ВТФ by Виктор Сорокин

[Руст]

Приведённые леммы верны с одним замечанием. Вторая часть леммы 1 верна только для простых н. Доказательство второго случая теоремы в принципе невозможна рассмотрением только остатков, о чём я уже здесь писал, а потому даже нет смысла их рассматривать. А в доказательстве первой части сразу ошибка в заключени об окончании на 01.

[bot]

Сорокин Виктор писал(а):

1* Лемма. Если $(cb)_1$ ≠ $0$ и $(c-b)_{(k)} = 0$, тогда $(c^n-b^n)_{(k+1)}=0$, ....

А почему бы Вам не писать так, чтобы не требовался переводчик? Вы во Франции на каком языке говорите? Неужто требуете, чтобы все русский выучили?

Вот как это выглядит в нормальном общеизвестном, как Вы выражаетесь, языке:
Пусть $p$простое. Если $bc$ не делится на $p$ и $b \equiv c \, (mod \, p^k)$, то $b^p \equiv c^p \, (mod \, p^{k+1})$
Это утверждение верное, но условия избыточны: не нужна ни простота $p$, ни неделимость $bc$ на $p$

В остальное на Вашем новоязе даже и вникать не хочется.

[Сорокин Виктор]

shwedka писал(а):

Поработайте еще над опечатками, скажем,

Цитата:

поскольку число c-b оканчивается на 5 нулей

Цитата:

Согласно ключевому равенству 3°

(Такого в этом тексте нет!!)

Уберите n.
И введите новые обозначения для чисел, получающихся в результате
умножения на d...

А пока нечитаемо.

Постарался учесть все Ваши замечания. Огромное спосибо за большую помощь в работе!

[Сорокин Виктор]

Руст писал(а):

Приведённые леммы верны с одним замечанием. Вторая часть леммы 1 верна только для простых н. Доказательство второго случая теоремы в принципе невозможна рассмотрением только остатков, о чём я уже здесь писал, а потому даже нет смысла их рассматривать. А в доказательстве первой части сразу ошибка в заключени об окончании на 01.

Увы, все Ваши возражения должны быть отброшены:
1) Во всем доказательстве n простое;
2) Рассмотрение остатков не только возможно, но и работает (в предыдущем доказательстве оно эффекта не дало, но не потому, что невозможно, а потому что этого оказалось недостаточно);
3) И $R'$, и $r'^{n-1}$ оканчиваются на $1$ – см. малую теорему Ферма, следовательно, $R$, и $(c-b)^{n-1}$ оканчиваются на $01$ .

[Сорокин Виктор]

bot писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

1* Лемма. Если $(cb)_1$ ≠ $0$ и $(c-b)_{(k)} = 0$, тогда $(c^n-b^n)_{(k+1)}=0$, ....

А почему бы Вам не писать так, чтобы не требовался переводчик? Вы во Франции на каком языке говорите? Неужто требуете, чтобы все русский выучили?

Вот как это выглядит в нормальном общеизвестном, как Вы выражаетесь, языке:
Пусть $p$простое. Если $bc$ не делится на $p$ и $b \equiv c \, (mod \, p^k)$, то $b^p \equiv c^p \, (mod \, p^{k+1})$
Это утверждение верное, но условия избыточны: не нужна ни простота $p$, ни неделимость $bc$ на $p$

В остальное на Вашем новоязе даже и вникать не хочется.

Не вникать - Ваше полное право.
Одной из моих отправных гипотез была: нахождению элементарного доказательства ВТФ мешает современный математический язык. И по сей день я так и не выяснил, как на Вашем "язе" задается координата цифры в числе. У меня (полагаю, и П.Ферма) очень просто: "k". А у Вас?
И мне совершенно ясно, что П.Ферма нашел доказательство только в системе счисления с простым основанием. И я не хочу отступать от этого же.

[Someone]

Сорокин Виктор писал(а):

shwedka писал(а):

знаете, я, пожалуй готова с Вами здесь согласиться. Покажите рассуждение для случая, когда одно из чисел делится на 3.
Но опять, для степени 3, пжлста.

Жду мнение Someone. Но послезавтра опубликую в любом случае (если ничего не случится).

Публиковать Вы, конечно, по своему обыкновению, собираетесь не для третьей степени, а сразу для всех, и под победный гром барабанов. Не думаю, что стоит спешить. Мой контрпример для седьмой степени остаётся в силе, поскольку он удовлетворяет всем соотношениям, которые Вы используете в своём доказательстве. Ваши туманные рассуждения о простых сомножителях и их окончаниях к делу отношения не имеют, тем более, что Вы так и не сформулировали их внятным образом (и это довольно сложно сделать, поскольку Вы сами плохо понимаете, чего хотите).
А случай третьей степени (и ряд других) является, в некотором смысле, особым, поскольку для него первый случай теоремы Ферма доказывается, если рассмотреть уравнение Ферма по модулю $3^3$. Среди показателей $n$, меньших $36$, есть шесть ($3$, $5$, $11$, $17$, $23$ и $29$), для которых имеет место аналогичное положение.

Кстати, в перечисленных случаях одно из чисел $a$, $b$, $c$ должно делиться на $n^2$.

Но все эти результаты наверняка давным-давно известны вместе с соответствующими элементарными доказательствами. Кстати, я их получил полным перебором (объём полного перебора - $n^3$ вариантов) кандидатов в контрпримеры (и не случайно привёл Вам контрпример именно для седьмой степени, поскольку поиск контрпримеров для второго случая теоремы Ферма сложнее; однако из-за недостатка времени я ещё не до конца с этим разобрался).

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

Сорокин Виктор писал(а):

Жду мнение Someone. Но послезавтра опубликую в любом случае (если ничего не случится).

Публиковать Вы, конечно, по своему обыкновению, собираетесь не для третьей степени, а сразу для всех, и под победный гром барабанов. Не думаю, что стоит спешить. Мой контрпример для седьмой степени остаётся в силе, поскольку он удовлетворяет всем соотношениям, которые Вы используете в своём доказательстве. Ваши туманные рассуждения о простых сомножителях и их окончаниях к делу отношения не имеют, тем более, что Вы так и не сформулировали их внятным образом (и это довольно сложно сделать, поскольку Вы сами плохо понимаете, чего хотите).

Вот и ошиблись. Однако не моя в том вина, что доказательства для третьей и любой иной простой степени во втором случае абсолютно одинаковы. И это не спешка: первый (кстати, исключительно примитивный) случай – это по существу двойное применение малой теоремы Ферма и возведение в степень числа, оканчивающегося на 1. Вы отказываетесь верить своим глазам исключительно по причине "Этого не может быть!.."
Контрпример для седьмой степени, конечно, хорош, но опровергнуть ключевую формулу 3° он не может. К тому же, теперь простые сомножители в доказательстве не фигурируют.

Someone писал(а):

А случай третьей степени (и ряд других) является, в некотором смысле, особым, поскольку для него первый случай теоремы Ферма доказывается, если рассмотреть уравнение Ферма по модулю $3^3$. Среди показателей $n$, меньших $36$, есть шесть ($3$, $5$, $11$, $17$, $23$ и $29$), для которых имеет место аналогичное положение.

Да, конечно, предстоящий метод доказательства первого случая в общем виде немного отличается от уже использованного для третьей степени. Однако с тем же результатом. Забегая вперед, скажу, что число R, теоретически оканчивающееся на 1, в неожиданных алгебраических расчетах оканчивается либо на 0, либо на 2, но никак не на 1.
Ну а пока я с нетерпением жду Вашего мнения о двустрочном доказательстве. Ведь не станете же Вы утверждать, что числа r и R взаимозависимы?!

Someone писал(а):

Кстати, в перечисленных случаях одно из чисел $a$, $b$, $c$ должно делиться на $n^2$.
Но все эти результаты наверняка давным-давно известны вместе с соответствующими элементарными доказательствами. Кстати, я их получил полным перебором (объём полного перебора - $n^3$ вариантов) кандидатов в контрпримеры (и не случайно привёл Вам контрпример именно для седьмой степени, поскольку поиск контрпримеров для второго случая теоремы Ферма сложнее; однако из-за недостатка времени я ещё не до конца с этим разобрался).

Слушайте, не тратьте время на контрпримеры - совершенно точно: числа r и R одновременно степенью НЕ ЯВЛЯЮТСЯ.

