Существует или может существовать.

[bot]

Yarkin писал(а):

Запись $3^2 + 4^2 = 5^2$ означает одно - треугольника со сторонам $3^2, 4^2, 5^2$ не существует.

Существует - только это вырожденный треугольник, вершины лежат на одной прямой.
И теорема косинусов для него справедлива.

$|AB|=9, \ |BC|=16, \ |CA|=25, \ \angle A=0, \ \angle B=\pi, \ \angle C=0,$

$9^2 + 16^2 - 2\cdot 9 \cdot 16 \cos \pi = 9^2 + 16^2 + 2\cdot 9 \cdot 16 = (9 + 16)^2 = 25^2$

$16^2 + 25^2 - 2\cdot 16 \cdot 25 \cos 0 = 16^2 + 25^2 - 2\cdot 16 \cdot 25 = (16 - 25)^2 = 9^2$

$25^2 + 9^2 - 2\cdot 25 \cdot 9 \cos 0 = 25^2 + 9^2 + 2\cdot 25 \cdot 9 = (25-9)^2 = 16^2$

Удивляться тут нечему - теорема косинусов следует из свойств скалярного произведения, а ему безразлично расположение точек на плоскости или в пространстве.
Если Вы не приемлете вырожденных треугольников, то не навязывайте своих вкусов другим. Во многих рассмотрениях нет никакой нужды такие треугольники исключать. Совсем напротив - применяя теорему косинусов, легко определить, Вырожден или нет треугольник с вершинами в данных трёх точках или, что то же самое - лежат три точки на одной прямой или нет.

А раньше Вы совсем другое говорили:

Yarkin писал(а):

Теорема антикосинусов. Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место одно и только одно соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Кажется, здесь ещё никто не дорос до понимания Вашего "имеет место одно и только одно соотношение"

[Someone]

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Самым обычным образом:

Зачем тогда ограничения (3) в ТК?

А ограничения (3) - это не ограничения в теореме косинусов. Это условия невырожденности треугольника, записанные через его углы. Мы же с Вами обсуждаем вырожденные треугольники. Или Вы можете продемонстрировать вырожденный треугольник, для которого равенства $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle A$ (и так далее) не выполняются?

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

а) для существования треугольника ничего о его углах предполагать не требуется, достаточно, чтобы стороны удовлетворяли трём перечисленным неравенствам;

Согласен, и потому Вы считаете, что для этого достаточно одного соотношения (1)? Если так, то это ошибка.

Продемонстрируйте, пожалуйста, три положительных числа $a=x^n$, $b=y^n$, $c=z^n$, для которых выполняется соотношение (1) $x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$, то есть, $a^2+b^2=c^2$, и которые не являются длинами сторон треугольника.

Yarkin писал(а):

Одно и то же уравнение не может отражать два различных состояния одной и той же геометрической фигуры. Чтобы обратить математиков на этот факт

Ещё раз спрашиваю: что такое "состояние геометрической фигуры"?

[Yarkin]

AD писал(а):

Соотношения $0<5<3+4$, $0<4<3+5$ и $0<3<4+5$ означают, что существует (и единственный) треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$. Соотношение $3^2 + 4^2 = 5^2$ означает, что этот треугольник прямоугольный. Соотношения (1), (2) и (3) (в которых $n=1$, и числа $x$, $y$ и $z$ вычисляются по формулам $(*)$) следуют из свойств этого треугольника.

Из (1) не следует (2) и тем более (3). Они следуют только в том случае, если Вы имеете треугольник. Ведь Вы, надеюсь не будете отрицать, что теорема Пифагора доказывается для треугольника, который существует.

Добавлено спустя 23 минуты 36 секунд:

bot писал(а):

Вырожден или нет треугольник с вершинами в данных трёх точках или, что то же самое - лежат три точки на одной прямой или нет.

Вы игнорируете ограничения (3) и основные неравенства для сторон треугольника.

Someone писал(а):

А ограничения (3) - это не ограничения в теореме косинусов. Это условия невырожденности треугольника, записанные через его углы.

При нарушении этих увловий, нарушается теорема косинусов. Или для вырожденного треугольника остается вырожденная теорема косинусов. Почему Вы и bot считаете вырожденный треугольник существующим?

Someone писал(а):

Ещё раз спрашиваю: что такое "состояние геометрической фигуры"?

Это как раз состояние существования и вырожденоости. Вы считаете, что соотношение (1) одновременно описывает несуществование треугольника со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^[2n}$ и существование треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, что невозможно.

