Так о чем арифметика?

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #238696 писал(а):

Давайте ограничимся сначала рассмотрением арифметики “рациональных чисел”. Тут-то Вы согласитесь со мной, что не было никаких оснований для того, чтобы числа сожрали отношения?

А вот отношения вполне могут (и должны!) поглотить числа. Нужно только расширить оперирование над ними. Сначала оно было слишком бедным:

Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):

Например, та единственная операция, которая выполнялась над отношениями – операция “составления” отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2
заставляет нас признать ядром “арифметики отношений” структуру, известную ныне как “группоид Брандта”.

Значит, нужно расширить оперирование. Только сделать это хотелось бы по умному, а не так криво, как обычно делается. Обычно к операции умножения отношений добавляют операцию их сложения, наделяя множество отношений структурой “системы с двойной композицией” (как пишет о кольцах Б. Л. ван дер Варден):
Алгебра. М.: Наука, 1979, с. 49:
http://www.px-pict.com/9/5/4/1.html

Цитата:

Под системой с двойной композицией подразумевается произвольное множество элементов, в котором для любых двух элементов $a, b$ однозначно определены сумма $a + b$ и произведение $a \cdot b$, вновь принадлежащие этому множеству.

Т. е. обычно воссоздают в мире отношений “числовую структуру”. Но если все-таки предположить, что мир отношений живет во многом по собственным законам и числовые системы ему не указ, то поступать таким образом не обязательно.

Мы могли бы обратить внимание на то, что “аликвотные антикольца” вкладывается в поле отношений ничуть не хуже (и не лучше) целостных колец. Тогда почему же о целостных кольцах мы говорим (и изучаем), а об аликвотных антикольцах молчим? Это несправедливо.

(Под “аликвотным антикольцом” будем понимать систему, абстрагированную от “нестандартной модели” для арифметики Пресбургера:

Свободный Художник в сообщении #232226 писал(а):

Строим модель для арифметики Пресбургера следующим образом.
В качестве элементов множества-носителя модели берем аликвотные дроби (т. е. дроби вида $1/n$, где $n$ – некоторое натуральное число).
В качестве операции сложения берем операцию $\circ$:

Свободный Художник в сообщении #144753 писал(а):

Например, если определить систему: $\mathbf{Q^+} =\: <\! \mathrm{Q^+}, \bullet\,, \circ\,, \overline{\phantom{a}} >$,
где $\mathrm{Q^+}$ есть множество положительных рациональных чисел;
$\bullet$ есть бинарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $x \bullet y = x + y$;
$\circ$ есть бинарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $x \circ y = \dfrac{xy}{x + y}$;
$\overline{\phantom{a}}$ есть унарная операция на множестве $\mathrm{Q^+}$, определяемая как $\overline{x} = \dfrac1{x}$;
то в системе $\mathbf{Q^+}$ будут справедливы многие законы, имеющие место быть в булевой алгебре, например, законы де Моргана: $\overline{x \bullet y} = \overline{x} \circ \overline{y}$ и $\overline{x \circ y} = \overline{x} \bullet \overline{y}$.

Операция $V(x) = x \circ 1$ “пашет” на аликвотных дробях точно так же, как и обычная операция $S(x) = x + 1$ “следующий за” на натуральных числах.
В качестве нуля берем бесконечность:

дополнив ее обычной операцией умножения аликвотных дробей, которая будет, очевидно дистрибутивна относительно операции $\circ$ точно так же, как она дистрибутивна относительно операции обычного сложения.)

Вложение аликвотного антикольца в поле отношений может быть проведено абсолютно по той же самой схеме, что и вложение целостного кольца. Рассмотрим, например, методологию вложение целостного кольца в поле отношений в изложении А. И. Кострикина:
Введение в алгебру.
М.: Наука, 1977, сc. 233 — 236.
http://www.px-pict.com/9/5/4/3/1.html

Чтобы одновременно с описанным там вложением в поле кольца $A$ вложить в поле и антикольцо $B$, мы расширяем множество пар $A \times A^* \: (A^* = A \setminus \{0\})$ всех пар $(a, b)$ элементов $a, b \in A$ с $b \ne 0$ до множества вообще всех пар $A \times A$ (без каких-либо ограничений) и определяем на этом множестве пар операцию $\circ$ (наряду с введенной ранее операцией сложения) следующим образом:
$(a, b) \circ (c, d) = (ac, ad + bc)$.

Эта операция на парах тоже устойчива относительно конгруэнции $\sim$ (как и введенные ранее операции умножения и сложения пар), поэтому переносится с пар на классы эквиваленитных пар, т. е. на “отношения”.

И полученную систему лучше, конечно же, назвать “системой рациональных отношений” а не “системой рациональных чисел”, в чем и могло бы заключаться некое восстановление исторической справедливости …
Причем мы видим, что это не система “с двойной композицией”, а система “с тройной композицией”, в которой сложение развелось с умножением (ибо не пара оно ему) и сошлось с ко-сложением $\circ$, заключив действительно гармоничный “брачный союз”.