Так как насчет первого случая для n=3?

[shwedka]

Цитата:

Постарался учесть все Ваши замечания. Огромное спосибо за большую помощь в работе!

'Спасибо' не булькает!!

Someone
Да одобрите же Вы его рассуждение для третьей степени. По-моему, не липа. Известно же, что 1 случай здесь элементарен. А второй, по Эйлеру, требует науки. Тут-то мы его и возьмем за мягкое место..... Пусть сформулирует точно.
Ведь Сорокин убегает от контрпримеров, не формулируя точно свои утверждения.
Так что его, на мой взгляд, нужно доводить до точных формулировок, и только тогда раздевать.

бот

Цитата:

В остальное на Вашем новоязе даже и вникать не хочется.

'не нравится- не ешь', как сказал людоед сыну,
заявившему, что не любит дедушку. Уж не надо замдеканского тона. Не говорю за других,
но мне общение с Сорокиным некое удовольствие доставляет.

[Someone]

shwedka писал(а):

Someone
Да одобрите же Вы его рассуждение для третьей степени. По-моему, не липа.

Совершенно точно не липа. Кажется, впервые вижу хоть и простое, но правильно доказанное Виктором Сорокиным утверждение, касающееся теоремы Ферма.

shwedka писал(а):

Тут-то мы его и возьмем за мягкое место.

Да я не ущучить его хочу. Если бы научить его некоторой самокритичности... Тогда бы он поменьше всякой ерунды по форумам раскидывал. Но это мечты только, самокритичность у него на нуле и не сдвигается.
Вот и здесь: кажется ему, что для всех показателей будет так же, как для третьей степени, а это на самом деле заблуждение.

shwedka писал(а):

Ведь Сорокин убегает от контрпримеров, не формулируя точно свои утверждения.
Так что его, на мой взгляд, нужно доводить до точных формулировок, и только тогда раздевать.

Вы правы. Но у меня большое желание разъяснять самому, а он моих объяснений не понимает (или не хочет понимать). Нужно, чтобы он "сам" дошёл, а у меня терпения не хватает.

[bot]

shwedka писал(а):

Уж не надо замдеканского тона.

Дело не в тоне и даже не во мне. Ну возникли у Сорокина затруднения с обозначением k-ой цифры в p-ичном разложении. Разве это повод отвергать все общепринятые обозначения? И уж во всяком случае мог бы сохранить стандартные p и q для обозначения простых чисел.
А какое первое впечатление от такого новояза? Что скажет сторонний наблюдатель о том, кто даже не потрудился освоить язык, на котором общаются все? А тут даже хуже - оказывается решению проблемы мешает кодировка! Ну как тут про танцора не вспомнить?
Ну раскодируешь какой-нибудь фрагмент, а там, если не вздор, то простое упражнение, ещё и неряшливо сформулированное. Не по этим ли поводам в основные препирательства идут?
К чему эти сверхусилия, если результат ясен и на это ему неоднократно указывали - см. выше замечание от Руст, наверно Вы и someone говорили - я тоже говорил, правда, не здесь. Но Вы же знаете, что сам путь, по которому он идёт, обречён на провал.
Ну а чисто по человечески мне его жаль - угрохать столько времени на то, чтобы морочить голову себе и другим. Открыл бы лучше задачник по теории чисел, да порешал, может быть не были тогда для него откровением давно известные вещи типа, вспоминаю, D-множества, кажется, которое, как он выражался, решает самую трудную часть проблемы.

[Сорокин Виктор]

Someone писал(а):

shwedka писал(а):

Someone
Да одобрите же Вы его рассуждение для третьей степени. По-моему, не липа.

Совершенно точно не липа. Кажется, впервые вижу хоть и простое, но правильно доказанное Виктором Сорокиным утверждение, касающееся теоремы Ферма.

Вот и хорошо. Пойдемте дальше.
Второй случай состоит из следующих утвреждений:
1) Ключевой вывод 3°: число $r^{n-1}-R$ оканчивается на $k+1$ нулей.
2) $k+1$-значное окончание числа $a$ можно преобразовать в 1 с помощью некоторого множителя равенства 1° вида $d^{nn}$.
3) $k+1$-е цифры в числах $r^{n-1}$ и $R$ отличны от нуля и не равны друг другу, и потому
4) в их разности $k+1$-я цифра НЕ РАВНА нулю, т.е. "число $r^{n-1}-R$ оканчивается ЛИШЬ на $k$ нулей"!
А теперь сравните с пунктом 1).

