Теорема Ферма (частные случаи)

[vxv]

cmpamer в сообщении #1157809 писал(а):

Если ещё чуть-чуть ужесточить условие, положив $m=1$, то такое c не сможет стать решением даже для УФ второй степени.
Таким образом, вопрос один:
"$m=2$" - это условие или следствие?
Если последнее, то хотелось бы понять - как оно получено.

Уважаемый cmpamer.
Для любых $n>2$ в $a^n+b^n=c^n$ всегда должны существовать натуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$ или $ka+kb=kc+2k$, но таких решений нет (и для любых нечетных m=1, 3, 5,.. в том числе).

И это следует (из анализа систем параметрических уравнений способом от противного).

P.S. Основной оппонент в теме системы уравнений и способ игнорировал, а потому был игнорируемым.

[shwedka]

vxv в сообщении #1157953 писал(а):

Для любых $n>2$ в $a^n+b^n=c^n$ всегда должны существовать натуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$

1. В соответствии с ПРАВИЛАМИ, Вы должны ограничиться случаем степени 3.
2. Процитированное утверждение не доказано.

vxv в сообщении #1157953 писал(а):

но таких решений нет (и для любых нечетных m=1, 3, 5,.. в том числе)

Это утверждение не доказано.

vxv в сообщении #1157953 писал(а):

И это следует (из анализа систем параметрических уравнений способом от противного).

Когда будет предъявлено доказательство, тогда можно будет обсуждать, следует или нет.

[vxv]

shwedka в сообщении #1157955 писал(а):

vxv в сообщении #1157953

писал(а):
но таких решений нет (и для любых нечетных m=1, 3, 5,.. в том числе)
Это утверждение не доказано.

Уважаемая shwedka
Это получено из системы уравнений (способом чет-нечет) на первой странице ссылка.
Я готовлю Вам сообщение.

-- 07.10.2016, 11:51 --

vxv в сообщении #764041 писал(а):

$m=2k$ - целое четное число (это следует из системы 7-8 по результатам исследования сочетаний «чет-нечет»),

-- 07.10.2016, 12:06 --

vxv в сообщении #1117476 писал(а):

Следовательно, в выведенном из системы (7-8)

$$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+2k\end{cases}$$

"Чет-нечет" простой перебор сочетаний параметров. Делается в уме. Нужно ли его здесь детально расписывать?

[shwedka]

shwedka в сообщении #1157955 писал(а):

vxv в сообщении #1157953

писал(а):
Для любых $n>2$ в $a^n+b^n=c^n$ всегда должны существовать натуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$
1. В соответствии с ПРАВИЛАМИ, Вы должны ограничиться случаем степени 3.
2. Процитированное утверждение не доказано.

Ответ не получен.

[vxv]

shwedka в сообщении #1157965 писал(а):

shwedka в сообщении #1157955 писал(а):

vxv в сообщении #1157953

писал(а):
Для любых $n>2$ в $a^n+b^n=c^n$ всегда должны существовать натуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$
1. В соответствии с ПРАВИЛАМИ, Вы должны ограничиться случаем степени 3.
2. Процитированное утверждение не доказано.

Ответ не получен.

Уважаемый cmpamer.
Для $n=3$ в $a^3+b^3=c^3$ всегда должны существовать натуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$ или $ka+kb=kc+2k$, но таких решений нет (и для любых нечетных m=1, 3, 5,.. в том числе).

И это следует (из анализа систем параметрических уравнений способом от противного).

P.S. Основной оппонент в теме системы уравнений и способ игнорировал, а потому был игнорируемым.

-- 07.10.2016, 13:30 --

vxv в сообщении #1157956 писал(а):

"Чет-нечет" простой перебор сочетаний параметров. Делается в уме. Нужно ли его здесь детально расписывать?

Распишу подробно. Но пока только для $3$ (согласно правилам).

[shwedka]

vxv в сообщении #1157975 писал(а):

Для $n=3$ в $a^3+b^3=c^3$ всегда должны существоватьнатуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$

По-прежнему, утверждение не доказано.

[vxv]

shwedka в сообщении #1157982 писал(а):

vxv в сообщении #1157975 писал(а):

Для $n=3$ в $a^3+b^3=c^3$ всегда должны существоватьнатуральные решения $a, b, c$, когда уравнение $a+b=c+m$ имеет вид $a+b=c+2$

По-прежнему, утверждение не доказано.

Да, похоже на ошибку. Попробую разобраться, как обойти (слишком давно сделал вывод).
Уважаемая shwedka
Пока имеем только частный случай доказательства для $n=3$, когда $a+b=c+2$.

$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$
$a, b, c, m$ натуральные параметры.
Если $a$ и $b$ оба четные, то $c$ и $m$ либо оба нечетные, либо оба четные (???).
Если $a$ и $b$ нечетные, то $c$ и $m$ либо нечетные, либо четные (???? Но если доказано другими авторами отсутствие такого нечетного сочетания, то это не проблема... нужна ссылка на такое доказательство).
Если $a$ нечетное, а $b$ четное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Если $a$ четное, а $b$ нечетное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.

[shwedka]

vxv в сообщении #1157999 писал(а):

Пока имеем только частный случай доказательства для $n=3$, когда $a+b=c+2$ или $ka+ka=kc+2k$.

$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$

такого не нужно. Вам уже объяснили, что $m$ должно делиться на 6, что автоматически исключает 2.