Таким образом – об отношениях арифметика, об отношениях. Не о числах.
Во всяком случае – та арифметика, которая обычно называется “арифметикой рациональных чисел”.

А “догмат натурального ряда” – он и действительно должен быть разрушен.
http://arbuz.uzpak.uz/t_rashevskiy.html

[Yarkin]

ewert в [url=http://dxdy.ru/post238407.html#p238407]сообщении #238407[/url quote] писал(а):

Ньютон совершенно однозначно вводит число как некий универсальный объект, и уже потом вводит на множестве этих объектов некую классификацию, подразделяя их на целые, рациональные и, между прочим, иррациональные.

Объект материальный или абстрактный? Процитированная фраза противоречит ее окончанию:

ewert в [url=http://dxdy.ru/post238407.html#p238407]сообщении #238407[/url quote] писал(а):

Вообще для Ньютона число -- это то, что можно сосчитать сколь угодно точно, и не очень принципиально, какими средствами, лишь бы непротиворечиво.

Или нет увязки

[ewert]

Yarkin в сообщении #239086 писал(а):

Процитированная фраза противоречит ее окончанию

Не противоречит. Ньютон предощущал аксиоматическое определение числа, но явно его не вводил. Ему было достаточно хорошо известных свойств этих чисел (тех, что лет через двести стали аксиомами), с ними он и работал.

[Yarkin]

ewert в сообщении #239093 писал(а):

Не противоречит. Ньютон предощущал аксиоматическое определение числа, но явно его не вводил.

Объект остается в стороне.

[Свободный Художник]

Изложенные выше соображения о “числовых” арифметических системах и арифметических системах “отношенческих” (или “реляционных”):

Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):

Хотя, почему, собственно, мы говорим о “системе положительных рациональных чисел”?
Ведь изначально так не было. Не было таких объектов, как “рациональные числа”. Изначально строго различались “числа” и “отношения”. Это были сущности двух разных типов (или сортов). И эта “парадигма” была очень авторитетна:

В свете вышеизложенного можно выразить мысль, что “полноценная” арифметика – это наука, скорее, об отношениях, чем о числах. А “предварительная” арифметика (арифметика “чисел”) становится полноценной только после погружения в поле своих отношений …

могут быть уточнены следующим образом. С позиций инь-ян философии:
http://www.px-pict.com/10/4/2/1/3.html
http://pogonn.h11.ru/Download/n4/Velikoe_protivostoanie.htm
http://psi.lib.ru/filosof/iyrd.htm
http://www.passion.ru/hor/fengshui/in.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%BD%D1%8C

Имеются:

Арифметическая числовая инь-система (односторонняя, несбалансированная):

$\mathbf{N_{\bullet}} =\: <\! \mathrm{N_{\bullet}}\,, \bullet \,, \blacktriangleright \,, \cdot\,, 0\,, 1 >$,

где $\mathrm{N_{\bullet}} = \{0, 1, 2, 3, … \}$ – множество натуральных чисел, дополненное нулем (элементы этого множества будем называть “инь-числами”);
$\bullet$ – обычная операция сложения на множестве $\mathrm{N_{\bullet}}$, которую будем называть “операцией инь-сложения”;
$\blacktriangleright $– обычная (частичная) операция вычитания на множестве $\mathrm{N_{\bullet}}$ (когда можно вычитать только из большего меньшее или равное), которую будем называть “операцией инь-вычитания”;
$\cdot$ – обычная операция умножения на множестве $\mathrm{N_{\bullet}}$, которую будем называть “операцией инь-умножения”;
индивидные константы $0, 1$ обозначают элементы $0, 1$ множества $\mathrm{N_{\bullet}}$.
-----------------

Арифметическая числовая ян-система (односторонняя, несбалансированная):

$\mathbf{N_{\circ}} =\: <\! \mathrm{N_{\circ}}\,, \circ \,, \vartriangleright \,, \cdot\,, \infty \,, 1 >$,

где $\mathrm{N_{\circ}} = \{… \dfrac1{3}, \dfrac1{2}, \dfrac1{1}, \dfrac1{0} \}$ – множество аликвотных дробей, дополненное дробью $\dfrac1{0}$ (элементы этого множества будем называть “ян-числами”);
$\circ$ –бинарная операция на множестве $\mathrm{N_{\circ}}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$, то $x \circ y = \dfrac{ac}{ad + bc}$. Будем называть эту операцию “операцией ян-сложения”.
$\vartriangleright$ – (частичная) бинарная операция на множестве $\mathrm{N_{\circ}}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$ и если $\dfrac{a}{b} \le \dfrac{c}{d}$, то $x \vartriangleright y = \dfrac{ac}{bc - ad}$. Будем называть эту операцию “операцией ян-вычитания” (согласно определению, производить ян-вычитание можно только из меньшего большее или равное).
$\cdot$ – бинарная операция на множестве $\mathrm{N_{\circ}}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$, то $x \cdot y = \dfrac{ac}{bd}$. Будем называть эту операцию “операцией ян-умножения”.
Индивидные константы $\infty$, $1$ обозначают элементы $\dfrac1{0}\,, \dfrac1{1}$ множества $\mathrm{N_{\circ}}$.
-----------------