И, наконец, вопрос: в каком из 4-х пунктов содержится ошибка?

[Сорокин Виктор]

bot писал(а):

shwedka писал(а):

Уж не надо замдеканского тона.

Дело не в тоне и даже не во мне. Ну возникли у Сорокина затруднения с обозначением k-ой цифры в p-ичном разложении. Разве это повод отвергать все общепринятые обозначения? И уж во всяком случае мог бы сохранить стандартные p и q для обозначения простых чисел.
А какое первое впечатление от такого новояза? Что скажет сторонний наблюдатель о том, кто даже не потрудился освоить язык, на котором общаются все? А тут даже хуже - оказывается решению проблемы мешает кодировка! Ну как тут про танцора не вспомнить?
Ну раскодируешь какой-нибудь фрагмент, а там, если не вздор, то простое упражнение, ещё и неряшливо сформулированное. Не по этим ли поводам в основные препирательства идут?
К чему эти сверхусилия, если результат ясен и на это ему неоднократно указывали - см. выше замечание от Руст, наверно Вы и someone говорили - я тоже говорил, правда, не здесь. Но Вы же знаете, что сам путь, по которому он идёт, обречён на провал.
Ну а чисто по человечески мне его жаль - угрохать столько времени на то, чтобы морочить голову себе и другим. Открыл бы лучше задачник по теории чисел, да порешал, может быть не были тогда для него откровением давно известные вещи типа, вспоминаю, D-множества, кажется, которое, как он выражался, решает самую трудную часть проблемы.

Извините, что подсмотрел письмо, предназначенное не мне. Даю маленькое поянение:
В 1982 г. (и во многом по сей день) я оказался фактически на необитаемом острове: ни литературы, ни права на переписку. А модулям в средней школе не учили...

[shwedka]

Сорокин Виктор
Вы наисправляли текст от вчерашнего дня. Так не годится. Я с трудом его нашла. Новая версия должна идти новым постом. Иначе вся дискуссия становится непонятной для читающего форум.
И нужно ввести новые обозначения для ВСЕХ чисел, получающихся после умножения на d, во избежание путаницы.

Жду культурно написанной версии для трех.

[Сорокин Виктор]

shwedka писал(а):

Сорокин Виктор
Вы наисправляли текст от вчерашнего дня. Так не годится. Я с трудом его нашла. Новая версия должна идти новым постом. Иначе вся дискуссия становится непонятной для читающего форум.
И нужно ввести новые обозначения для ВСЕХ чисел, получающихся после умножения на d, во избежание путаницы.

Жду культурно написанной версии для трех.

=======================================

Великая теорема Ферма. 2 марта 2006
Великая теорема Ферма. Март, 2006

Инструментарий:
Обозначения:
$a_{(k)}$ – $k$-значное окончание (число) в числе a в системе счисления с простым основанием $n > 2$. Пример для $a = 3401$: $a_{(3)} = 401$.
$a_k$ – $k$-ая цифра в числе $a$, $a_1$ ≠ $0$. Пример для $a = 3401$: $a_3 = 4$.

Доказательство основано на известных леммах:
1* Лемма. Если $(cb)_1$ ≠ $0$ и $(c-b)_{(k)} = 0$, тогда $(c^n-b^n)_{(k+1)}=0$, и
если $(c^n-b^n)_{(k+1)} = 0$ и $(cb)_1$ ≠ $0$, тогда $(c-b)_{(k)} = 0$ и $R_1 = 0$, $R_2$ ≠ $0$, где $R = (c^n-b^n)/(c-b)$.
2* Лемма. Если $a_1$ ≠ $0$ и $k > 0$, тогда существует такое $d$, что $(ad)_{(k)} = 1$.
3* Лемма. Если числа $c$ и $b$ взаимопростые и число $r [= c-b] $ не делится на $n$, то числа $r$ и $R$ являются взимопростыми.

