Dan_Te писал(а):
Вот рано вы празднуете победу. Во-первых, Someone его значительно дольше обрабатывал, так что вы, можно сказать, пожинаете плоды =)
Во-вторых, я бы не был столь оптимистичен и насчет самого факта победы. Поскольку Сорокину все фиолетово, он сейчас может резко одуматься и начать новую серию.
===============
В связи с утверждением г-на Someone о нетождественности окончаний
в числе
и такого же окончания
в одном из
окончаний в числе
и в связи с попыткой г-жи shvedka применить Лемму 3 не к степени окончаний, а к произведению произвольных окончаний (с получением, естественно,
результатов, я привожу доказательство ВТФ в "обратном порядке": не от
через
к
, а от
через
к
.
Великая теорема Ферма. Самое простое доказательство (20.02.2006)
Инструментарий:
Обозначения:
–
-значное окончание (число) в числе
в системе счисления с простым основанием
. Пример для
:
.
–
-ая цифра в числе
,
≠
. Пример для
:
.
Доказательство основано на двух известных леммах:
1* Лемма. Если
≠
и
, тогда
, и
если
и
≠
, тогда
и
,
≠
, где
.
2* Лемма. Если числа
и
взаимопростые и число
не делится на
, то числа
и
являются взимопростыми.
3* Лемма. Окончания
и
взаимооднозначно определяют друг друга.
Доказательства лемм даны в Приложении.
Доказательство Великой теоремы Ферма
(1°) Допустим, что
, где
простое,
≠
,
,
,
взаимопростые, следовательно (см. 2*), числа
и
являются взаимопростыми и
(2a°)
,
,
(2b°)
.
(2с°)
, где
, цифра
≠
,
(следствие из 1° и малой теоремы).
***
Из
(см. 2c°), или (см. 2b° и 2a°)
мы имеем:
(3°)
, или
(КЛЮЧ доказательства).
И теперь
(4°)
… (см. 3* и 2b°) …
.
Таким образом,
-значное окончание правой части равенства 1° представляет собою призведение
ТОЖДЕСТВЕННО равных между собою окончаний
, и, следовательно, число
является
-значным окончанием основания в правой части равенства. А в левой части равенства
-значным окончанием основания является число
. Следовательно, основания в двух частях равенства 1° различны, что противоречит свойству равенства.
__________________
Приложение
1* Лемма. Если
≠
и
, тогда
, и
если
и
≠
, тогда
и
,
≠
, где
.
[Таким образом, если
[
] делится на
, то число
содержит только один сомножитель
(если, конечно, цифра
≠
), или:
и
≠
.
Этот факт легко доказывается группировкой членов числа
в пары с выделением у каждой пары сомножителя
.]
2* Лемма. Если числа
и
взаимопростые и число
не делится на
, то числа
и
являются взимопростыми. Доказательство аналогично предыдущему.
3* Лемма. Окончания
и
взаимооднозначно определяют друг друга.
Верность утверждения становится очевидной из разложения бинома Ньютона
для простого
.
Виктор Сорокин