Очередной холиварчик вокруг определений и т.п.

[wrest]

(Вещественные, действительные и комплексные числа)

VAL в сообщении #1151366 писал(а):

Полагаю, что ученикам второго будет проще адаптироваться к изучению комплексных чисел.

Не думаю. Квадратные уравнения иллюстрируются параболами, и если парабола не пересекается с нулем, значит не пересекается и корней нет. Добавлять "в области действительных чисел", мне кажется, вредно для школьника, потому что других чисел он не знает, а также потому, что в институте еще неизвестно как их назовут - действительными или вещественными, я так понимаю это зависит от местного названия бортового камня, отделяющего проезжую часть от тротуара.

Квадратный корень из минус единицы это шок, хоть говори "в области действительных чисел" в школе, хоть не говори. Так что если и говорить, то по-другому, типа "но в высшей математике существуют корни и из отрицательных чисел, но об этом подробно узнают те из вас, кто поступит в технический вуз".

[arseniiv]

(В продолжение об удобопонимаемости разных (полу)эквивалентных определений терминов)

wrest в сообщении #1151433 писал(а):

Квадратный корень из минус единицы это шок

Просто надо правильно подходить. А именно — вещественные числа — не пуп земли и не единственное множество с замечательной структурой. Если есть куча других штуковин* (можно не называть их элементами других алгебраических структур), у которых тоже бывает умножение и потому квадраты, то будет не так удивительно, что среди них-то может быть элемент, в квадрате дающий что-то, чего квадрат вещественного числа не даст. И подумаешь теперь, минус единица! Квадрат может быть вообще не действительным числом (в смысле, не быть элементом подалгебры, изоморфной $\mathbb R$ с нужными операциями).

-- Чт сен 15, 2016 21:56:38 --

Иными словами, надо просто вовремя надавать примеров, из которых сделается вывод, что математика не только о вот этих числах. Можно даже будет подвести к переоткрытию $\mathbb C$, и я даже вижу не один неплохой способ, хотя 2/3 утыкаются в формальные суммы. Ну тогда и свет им!

Диэдр нашептал убрать это всё в оффтоп.

P. S. * А раз их такая куча, как с ними обходиться и как отделять? Привет, аксиоматический метод!

[g______d]

VAL в сообщении #1151366 писал(а):

Вы, конечно, правы. Но что делать, если таких "будущих коллег" 95% общего числа студентов?

То, что 95% студентов становятся в будущем коллегами преподавателя, -- это преувеличение, как минимум, в 100 раз.

VAL в сообщении #1151366 писал(а):

Первый говорит: "Запомните раз и навсегда: квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет решений. Это правило, не допускающее исключений!"
Второй говорит: "Запомните: квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет решений в области действительных чисел."

Первый, в общем-то, более прав -- если до этого были даны хоть какие-то определения уравнения и решения, или оговорка "мы будем в этом году работать только с вещественными числами".

Второй не совсем честен: если мы делаем оговорку про комплексные решения, то должны и сделать оговорку про комплексные коэффициенты, иначе утверждение просто неверно: например, $x^2-ix=0$.

-- Чт, 15 сен 2016 10:08:01 --

Ну и, наконец, должна быть некоторая здоровая аллергия на фразы типа "Запомните раз и навсегда .... правило, не допускающее исключений". Я думаю, что вы добавили эти слова для контраста, потому что хороший учитель их вряд ли будет использовать в любом случае.

[SomePupil]

VAL в сообщении #1151302 писал(а):

На протяжении десятилетий я работаю не только со студентами, но и со школьниками. И объясняю что такое "векторы" школьникам еще до того, как они приступят к изучению этой темы в школе. Так вот, у этих школьников проблем с применением векторов и усвоением азов линейной алгебры не возникает.

Прекрасно! И полагаю, у них не возникает проблем не потому, что им дали правильное определение вектора, а потому что Вы с ними много работали.

[VAL]

SomePupil в сообщении #1151506 писал(а):

VAL в сообщении #1151302 писал(а):

На протяжении десятилетий я работаю не только со студентами, но и со школьниками. И объясняю что такое "векторы" школьникам еще до того, как они приступят к изучению этой темы в школе. Так вот, у этих школьников проблем с применением векторов и усвоением азов линейной алгебры не возникает.

Прекрасно! И полагаю, у них не возникает проблем не потому, что им дали правильное определение вектора, а потому что Вы с ними много работали.

Уж точно меньше, чем с теми студентами, которые потом "плавают" на экзамене.

[VAL]

g______d в сообщении #1151436 писал(а):

VAL в сообщении #1151366 писал(а):

Вы, конечно, правы. Но что делать, если таких "будущих коллег" 95% общего числа студентов?

То, что 95% студентов становятся в будущем коллегами преподавателя, -- это преувеличение, как минимум, в 100 раз.

Во-первых, я этих будущих коллег закавычил.
Ну а во-вторых, как это ни прискорбно, не менее 30% этих "будущих коллег" становятся таки моими коллегами, т.е. учителями и преподавателями.
Откуда взялись Ваши "в 100 раз" для меня загадка.

[g______d]

VAL в сообщении #1151517 писал(а):

Откуда взялись Ваши "в 100 раз" для меня загадка.

Я скорее имел в виду университетских преподавателей, и там получается как раз около 1%.

[Daft]

Я ,конечно, заторможено отвечаю,поэтому заранее извиняюсь.В том числе за свое заторможенное мышление . Я так и не могу понять этой темы,в чем проблема с дальнейшим пониманием линала, после первого восприятия понятия вектора в виде направленного отреза. Разжуйте,пожалуйста, эту проблему,так как я в других темах ничего не нашел,везде жалоба на этот способ начального обучения или на то,что потом не могут понять то и то понятие и все.
Лично меня так в детстве и учили,что вектор-направленный отрезок. В дальнейшем я так и не увидел признаков,которые бы этому противоречили,поэтому и не очень понимаю,в чем проблема. То ли я не понял понятия, то ли существует какая-то странная проблема Вообще, все знакомые мне люди тоже так и воспринимают понятие вектор.
Если я так и не понял,то очень хотелось бы, чтобы вы помогли мне понять.
Да и как бы отличия в понятиях " отрезок, имеющий начало и конец" и "объект,имеющий длину и направление" вообще не вижу.

[arseniiv]

Daft в сообщении #1151764 писал(а):

В дальнейшем я так и не увидел признаков,которые бы этому противоречили

Ну вот, например, функция $\cos$ — это вектор. Где и какой направленный отрезок ей соответствует?

-- Сб сен 17, 2016 03:11:07 --

Daft в сообщении #1151764 писал(а):

Да и как бы отличия в понятиях " отрезок, имеющий начало и конец" и "объект,имеющий длину и направление" вообще не вижу.

Плохо читаете:

Red_Herring в сообщении #1151310 писал(а):

Разница безусловно есть. "Направленный отрезок" это определение. А "объект, характеризующийся длиной и направлением" это длинно и неконкретно. Примерно как "птица говорун отличается умом и сообразительностью" или "Кто была Екатерина Вторая? ... Продукт эпохи нарастающего влияния торгового капита... "

VAL в сообщении #1151312 писал(а):

Разница в том, что у направленного отрезка есть начало и конец. И если взять направленный отрезок с другими началом и концом, то это будет ужу другой направленный отрезок, даже если эти отрезки имеют одинаковую длину и направление.

[NPrim]

А можно ли в школе дать ученикам представление о векторе, не обращаясь к геометрическому образу? Что, если разобрать с учениками такую задачу?

В новогоднем подарке 2 яблока, 4 мандарина, 20 шоколадных конфет и 10 ирисок. Аня уже съела яблоко, мандарин и 5 шоколадных конфет и не съела ни одной ириски. Что осталось у Ани?

И записать:

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 15 \\ 10 \end{pmatrix}. $$

А затем разобрать задачи о том, что

• у Вики оказалось три подарка, потому что Гоша и Дима отдали ей свои (умножение вектора на число),
• Вика обещала мальчикам, что поцелует их в щечку по одному разу за каждые 2 яблока или за 1 мандарин, или за 5 шоколадных конфет, или за 10 ирисок (скалярное произведение векторов).

На мой взгляд — хотя я далек и от преподавания, и от математики — такие простые и наглядные задачи могли бы дать большинству школьников правильное представление о векторах еще до обращения к геометрии. Ну, а после можно перекладывать подобные задачи подходящей размерности на язык геометрии, на язык чертежа, и использовать понятие о векторе в школьном курсе физики. Что вы, уважаемые участники обсуждения, об этом думаете?