Доказательство Великой теоремы Ферма для частного случая: n=3 и k=2
(1°) Допустим, что $a^3=c^3-b^3=rR$, $a_1$ ≠ $0$, $a$, $b$, $c$ взаимопростые, следовательно, числа $r=(c-b)$ и $R = (c^3-b^3)/(c-b)=c^2+cb+b^2=(c-b)^2+3cb$ являются взаимопростыми и
(2a°) $r = (c-b)= r'^3$,
(2b°) $R = c^2+cb+b^2 = R'^3=(c-b)^2+3cb=(r'^3)^2+3cb=(r'^2)^3+3cb$,
(2с°) $u = a + b-c$, где $u_{(2)} = 0$, цифра $u_{3}$ ≠ $0$, $k > 0$ (следствие из 1° и малой теоремы).
(3°) $R_{(k+1)} = (c-b)^{(n-1)}$$_{(k+1)} $ [КЛЮЧ доказательства!], поскольку $(k+1)$-значные окончания в числах: $(c-b)^n-(c-b)R$, $(c-b)^n-a^n$, $[(c-b)-a]Q$, $uQ$ равны $0$,
так как $u_{(k)} = 0$ (см. 2c°) и $Q_1 = 0$ (см. 1*).

Случай 1: $(abc)_1$ ≠ $0$.
Так как в 2b° числа $R'$ и $r'^2$ оканчиваются на $1$, то числа $R'^n$ и $ (r'^2)^3$ оканчиваются на $01$, а цифра $(cb)_1$ ≠ $0$, то равенство $R'^3=(r'^2)^3+3cb$, очевидно, НЕВОЗМОЖНО.

Случай 2: $b_1=0$, но $(ac)_1$ ≠ $0$.
Согласно ключевому равенству 3°, число $R-(c-b)^2$ оканчивается на $3$ нуля. Этот факт не меняется от преобразования $3$-значного окончания числа $a$ в $1$ (с помощью умножения равенства Ферма на некоторое число $d^9$ с сохранением свойств 2a° - 2c° – см. 2*; для ясности восприятия обозначения букв остаются прежними, но БОЛЬШИМИ, а к числам r и R приписывается звездочка. Теперь числа $C$ и $A$ оканчиваются на 001). И если у нас $k=2$, то число $U по-прежнему оканчивается на 2 нуля, как и число $B$ (поскольку число $C-A$ оканчивается даже на 5 нулей – см. 1*).
Но из непосредственного вычисления окончания числа $R^*-(C-B)^2$ мы видим, что третья цифра (от конца) в этом числе НЕ РАВНА нулю:
второй член в $R^*$ есть $B$, а в $(C-B)^2$ есть $2B$, и потому третья цифра в $R^*-(C-B)^2$ равна $(B-2B)_3= (-B)_3$, где $B_3$ ≠ $0$.

Таким образом, второй случай состоит из следующих утверждений:
1) Ключевой вывод 3°: число $r^2-R$ оканчивается на $3$ нуля.
2) $3$-значное окончание числа $a$ можно преобразовать в 1 с помощью некоторого множителя равенства 1° вида $d^9$.
3) $3$-е цифры в числах $r^*^2$ и $R^*$ отличны от нуля и не равны друг другу, и потому
4) в их разности $3$-я цифра НЕ РАВНА нулю, т.е. "число $r^*^2-R^*$ оканчивается ЛИШЬ на $2$ нуля"!
А теперь сравните с пунктом 1).

Теперь вопрос: в каком из 4-х пунктов содержится ошибка? Или хотя бы: какой из 4-х пунктов вызывает сомнение?
__________________

Доказательство второго случая обобщается на любое простое $n>2$ и $k>0$ без каких-либо дополнительных операций. Но именно этот случай считается в теории ВТФ самым трудным для доказательства, поскольку он нарушает "симметрию", "порядок": одно из трех "r" не является степенью. Однако не этот случай восхитил П.Ферма.
Доказательство первого случая в общем виде ждет своей публикации. Его изюминка - очень эффектное (и казалось бы, невозможное!) алгебраическое преобразование формулы числа R, после чего нулевое окончание R становится очевидным.[/quote]

[shwedka]

A почему Ваше u не может оканчиваться на только один нуль??
и почему третья цифра у В не нуль?

Вы искусственно взяли равное количество нулей в конце у u и у В. а если не так??