[AD]

Yarkin писал(а):

Из (1) не следует (2) и тем более (3). Они следуют только в том случае, если Вы имеете треугольник. Ведь Вы, надеюсь не будете отрицать, что теорема Пифагора доказывается для треугольника, который существует.

Существование треугольника я доказал. Оно следует из соотношений $0<5<3+4$, $0<4<3+5$ и $0<3<4+5$.
Или вы считаете, что прямоугольных треугольников не существует?
Или вы считаете, что эти соотношения неверны?

Yarkin писал(а):

Вы считаете, что соотношение (1) одновременно описывает несуществование треугольника со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^[2n}$ и существование треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, что невозможно.

Почему? Докажите. Мне уже надоедают ваши бессмысленные и недоказуемые, и при этом заведомо неверные, заявления. Любой восьмиклассник должен уметь доказывать обратное.

Добавлено спустя 29 минут 24 секунды:

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Ещё раз спрашиваю: что такое "состояние геометрической фигуры"?

Это как раз состояние существования и вырожденоости.

Вас просили дать определение, а не привести примеры. И желательно после этого еще и доказать ваше утверждение в свете этого определения.

[Someone]

Yarkin писал(а):

Из (1) не следует (2) и тем более (3). Они следуют только в том случае, если Вы имеете треугольник. Ведь Вы, надеюсь не будете отрицать, что теорема Пифагора доказывается для треугольника, который существует.

Ерунда. Разумеется, из (1) (см. http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=109803#109803) не следует (2), поскольку в (1) нет никаких углов. Однако из (1) следует, что $z^n<x^n+y^n$, $x^n<z^n$, $y^n<z^n$, а этого достаточно для существования треугольника со сторонами $x^n$, $y^n$, $z^n$, и доказывать это должен уметь восьмиклассник, причём, доказывать конструктивно, прямым построением. Я не зря отсылал Вас к школьному учебнику геометрии, но Вы моему совету не последовали. Таким образом, треугольник существует, углы $A$, $B$, $C$ существуют и удовлетворяют теореме косинусов - как и в любом "существующем" треугольнике. И, разумеется, условиям (3) они тоже удовлетворяют - как в любом "существующем" треугольнике.

Yarkin писал(а):

bot писал(а):

Вырожден или нет треугольник с вершинами в данных трёх точках или, что то же самое - лежат три точки на одной прямой или нет.

Вы игнорируете ограничения (3) и основные неравенства для сторон треугольника.

Someone писал(а):

А ограничения (3) - это не ограничения в теореме косинусов. Это условия невырожденности треугольника, записанные через его углы.

При нарушении этих увловий, нарушается теорема косинусов.

Предъявите численный пример: длины сторон вырожденного треугольника такие-то (численные значения), величины углов - такие-то (численные значения), и где там теорема косинусов нарушается. Без каких-либо общих рассуждений насчёт "существует или может существовать", только численные значения. Если Вы возьмёте неправильные значения углов, Вам это немедленно укажут.

Yarkin писал(а):

Или для вырожденного треугольника остается вырожденная теорема косинусов. Почему Вы и bot считаете вырожденный треугольник существующим?

Потому что я могу его построить, то есть, указать (конструктивно) на плоскости три точки, расстояния между которыми равны заданным числам, а также указать величины его углов (не всегда однозначно, но указать могу всегда), причём, все три соотношения теоремы косинусов будут выполняться.
А что такое "вырожденная теорема косинусов", я не знаю. Это Ваша выдумка?

Yarkin писал(а):

Someone писал(а):

Ещё раз спрашиваю: что такое "состояние геометрической фигуры"?

Это как раз состояние существования и вырожденоости. Вы считаете, что соотношение (1) одновременно описывает несуществование треугольника со сторонами $x^{2n}, y^{2n}, z^[2n}$ и существование треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, что невозможно.

Не вижу определения понятия "состояние геометрической фигуры". Также не понимаю, что такое "состояние существования" и "состояние вырожденности" треугольника. Когда говорят о "состоянии" чего-либо, то предполагается, что это "что-либо" может находиться иногда в одном "состоянии", иногда - в другом. Верно ли, что один и тот же треугольник может иногда существовать, иногда не существовать, иногда быть вырожденным, иногда - невырожденным?

Насколько я помню, я задавал ещё несколько вопросов, на которые так и не получил ответов.

