В защиту Литлвуда

[TOTAL]

PAV писал(а):

Отсюда легко заметим, что $\lim\limits_{\varepsilon\to0}N(T-\varepsilon)=\infty$. Вы утверждаете, что это влечет $N(T)=\infty$. Данный предельный переход ничем не обоснован.

Обоснования не требуется. За ответ я принимаю $\lim\limits_{\varepsilon\to0}N(T-\varepsilon)=\infty$ по определению. Так же как пустота ящика получается из другого определения.

PAV писал(а):

TOTAL писал(а):

что в ней не различаются шары

А это явно противоречит условиям иходной задачи.

Это не противоречит условию задачи. При перекладывании шаров можете смотреть на их номера, а при подсчете количества шаров номера не имеют значения.

[PAV]

Для доказательства пустоты ящика мы не привлекаем никаких дополнительных определений, поэтому данное рассуждение опровергнуть невозможно.

А Ваше решение противоречиво, ибо Вы приходите к выводу, что количество нескоторых объектов бесконечно, но ни одного Вы предъявить не можете. И противоречие происходит именно из-за взятого с потолка определения, которое ниоткуда не следует.

Вы можете не смотреть на номера, когда подсчитываете шары, но эти номера есть, и я могу их использовать для сведения Вашего решения к противоречию.

[TOTAL]

PAV писал(а):

А Ваше решение противоречиво, ибо Вы приходите к выводу, что количество нескоторых объектов бесконечно, но ни одного Вы предъявить не можете.

А я не могу быть святее папы римского. Как условие задачи не может предъявить мне шаг, на котором все все шары попадут в ящик, так и я не могу предъявить конкретного шара.

[PAV]

А очень просто - наши шаги не исчерпывают все то время, которое фигурирует в задаче. Есть моменты (начиная с полудня), которым ни один шаг не соответствует. Точнее, в этот момент все шаги уже кончились. Вот в этот момент урна стала пустой.

И это совсем не то же самое, что иметь множество бесконечного объема, которое не содержит ни одного элемента.

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

Вы можете по определению положить $N(T)=\infty$ (продолжить по непрерывности), но тогда уже эта функция не будет описывать состояние урны, так как безусловно доказано, что ни одного шара эта урна не содержит.

[shwedka]

PAV
А с пивом задачу решать не будете???

[TOTAL]

PAV писал(а):

Вы можете по определению положить $N(T)=\infty$ (продолжить по непрерывности), но тогда уже эта функция не будет описывать состояние урны, так как безусловно доказано, что ни одного шара эта урна не содержит.

Всё, прекращаю сопротивление. А доказывать, что урна будет пустой, не требуется. Об этом сказано в условии. Сказано, что до полудня из ящика выгребли все шары, все джоули, всё пиво (а какие перекладывания и переливания делались до полудня и как, никого не должно волновать).

[PAV]

Нет, с пивом не буду. Уже объяснялось ведь, что если процедура извлечения не определена в терминах номеров шаров, то множество шаров в корзине в полдень не определено, поэтому говорить о его мощности нельзя.

[TOTAL]

shwedka, задача с пивом имеет такое же решение. По условию все пиво должно быть возвращено из ящика. Возвращайте как хотите!

[PAV]

Ну вот, TOTAL меня обломал, а я только следующий аргумент придумал

Ну ладно, я его все равно приведу. Введем функцию $f_i(t)$, которая характеризует состояние $i$-го шара в момент $t$. Она равна 1, если шар находится в урне, и 0 в противном случае.

Условия задачи однозначно определяют каждую функцию $f_i$ во все моменты времени, включая и "мистический полдень": функция равна 1 на четко определенном интервале, в котором шар лежал в урне, а до этого момента и после - 0.

Количество шаров в урне при этом определяется тривиально и однозначно:

$$ N(t) = \sum_{i=1}^\infty f_i(t) $$

Эта функция действительно неограниченно возрастает до полуденного момента $T$, но в сам этот момент все слагаемые равны нулю, поэтому и сумма равна нулю.

