Я не знаю про и. Шварца, но линии класс линий получающихся в результате движения окружности

по окружности

(окружности вкл. в себя и прямые) инвариантным не будет. Да Y перейдёт в окружность, и

(ведь X движется!) перейдет в окружность

, но если

имела постоянный радиус ( по

) то

–– нет!
Конечно, можно определить инвариантный класс линий, но он будет либо меньше (обобщенные окружности), либо больше исходного. А что такое винтовая линия? Мы же на плоскости!
Нет,предполагается движение не только на плоскости ,но и в пространстве.
Обыкновенная винтовая линия - это композиция движения по окружности и прямой,но в пространстве.
По вопросу инвариантности есть 2 пути.Либо найти класс преобразований, оставляющий класс кривых "дицикловые кривые" в себе, либо выделить из этого класса кривых такой подкласс, коией дробно-линейные преобразования оставляют в себе.
Хорошо бы проверить оба пути.