Someone писал(а):

Yarkin писал(а):

Не существует треугольника со сторонами $x^n, y^n, z^n$, где $n > 0$ - натуральное, а $x, y, z$ - положительные действительные числа, для которого имеет место одно и только одно соотношение

$$ x^{2n} + y^{2n} = z^{2n}, \eqno (1) $$

Вы не могли бы объяснить, что означают выделенные слова? Я как-то со школьных времён привык, что существует громадное количество всяких соотношений между сторонами и углами треугольника, и совершенно не могу себе вообразить никакого треугольника, для которого из всех этих соотношений выполнялось бы только одно.

Ещё раз повторяю: что означают слова "имеет место одно и только одно соотношение"?

Ваше пояснение по этому поводу

Yarkin писал(а):

Поясняю. Не думаю, что Вы, в математике не встречались с понятием "вырожденное". Соотношения (2) - теорема косинусов (ТК), (1) - вырожденная теорема косинусов (ВТК) - т. е. ТК не работает. Одновременно обе они не существуют.

весьма глупое. Не составляет ни малейшего труда подставить числа в оба соотношения и убедиться, что они оба выполняются. К тому же, случай прямоугольного треугольника ни в каком смысле не вырожденный.

Someone писал(а):

Продемонстрируйте, пожалуйста, три положительных числа $a=x^n$, $b=y^n$, $c=z^n$, для которых выполняется соотношение (1) $x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$, то есть, $a^2+b^2=c^2$, и которые не являются длинами сторон треугольника.

Итак, где числа $a$, $b$, $c$?

P.S. У меня, вообще говоря, впечатление, что модератор напрасно открыл тему. "Коллега" Yarkin продолжает нести ахинею, успешно изображая из себя полного идиота, не понимающего, что у него спрашивают, если вопрос кажется ему неудобным.

[PAV]

Someone писал(а):

P.S. У меня, вообще говоря, впечатление, что модератор напрасно открыл тему. "Коллега" Yarkin продолжает нести ахинею, успешно изображая из себя полного идиота, не понимающего, что у него спрашивают, если вопрос кажется ему неудобным.

Но участники-то обсуждают и демонстрируют чудеса терпения, пытаясь хоть что-то объяснить автору, а также понять ход его мыслей. О закрытии темы можно будет говорить, когда основные участники прекратят обсуждения.

[Алексей К.]

Но может быть, это была просьба о помощи? В смысле --- "Умоляю, помогите мне прекратить обсуждение!"

[STilda]

Господа, посмотрите на первую картинку вот от сюда http://gpages.narod.ru/Univer/Psihol.htm. Одни и те же входные данные, но меняя точку отсчета видим абсолютно разное. Появляется спор, типа вашего. Но. Перетягивать кого-то с его точки отсчета на свою точку отсчета, доказывая что своя есть единственно правильная... как видим это неадекватно. А так же, пытаться понять другую точку отсчета не отходя от своей (тоесть вписать чужое понимание в свое) тоже к результату не приведет. Вы делаете если не первое то второе. Безполезно.

[Brukvalub]

Так можно оправдать любой бред, даже тот образцово-показательный бред, который несет Yarkin. Вообще, эта тема давно напоминает мне продолжение Гоголевских "Записок сумасшедшего". И никакие картинки лучше ее сделать не смогут. Да Вы сами почитайте: http://az.lib.ru/g/gogolx_n_w/text_0130.shtml, я буду рад, если Вы сможете найти 10 отличий.

[STilda]

Так можно понять любой бред. Вопрос лени и необходимости. Бреда вообще не существует.

[Алексей К.]

Чушь.

[Brukvalub]

STilda писал(а):

Так можно понять любой бред. Вопрос лени и необходимости. Бреда вообще не существует.

Yarkin номер 2.

[Azog]

Бред существует как медицинский термин. То что несет мсье Yarkin - антинаучная ересь. В свое время за аналогичные штучки на кострах сжигали..

[Алексей К.]

Azog писал(а):

антинаучная ересь.

Больно высокопарно. Чушь, ерунда --- подходит. Необразованность, может быть, как сопутствующий признак. Но теперь уже, видимо, --- до первого [проснувшегося] модератора!

[bot]

Azog писал(а):

В свое время за аналогичные штучки на кострах сжигали..

Вы его ещё с Джордано Бруно сравните.

Azog писал(а):

То что несет мсье Yarkin - антинаучная ересь.

Пройдёт время и то, что несёт Yarkin, овладеет массами.
Впрочем смех тут неуместен - всё к этому идёт.