[Macavity]

PAV писал(а):

Ну вот, TOTAL меня обломал, а я только следующий аргумент придумал

Ну ладно, я его все равно приведу. Введем функцию $f_i(t)$, которая характеризует состояние $i$-го шара в момент $t$. Она равна 1, если шар находится в урне, и 0 в противном случае.

Условия задачи однозначно определяют каждую функцию $f_i$ во все моменты времени, включая и "мистический полдень": функция равна 1 на четко определенном интервале, в котором шар лежал в урне, а до этого момента и после - 0.

Количество шаров в урне при этом определяется тривиально и однозначно:

$$ N(t) = \sum_{i=1}^\infty f_i(t) $$

Эта функция действительно неограниченно возрастает до полуденного момента $T$, но в сам этот момент все слагаемые равны нулю, поэтому и сумма равна нулю.

Странный аргумент...Особенно результат.
Я уже приводил в качестве примера сходную функцию.

Вообще, то что рассматривается здесь называется мысленный эксперимент. Такого типа эксперименты в своё время делали Эйнштейн, Бор и другие. И демонстрировали инаковость квантового мира и его парадоксальность по отношению к классическому.

Вот пример.
Первый наблюдатель рассматривает ситуацию с шарами после каждого шага. Он обнаруживает, что количество шаров меняется по следующему закону 0, 9, 18, 27, 36,...
Он наблюдает за устройством добавляющим шары и у него нет никаких сомнений по поводу того, что количество шаров будет бесконечно возрастать.

Второй наблюдатель рассматривает каждый шаг эксперимента - коварная, подковерная картина, что не просто добавляется 9 шаров, а в действительности добавляется 10 и убирается один и к тому же вполне определенный открыта ему, он может утверждать, что шаров и вовсе не останется в полдень.

Можно было бы сказать, что второй наблюдатель имеет более полную информацию и поэтому знает более точно что будет в полдень. Однако вот незадача, чтобы иметь эту более полную информацию (раз уж речь пошла об информации) он должен тратить дополнительную энергию типа демона Максвелла открывая и закрывая заслонку.

И можно также заметить, что если бы все это происходило в квантовом мире с элементарными частицами ввиде шаров, то упорядочить эти шары вообще было бы нельзя в силу принципа неопределенности, то есть мнение первого наблюдателя было бы более верным.

[PAV]

Macavity писал(а):

Вообще, то что рассматривается здесь называется мысленный эксперимент. Такого типа эксперименты в своё время делали Эйнштейн, Бор и другие. И демонстрировали инаковость квантового мира и его парадоксальность по отношению к классическому.

Мы не физическую реальность тут обсуждаем, а абстрактные математические конструкции.

[Dan B-Yallay]

shwedka писал(а):

TOTAL писал(а):

shwedka писал(а):

Еще гаже. В систему на каждом шаге поступает 10 джоулей энергии, а излучается 1 джоуль.
Вопрос обычный.

И парадокс получается обычным методом: пронумеруйте джоули.

а это уже никак!!! не бывает!! джоуль-абстрактная велична и к материальным об'ектам не привязан. не занумеруешь!!!
вот, скажем, летел шарик со скоростью 2 м/сек, а стал лететь со скоростью 3 км/сек. Что, станем км/сек индивидуализировать??

Я конечно понимаю, что

PAV писал(а):

Уже объяснялось ведь, что если процедура извлечения не определена в терминах номеров шаров, то множество шаров в корзине в полдень не определено, поэтому говорить о его мощности нельзя.

Тем не менее
Задача о бесконечно быстром стоящем на месте шарике:
Покоящийся шарик начал движение со скоростью 10 км/с и затем сбавил скорость до 9 км/с. Затем увеличил скорость еще на 10 км/с и опять сбавил на 1 км/с и т.д.
Доказать что к полудню шарик остановится полностью.

