Мне товарищи справедливо указали, что вообще-то надо учесть давление.
Если его учесть, то синхронная координатная система не подходит. Уравнения явно не решаются. Только численно.
Как я вам давным-давно говорил на другом форуме - дело не только в давлении.
Ту же самую проблему, можно поиметь
на ровном месте безо всякой ОТО - только из-за идеализации континуальности (непрерывности) распределения.
Повторюсь еще раз, может быть теперь дойдет:
Пусть у вас изначально пыль распределена координатно в форме куба, в ИСО с декартовыми
.
Условия задачи таковы что
гравитационное влияние можно пренебречь (пыль малой плотности, куб малых размеров) - чистая классика (никакой ОТО) - все пылинки движутся строго инерциально.
Задаем исходные скорости пылинок пропорциональными их исходной
-координатой со знаком минус; "нарезаем по
" куб на "квадратные" слои - и вводим сопутствующую "
-слоев" координату
(
- непрерывная "нумерация" соответных слоев).
Пыль/слои движется строго инерциально ("по
"). Ищем решение происходящего в смысле распределения плотности.
Решение очевидно будет: исходный "куб" пыли будет
инерциально "сжиматься" (увеличивая плотность) до "квадрата нулевой толщины" на
где все
-слои в некий момент одновременно встречно пройдут сквозь друг друга; далее "квадрат" начнет расширяться в обратной стороне (сопутствующая нумерация
обратит направление относно фиксированной исходной координатой
).
Момент "сквозного прохода" всех слоев через
(пусть
), отвечает
(в полной аналогии с
в вашей задачи).
Теперь очевидно что если это реально-дискретная пыль (пылинки достаточно малы но конечных размеров, расстояния м/у них достаточно большие по отношению их размеров; плотность достаточно мала) - то никакие физические особенности не будут иметь место (плотность хотя и увеличится в момент сквозного прохода - не станет бесконечной - и слои пройдут спокойно сквозь друг друга).
Так же и приближение пренебрежения давлением - вполне может иметь место, и не нарушаться на все время процесса.
Тем не менее, если описывать все это через континуально-непрерывным распределением - получим бесконечной плотности в момент сквозного прохода в
- независимо от малости исходной непрерывной плотности.
Точнее говоря, в момент
инерциального сжатия исходного куба до "квадрата" - трехмерная плотность обратится в бесконечность - конечная масса находится в нулевом объеме (хотя и двухмерная плотность - масса на единице площади - будет оставаться конечной).
В итоге - обращение трехмерной плотности в бесконечность при сквозном проникании слоев - может быть просто артефактом идеализации непрерывности описания (даже притом, что приближение нулевого давления остается в силе).