[vxv]

shwedka в сообщении #1158004 писал(а):

vxv в сообщении #1157999 писал(а):

Пока имеем только частный случай доказательства для $n=3$, когда $a+b=c+2$ или $ka+ka=kc+2k$.

$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$

такого не нужно. Вам уже объяснили, что $m$ должно делиться на 6, что автоматически исключает 2.

Но не исключает $m=2k$ (или $m=3k$ как вариант) чтобы зацепиться и создать числовую последовательность с общим множителем $k$, имея первый и второй ее элементы (число 6 делитель $m$). Остается приложить параметры и посмотреть, что получили: равенство или неравенство. При $k=1$ имеем также:
$3(a+b)(ab-3c)>3^3$

Есть недопонимание (и обоюдное на мой взгляд).
Подумаю над остальным.

[shwedka]

vxv в сообщении #1158039 писал(а):

Но не исключает $m=2k$ или $m=3k$ (как вариант) чтобы зацепиться и создать числовую последовательность с общим множителем $k$, имея первый и второй ее элементы (число 6 делитель $m$). Остается приложить параметры и посмотреть, что получили: равенство или неравенство при $k=1$ имеем:
$3(a+b)(ab-3c)>3^3$

Остается внятно написать. что Вы имеете в виду. Пока -- полная невнятица.

И помните все время. Не простится Вам обозначение одним символом двух чисел различного происхождения, если предварительно не доказано, что они равны.

[vxv]

Уважаемая shwedka
Я обязательно послушаюсь Вас и изменю символы, но пока не готов.

Дополненный вариант.
Доказательство теоремы Ферма для степени $n=3$.
Требуется доказать, что для натурального $n = 3$ уравнение
$a^3+b^3=c^3$ (1)
не имеет натуральных решений $a, b$ и $c$.
Доказательство для $n=3$ (методом логического следования):
Полагаем, что значения $a, b, c, m, k$ только натуральные числа.
Тогда следует одно из другого:
$a^3+b^3-c^3=0 \Rightarrow a^3+b^3=c^3 \Rightarrow a+b=c+m \Rightarrow \begin{cases} a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases} \Rightarrow m=3k \Rightarrow a+b=c+3k \Rightarrow \begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+3k\end{cases} \Rightarrow c^3-(a^3+b^3)=3(a+b)(ab-mc)-m^3 \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)= m^3 \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)=(3^3)(k^3) \Rightarrow 3(a+b)(ab-mc)/k^3=3^3 \Rightarrow m=3 \Rightarrow k=1 \Rightarrow 3(a+b)(ab-3c)=3^3$
Получили ложное утверждение, потому что:
$3(a+b)(ab-3c)>3^3$
не является равенством для натуральных $a, b, c$, проверяется простой подстановкой минимальных натуральных значений.
А поскольку из верного утверждения нельзя получить ложное утверждение, то утверждение, что уравнение
$a^3+b^3=c^3$
имеет натуральные решения $a, b, c$ является ложным.
Что и требовалось доказать.

[shwedka]

Цитата:

$\Rightarrow m=3$

Здесь стоп. Это утверждение не доказано. Не двигаемся дальше, пока не докажете.

[ishhan]

bot в сообщении #919516 писал(а):

Плохая формулировка: в импликации

предположение индукции $\Rightarrow $ заключение индукции

индукционным предположением названо не посылка, а вся импликация.

Уважаемый vxv!
Вы деликатно не обратили внимание на это существенное замечание, высказанное Вам в деликатном виде.
А на самом-то деле- это был суровый приговор.

[vxv]

vxv в сообщении #1157999 писал(а):

Да, похоже на ошибку. Попробую разобраться, как обойти (слишком давно сделал вывод).
Уважаемая shwedka
Пока имеем только частный случай доказательства для $n=3$, когда $a+b=c+2$.

$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$
$a, b, c, m$ натуральные параметры.
Если $a$ и $b$ оба четные, то $c$ и $m$ либо оба нечетные, либо оба четные (???).
Если $a$ и $b$ нечетные, то $c$ и $m$ либо нечетные, либо четные (???? Но если доказано другими авторами отсутствие такого нечетного сочетания, то это не проблема... нужна ссылка на такое доказательство).
Если $a$ нечетное, а $b$ четное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Если $a$ четное, а $b$ нечетное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.

Никакой ошибки на самом деле нет.
Уважаемая shwedka !
Правильно будет так:
$\begin{cases}a^3+b^3=c^3\\a+b=c+m\end{cases}$
$m<a<b<c$ натуральные параметры.
Если $a$ и $b$ оба четные, то $c$ и $m$ оба четные.
Если $a$ и $b$ нечетные, то $c$ и $m$ четные.
Если $a$ нечетное, а $b$ четное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Если $a$ четное, а $b$ нечетное, то $c$ нечетное (следует из первого уравнения системы), а $m$ четное.
Из системы уравнений следует, что $m$ - только четное.
Нечетные значения $m$ автоматически исключаются (и $m=3k$ тоже).
Доказательства случая для $m=3k$ не требуется, и оно сделано, из-за ошибочно снятых мною ограничений по четности.

-- 08.10.2016, 08:37 --

shwedka в сообщении #1158062 писал(а):

Цитата:

$\Rightarrow m=3$
Здесь стоп. Это утверждение не доказано. Не двигаемся дальше, пока не докажете.

[shwedka]

vxv в сообщении #1158131 писал(а):

Нечетные значения $m$ автоматически исключаются (и $m=3k$ тоже).

Чувствуется большой знаток!
По-Вашему,
$12=3\times 4$
нечетное число.
Завидую!