Можно не согласиться с такой постановкой задачи мотивируя это тем, что шарик сбрасывает не первый , а именно десятый километр в секунду скорости. Тогда поставим задачу по другому:

Задача об убегающем от черепахи Ахилле.
Ахиллес испугался черепахи-нинзя и за полчаса до обеда пробежал 10 метров, а черепаха проползла за ним вдогонку 1 метр. За 1/3 часа до обеда Ахиллес пробежал еще 10 метров, а черепаха еще 1 метр. И так далее.
Доказать что к полудню черепаха догонит и вломит люлей Ахиллу, деформировав его внешнюю метрику и внутреннюю топологию .

PS Я правильно задачу с шарами перенес? Вроде все метры/шары можно пронумеровать, дистанция между этими двумя персонажами соответствует количеству шаров в ящике и очередность удаления метров/шаров соблюдается.

[juna]

Профессор Снэйп писал(а):

Вот эта самая топология, которую я определял выше в одном из предыдущих сообщений и в которой последовательность $\{ t+1, \ldots, 10t+9 \}$ сходится к пустому множеству --- это довольно естественная топология для $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. На мой взгляд, она не менее естественная, чем стандартная топология на $\mathbb{R}^n$, задаваемая произвольной нормой.

Теперь осталось определиться, что такое естественная топология, указать процедуру их получения и доказать, что в каждой из них последовательность сходится к пустому множеству.
Если приведенная псевдометрика кажется неестественной, то почему также неестественна будет такая метрика:
$d(X,Y) = \sum\limits_{i \in X \triangle Y} \frac{1}{i}$, $\sum\limits_{i \in \varnothing} \frac{1}{i}=0$
Пусть $X_n$ - множество, которое мы получаем в задаче Литлвуда после добавления, удаления на $n$ шаге. Имеем:
$d(\varnothing,X_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+..\frac{1}{10}$
$d(\varnothing,X2)=\frac{1}{3}+..\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+..\frac{1}{20}$
и т.д.
По-моему, позиция Someone более последовательна - просто постулируется, что предельногго перехода нет, а значит к нему и стремиться конструктивно нельзя.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Задача об убегающем от черепахи Ахилле.
Ахиллес испугался черепахи-нинзя и за полчаса до обеда пробежал 10 метров, а черепаха проползла за ним вдогонку 1 метр. За 1/3 часа до обеда Ахиллес пробежал еще 10 метров, а черепаха еще 1 метр. И так далее.
Доказать что к полудню черепаха догонит и вломит люлей Ахиллу, деформировав его внешнюю метрику и внутреннюю топологию .

PS Я правильно задачу с шарами перенес? Вроде все метры/шары можно пронумеровать, дистанция между этими двумя персонажами соответствует количеству шаров в ящике и очередность удаления метров/шаров соблюдается.

Да, правильно задачу перенесли. И вывод совершенно правильный: в полдень Ахиллес и черепаха окажутся в одном месте.

Этому есть простое объяснение: $1 \cdot \omega = 10 \cdot \omega$, где $\omega$ обозначает первый бесконечный ординал, а точка --- операцию умножения на ординалах

P. S. Я так понимаю, что если шары --- фермионы, то в полдень их в ящике будет бесконечно много, а если бозоны, то ни одного. Пусть меня физики больно не бьют за такое высказывание...

[TOTAL]

Dan B-Yallay писал(а):

Задача об убегающем от черепахи Ахилле.
Ахиллес испугался черепахи-нинзя и за полчаса до обеда пробежал 10 метров, а черепаха проползла за ним вдогонку 1 метр. За 1/3 часа до обеда Ахиллес пробежал еще 10 метров, а черепаха еще 1 метр. И так далее.
Доказать что к полудню черепаха догонит и вломит люлей Ахиллу, деформировав его внешнюю метрику и внутреннюю топологию.

Можно доказать, что Черепаха догонит Ахилла, т.е. оставит позади себя все точки дистанции, которые оставил позади себя Ахилл, если согласиться, что к полудню Ахилл пройдет все, что только можно было пройти.