Циклоида.

[PSP]

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки $A $ плоскости производящего круга радиуса $R$ , катящегося без скольжения по прямой. . Если эта точка $A$ вне круга, то эта циклоида удлиненная; если точка $A $ внутри круга, то укороченная; если точка $A$ на границе круга, то обыкновенная.
Уравнения параметрические :
$x=at - R \sin (t) $
$y=a-R \cos(t) $

при $ a< R $ эта циклоида удлиненная.
при $ a> R $ эта циклоида укороченная.
при $ a= R $ эта циклоида обыкновенная.
Вопрос следующий.
Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?
Может ли она быть инвариантна относительно дробно-линейных преобразований (преобразований Мебиуса ) ?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

PSP
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: вернул.

[ewert]

PSP в сообщении #1065847 писал(а):

Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?

В каком смысле инвариантна?

Если как кривая, то, очевидно, относительно сдвигов на период.

[PSP]

ewert в сообщении #1109472 писал(а):

PSP в сообщении #1065847 писал(а):

Относительно каких преобразований на плоскости циклоида инвариантна?

В каком смысле инвариантна?

Если как кривая, то, очевидно, относительно сдвигов на период.

Вы правы.Похоже,других преобразований нет.Разве что преобразования подобия,в результате коих появляется циклоида других размеров.Но это скорее не инвариантность,а оставление в классе..

[Dmitriy40]

А отражение (симметрия относительно вертикальной оси) не считается отдельным преобразованием? К сдвигу оно не сводится.

[svv]

Таких преобразований пруд пруди, потому что нет никаких ограничений.
Например: возьмём полосу $y_1<y<y_2$, содержащую циклоиду. Пусть преобразование переводит точки полосы в себя, а точки вне полосы — в точки вне полосы. Циклоида переходит в циклоиду.
Или: преобразование, которое сдвигает точки на циклоиде вдоль циклоиды. Пусть координата $x$ точки на циклоиде увеличивается на единицу, а $y$ меняется так, чтобы точка оставалась на циклоиде. Такое преобразование легко расширить на всю плоскость.

[PSP]

svv в сообщении #1109604 писал(а):

Таких преобразований пруд пруди, потому что нет никаких ограничений.
Например: возьмём полосу $y_1<y<y_2$, содержащую циклоиду. Пусть преобразование переводит точки полосы в себя, а точки вне полосы — в точки вне полосы. Циклоида переходит в циклоиду.
Или: преобразование, которое сдвигает точки на циклоиде вдоль циклоиды. Пусть координата $x$ точки на циклоиде увеличивается на единицу, а $y$ меняется так, чтобы точка оставалась на циклоиде. Такое преобразование легко расширить на всю плоскость.

Интересно.Сия задача возникла вот из чего.Интересуюсь преобразованиями,относительно коих обыкновенная винтовая линия (ОВЛ) остаётся обыкновенной винтовой линией (ОВЛ). А любая проекция ОВЛ на плоскость - это и есть циклоида.Хотелось бы выяснить, есть ли среди искомых преобразований дробно-линейные.Вот поэтому и заинтересовался циклоидой.Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?

[svv]

PSP в сообщении #1109691 писал(а):

А любая проекция ОВЛ на плоскость - это и есть циклоида.

Я думал, когда солнце в зените, тень от пружинки, лежащей на бумаге — синусоида.

[amon]

PSP в сообщении #1109691 писал(а):

Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?

Дробно-линейные преобразования переводят окружность в окружность. Для того, что бы циклоида осталась циклоидой надо, что бы определяющая прямая осталась прямой. Для этого надо, что бы бесконечно удаленная точка осталась на месте. Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

-- 28.03.2016, 00:03 --

Не, соврал. Надо, что бы полюс знаменателя лежал на определяющей прямой, тогда, вроде, циклоида останется циклоидой.

[PSP]

amon в сообщении #1109698 писал(а):

PSP в сообщении #1109691 писал(а):

Так что есть ли дробно-линейные преобразования на плоскости, коие циклоиду оставляют циклоидой ?

Дробно-линейные преобразования переводят окружность в окружность. Для того, что бы циклоида осталась циклоидой надо, что бы определяющая прямая осталась прямой. Для этого надо, что бы бесконечно удаленная точка осталась на месте. Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

-- 28.03.2016, 00:03 --

Не, соврал. Надо, что бы полюс знаменателя лежал на определяющей прямой, тогда, вроде, циклоида останется циклоидой.

Будьте любезны, можете эти требования выразить в формульном виде ?

[amon]

Я поторопился. Пока, беру свои слова про существование такого преобразования назад.

[PSP]

amon в сообщении #1109711 писал(а):

Я поторопился. Пока, беру свои слова про существование такого преобразования назад.

Хорошо.Надеюсь,вы обдумаете эту задачу...

[Red_Herring]

amon в сообщении #1109698 писал(а):

Значит только линейные преобразования (из класса дробно-линейных) оставят циклоиду циклоидой, а остальные (с нетривиальным знаменателем) сделают из нее либо эпи-, либо гипоциклоиду.

Нет: дело в том что у катящейся окружности будет меняться радиус в процессе качения http://dxdy.ru/post1106530.html#p1106530

[amon]

Да, я это потом сообразил, и сдал назад.