[Daft]

arseniiv в сообщении #1151778 писал(а):

Ну вот, например, функция $\cos$ — это вектор. Где и какой направленный отрезок ей соответствует?

Точно,но что-то я забыл про это Но мне непонятна причина,по которой представление вектора в виде направленного отрезка, мешает ученикам в дальнейшем. То есть ученик либо умеет абстрактно мыслить, либо нет. Ну написали аксиомы векторного пространства глядя на понятие направленного отрезка,ну и получили то,что получили. Хоть и понятие вектор расширилось,но ничего особого не произошло.

arseniiv в сообщении #1151778 писал(а):

Плохо читаете:

Я прочитал эти сообщения и они меня удивили,поэтому я решил уточнить этот вопрос. Касательно сообщения пользователя VAL- в нем каждое предложение для меня абсурд. Поэтому хотел бы услышать комментарии на этот вопрос ,в частности на его сообщение. Тем более ответы VAL и Red_Herring значительно отличаются.

[warlock66613]

NPrim в сообщении #1151809 писал(а):

такие простые и наглядные задачи могли бы дать большинству школьников правильное представление о векторах еще до обращения к геометрии.

Так ещё хуже (намного). Вектор в представлении ученика становится негеометрическим объектом, и что самое страшное — закладывается основа для путаницы между вектором и его координатным представлением.

[Anton_Peplov]

warlock66613 в сообщении #1151814 писал(а):

Вектор в представлении ученика становится негеометрическим объектом

Здесь не вижу проблемы (наверное, потому, что никогда не понимал, чем геометрические объекты отличаются от негеометрических).

warlock66613 в сообщении #1151814 писал(а):

и что самое страшное — закладывается основа для путаницы между вектором и его координатным представлением

А вот это действительно скверно. Потому что у одного и того же вектора разные координаты в разных базисах, и это надо четко понимать. Да, в приложениях удобно называть одномерный массив чисел "вектором", но это жаргон для тех, кто уже все понимает, а не для тех, кто только учится (тем более - в школе).

[NPrim]

Daft в сообщении #1151810 писал(а):

Касательно сообщения пользователя VAL - в нем каждое предложение для меня абсурд.

Ну, если я правильно понял сообщения VAL, у школьников формируется представление о том, что отрезок задается координатами его концов, то есть, фактически, двумя векторами. И это представление об отрезке правильное. Но, когда говорят о векторе, то вектор объявляют, по сути, разновидностью отрезка, и школьники или бывшие школьники, строго следуя своему правильному представлению об отрезках, начинают искать у вектора концы и прочие вещи, которых вектор лишен. А это затрудняет их обучение, потому что сбивает с толку.

warlock66613 в сообщении #1151814 писал(а):

NPrim в сообщении #1151809 писал(а):

такие простые и наглядные задачи могли бы дать большинству школьников правильное представление о векторах еще до обращения к геометрии.

Так ещё хуже (намного). Вектор в представлении ученика становится негеометрическим объектом, и что самое страшное — закладывается основа для путаницы между вектором и его координатным представлением.

Но не является ли переход от координатного представления о векторе к беcкоординатному, скажем так, естественным путем, которым формируется представления о нем? Сначала рассматриваем вектора в координатах, потом рисуем, потом изменяем масштаб, гнем координатную сетку... и, наконец, начинаем даже с функциями обращаться как с векторами (как в примере arseniiv).

(Ну, как я и сказал, я далек от математики и преподавания, поэтому, возможно, не понял ни того, о чем говорите Вы, ни даже того, о чем говорю я сам. И в терминологии не силен.)

[Red_Herring]

Daft в сообщении #1151810 писал(а):

Тем более ответы VAL и Red_Herring значительно отличаются.

Не так уж и отличаются. Вектор="направленный отрезок" определение неверное, даже если мы говорим о векторах в элементарной геометрии. Правильно Вектор="класс эквивалентности направленных отрезков... ", что, однако вводит неискушенных школьников в ступор. Поэтому IMHO разумный компромисс: Вектор="направленный отрезок. При этом два вектора считаются равными если один из другого получается сдвигом (параллельным переносом)".

То, что сказал VAL это вполне хорошее пред-определение: а сейчас, ребята, мы введем вектора--объекты, характеризующиеся величиной и направлением. А именно, <и дальше определение>