Очень надеюсь, что мы с Вами найдем в конце концов достаточный уровень взаимопонимания для совместной работы. Пока что добавлю дополнительно, что в моей концепции рациональные музыкальные интервалы представляются рациональными лучами на плоской квадратной целочисленной решетке точек, поэтому кажется более естественным говорить о 4-арном отношении гармонической сопряженности на лучах, а не на точках. Как, например, здесь для "звукоряда Орфея":
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/4.htmlНайдём с большой вероятностью, а
ска́ла Орфея, по сути, вот:
А вот скала Орфея в нотах у Римана (со связыванием с ее нотами тоники, субдоминанты и доминанты):
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/2/1/6/1.htmlОтметим также, что значительное внимание способам деления октавы на квинту и кварту (как некоей основе своих дальнейших построений) уделял и более близкий нам по времени Царлино:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/9.html-- Вс дек 20, 2015 23:44:35 --Мы видим, что Риман усматривал зачатки доминанты и субдоминанты уже в Тетраде ("звукоряде Орфея").
....
Меня привлёк такой материал:
минорное трезвучие является антитезой мажорного, т. е. гармонические призвуки берутся вниз, вместо того, чтобы быть взятыми вверх. Неудобство этой системы в том, что теряется понятие основного тона.
В поисках удобства надо помнить: важнейшими голосами в музыке считаются оба крайних, а не только нижний. С учётом того, что расположенная обычно вверху мелодия принимается за причину для сочинения подходящей гармонии, последняя скорее верхний голос должна поддержать, чем охранять удобства для основного тона внизу.
Ещё на этой привлекательной странице указано, что Рамо был отцом тональной функции
доминанта и унарной операции обращения доминанты в
субдоминанту.
Рамо определенно исходит из следующего: «Из призвуков основного тона можно слышать только октаву, квинту и терцию. Можно исходить только из этого. Сначала нельзя представить себе другой возможной последовательности. Однако звук, который последует за основным звуком звучащего тела, должен быть в свою очередь основным, так как отделить его от первого звука можно только посредством нового звуча¬щего тела, которое целиком отвечало бы его высоте» (Génération, стр. 40).
Но каждый из основных тонов имеет свою особую гармонию; следовательно, сколько новых основных тонов, столько же новых гармоний. Отсюда — гармоническая последовательность; она про-извольна в том смысле, что каждый из гармонических призвуков, представляющий основной тон, может быть заменен другим. Отсюда — основные последовательности (кратные или делители).
1 — 1/2 1 — 2. Октава вниз и вверх.
1 — 1/3 1 — 3. Дуодецима вниз и вверх.
1 — 1/5 1 — 5. Б. терция через две октавы вниз и вверх.
«Однако из этих последовательностей я, прежде всего, выберу квинту, которая одна дает самый совершенный порядок, как это будет видно; а так как основной звук заставляет звучать две квинты одновременно, одну наверху, другую. внизу (я дал им повсюду название доминанты и субдоминанты) <...>»
У сонантометрии, т. е. алгебры тональных функций, тогда Рамо получается первооткрывателем. Мне помогла попасть в сонантометрию именно доминанта, поскольку доминанта доминанты оказывается удвоенным ощущением увеличения соответствющего стимула, значение которого (число 3) надо возводить в квадрат.
[/quote]
-- Вс дек 20, 2015 23:54:27 --Ну, а для меня Тетрада -- это, прежде всего (в своей основе) некий группоид Брандта. Ведь именно для нее я первоначально нарисовал соответствующую "таблицу Кэли", которая уже обсуждалась:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/10/1.htmlвзяв за основу Рис. 1 у Щетникова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/6.html
, а потом и для предельной системы (системы положительных рациональных чисел). Я частично уже начал выполнять эту программу для конечных поддеревьев Дерева Штерна-Броко:
![$\left\{
\begin{matrix}
4/1& & & \\
3/1& & & \\
2/1&4/2& & \\
&3/2& & \\
& &4/3& \\
1/1&2/2&3/3&4/4\\
& & &3/4\\
& &2/3& \\
&1/2& &2/4\\
& &1/3& \\
& & &1/4
\end{matrix}
\right\}\to\left\{
\begin{matrix}
\mathrm{:2T}[2^2/1]_\varnothing& & & \\
\mathrm{:D}[3/1]_\varnothing & & & \\
\mathrm{:T}[2/1]_\varnothing &\mathrm{:2T}[2^2/2]\mathrm{t}& & \\
&\mathrm{:D}[3/2]\mathrm{t} & & \\
& &\mathrm{:2T}[2^2/3]\mathrm{d}& \\
:\varnothing[1/1]_\varnothing &\mathrm{:T}[2/2]\mathrm{t} &\mathrm{:D}[3/3]\mathrm{d} &\mathrm{:2T}[2^2/2^2]\mathrm{2t}\\
& & &\mathrm{:D}[3/2^2]\mathrm{2t}\\
& &\mathrm{:T}[2/3]\mathrm{d} & \\
&:\varnothing[1/2]\mathrm{t} & &\mathrm{:T}[2/2^2]\mathrm{2t}\\
& &:\varnothing[1/3]\mathrm{d} & \\
& & &:\varnothing[1/2^2]\mathrm{2t}
\end{matrix}
\right\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/5/945711b5685d40b7e772dbc95885489282.png "$\left\{
\begin{matrix}
4/1& & & \\
3/1& & & \\
2/1&4/2& & \\
&3/2& & \\
& &4/3& \\
1/1&2/2&3/3&4/4\\
& & &3/4\\
& &2/3& \\
&1/2& &2/4\\
& &1/3& \\
& & &1/4
\end{matrix}
\right\}\to\left\{
\begin{matrix}
\mathrm{:2T}[2^2/1]_\varnothing& & & \\
\mathrm{:D}[3/1]_\varnothing & & & \\
\mathrm{:T}[2/1]_\varnothing &\mathrm{:2T}[2^2/2]\mathrm{t}& & \\
&\mathrm{:D}[3/2]\mathrm{t} & & \\
& &\mathrm{:2T}[2^2/3]\mathrm{d}& \\
:\varnothing[1/1]_\varnothing &\mathrm{:T}[2/2]\mathrm{t} &\mathrm{:D}[3/3]\mathrm{d} &\mathrm{:2T}[2^2/2^2]\mathrm{2t}\\
& & &\mathrm{:D}[3/2^2]\mathrm{2t}\\
& &\mathrm{:T}[2/3]\mathrm{d} & \\
&:\varnothing[1/2]\mathrm{t} & &\mathrm{:T}[2/2^2]\mathrm{2t}\\
& &:\varnothing[1/3]\mathrm{d} & \\
& & &:\varnothing[1/2^2]\mathrm{2t}
\end{matrix}
\right\}$")
:
:
. Пустые клетки таблицы отвечают упорядоченным парам элементов группоида, на которых группоидная операция не определена.
получилась 
нижайших высот вертикалей: