагов) в урне бесконечное число шаров (предельный переход). Этот переход не обоснован, поэтому непрерывность использовать нельзя.

А если "изменить" задачу и просто добавлять по 9 шаров и спросить сколько их будет в полдень, то тоже будете не согласны? Не согласны с тем, что задается такой вопрос (как такое может быть "после всех шаров"?), или не согласны, что ответом будет бесконечность.

[PAV]

Если шары только добавляются и не извлекаются, то ответом будет, конечно же, бесконечность. Множество шаров в урне в полдень будет объединением бесконечного числа множеств, содержащих по 9 шаров в каждом.

[TOTAL]

PAV писал(а):

Если шары только добавляются и не извлекаются, то ответом будет, конечно же, бесконечность. Множество шаров в урне в полдень будет объединением бесконечного числа множеств, содержащих по 9 шаров в каждом.

Так вот моя "математическая модель" такова (беру в скобки, т.к. она моделирует уже тоже далеко не физический процесс), что в ней не различаются шары и в ней (положить 10) + (вынуть одни) = (положить 9). Состояние ящика определяется целым чилом, которое изменяется (растет). Другой результат (пустой ящик) получается, если принять другую мат. модель. Какая модель "физичнее", спорить не вижу смысла.

[shwedka]

Я подыграю TOTAL.
Модель. На каждом шаге в ОООООООООООООООООООчень большую пивную бочку наливаем 10 литров пива, а из нее потом выпиваем литр. Сколько пива будет в бочке в полдень??

[Батороев]

shwedka писал(а):

Я подыграю TOTAL.
Модель. На каждом шаге в ОООООООООООООООООООчень большую пивную бочку наливаем 10 литров пива, а из нее потом выпиваем литр. Сколько пива будет в бочке в полдень??

Боюсь, что при такой постановке задачи ответ мы точно не узнаем.
Пьяны будем ОООООООООООООООчень.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

Я подыграю TOTAL.
Модель. На каждом шаге в ОООООООООООООООООООчень большую пивную бочку наливаем 10 литров пива, а из нее потом выпиваем литр. Сколько пива будет в бочке в полдень??

Предъявите, пожалуйста справочку с номерами вливаемых и выпиваемых пивных молекул.
Очень парадокс сделать хочется.

[shwedka]

TOTAL
а у пива молекулы есть?
Еще гаже. В систему на каждом шаге поступает 10 джоулей энергии, а излучается 1 джоуль.
Вопрос обычный.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

Еще гаже. В систему на каждом шаге поступает 10 джоулей энергии, а излучается 1 джоуль.
Вопрос обычный.

И парадокс получается обычным методом: пронумеруйте джоули.

[shwedka]

TOTAL писал(а):

shwedka писал(а):

Еще гаже. В систему на каждом шаге поступает 10 джоулей энергии, а излучается 1 джоуль.
Вопрос обычный.

И парадокс получается обычным методом: пронумеруйте джоули.

а это уже никак!!! не бывает!! джоуль-абстрактная велична и к материальным об'ектам не привязан. не занумеруешь!!!
вот, скажем, летел шарик со скоростью 2 м/сек, а стал лететь со скоростью 3 км/сек. Что, станем км/сек индивидуализировать??

В особенности, если заливать 10 джоулей, а тратить $\pi$. кого тогда нумеровать??
еще версия. Вращающемуся маховику добавляют по 10 чего-то там момента количества движения, а потом сразу забирают 1.
некого нумеровать!!
или квантовать будете??

[TOTAL]

shwedka писал(а):

а это уже никак!!! не бывает!! В особенности, если заливать 10 джоулей, а тратить $\pi$. кого тогда нумеровать??

Лично я не знаю как. Но чует мое сердце, что от погони не уйти, что они в игры играть не будут, везде найдут, из под земли достанут. И пронумеруют. И сделают из всех парадокс.

[Профессор Снэйп]

Ну вы же не можете вводить множества литров пива, множества джоулей и множества метров в секунду. А множества шаров можете. Значит и разговор идёт о разных вещах.

Ещё фермионы с бозонами сюда приплетите...

[PAV]

TOTAL писал(а):

Состояние ящика определяется целым чилом, которое изменяется (растет).

Введем функцию $N$ состояния ящика от времени, обозначая полдень $T$. Из условий задачи мы можем найти $N(T-\varepsilon)$ для любого положительного $\varepsilon$. Отсюда легко заметим, что $\lim\limits_{\varepsilon\to0}N(T-\varepsilon)=\infty$. Вы утверждаете, что это влечет $N(T)=\infty$. Данный предельный переход ничем не обоснован.

Добавлено спустя 51 секунду:

TOTAL писал(а):

что в ней не различаются шары

А это явно противоречит условиям иходной задачи.