Арифметическая реляционная инь-ян-система (сбалансированная, гармоничная, уравновешенная):

$\mathbf{R} =\: <\! \mathrm{R}\,, \bullet \,, \circ \,, \blacktriangleright \,, \vartriangleright \,, \cdot\,, 0\,, 1\,, \infty >$,

где $\mathrm{R}$ есть множество всех несократимых обыкновенных дробей вида $\dfrac{a}{b}$ ($a, b$ – натуральные числа), пополненное дробями вида $\dfrac{0}{1}$ и $\dfrac{1}{0}$.
$\bullet $ – бинарная операция на множестве $\mathrm{R}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$, то $x \bullet y = \left(\dfrac{ ad + bc }{bd}\right)^*$. Будем называть эту операцию “операцией инь-сложения” (здесь и далее символ $*$ обозначает унарную операцию приведения дроби к несократимому виду).
$\circ$ – бинарная операция на множестве $\mathrm{R}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$, то $x \circ y = \left(\dfrac{ ab }{ ad + bc }\right)^*$. Будем называть эту операцию “операцией ян-сложения”.
$\blacktriangleright$ – (частичная) бинарная операция на множестве $\mathrm{R}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$ и если $\dfrac{a}{b} \ge \dfrac{c}{d}$, то $x \blacktriangleright y = \left(\dfrac{ad - bc}{bd}\right)^*$. Будем называть эту операцию “операцией инь-вычитания” (согласно определению, производить инь-вычитание можно только из большего меньшее или равное).
$\vartriangleright$ – (частичная) бинарная операция на множестве $\mathrm{R}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$ и если $\dfrac{a}{b} \le \dfrac{c}{d}$, то $x \vartriangleright y = \left(\dfrac{ac}{bc - ad}\right)^*$. Будем называть эту операцию “операцией ян-вычитания” (согласно определению, производить ян-вычитание можно только из меньшего большее или равное).
$\cdot$ – бинарная операция на множестве $\mathrm{R}$, определяемая следующим образом:
если $x = \dfrac{a}{b}$ и $y = \dfrac{c}{d}$, то $x \cdot y = \left(\dfrac{ac}{bd}\right)^*$. Будем называть эту операцию “операцией инь-ян-умножения”.
Индивидная константа $0$ обозначает дробь $\dfrac{0}{1}$;
индивидная константа $1$ обозначает дробь $\dfrac{1}{1}$;
Индивидная константа $\infty$ обозначает дробь $\dfrac{1}{0}$.
--------------------

В арифметическую реляционную систему $\mathbf{R}$ весьма экономным образом “вложены” как арифметическая числовая инь-система $\mathbf{N_{\bullet}}$, так и арифметическая числовая ян-система $\mathbf{N_{\circ}}$, обретающие внутри нее свое гармоничное сосуществование…

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #238949 писал(а):

А вот отношения вполне могут (и должны!) поглотить числа. Нужно только расширить оперирование над ними. Сначала оно было слишком бедным:

Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):

Например, та единственная операция, которая выполнялась над отношениями – операция “составления” отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2
заставляет нас признать ядром “арифметики отношений” структуру, известную ныне как “группоид Брандта”.

Значит, нужно расширить оперирование.

В связи с указанной идеей разыскиваются следующие культовые работы:
B. Jonsson, A. Tarski, "Boolean algebras with operators, I" Amer. J. Math. , 73 (1951) pp. 891–939.
B. Jonsson, A. Tarski, "Boolean algebras with operators, II" Amer. J. Math. , 74 (1952) pp. 127–162.

Когда-то они у меня имелись, но потом были утрачены. Буду признателен, если кто-либо поможет мне их вновь обрести. В этих работах, среди прочего, подробно рассматривается теория relation algebras и теория их представлений с использованием Brandt groupoids. В частности, приводится, как мне помнится, удобная аксиоматика для группоидов Брандта, которую хотелось бы несколько поапгрэйдить.

Собственно по relation algebras имеется отличная презентация:
http://ali.cmi.ac.in/icla2009/slides/jan07/alogic/0900.pdf

См. также:
http://en.wikipedia.org/wiki/Relation_algebra

V. Pratt - 1992
Origins of the Calculus of Binary Relations
http://boole.stanford.edu/pub/ocbr.pdf

Вот только “истоки” исчисления бинарных отношений находятся, наверное, все же не в работах Де Моргана, Пирса и Шредера, а в VII книге “Начал”:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

Слово же “композиция” в “операции композиции” бинарных отношений -- то вообще из теории музыки, по-видимому…

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #239930 писал(а):

Имеются:

Арифметическая числовая инь-система (односторонняя, несбалансированная):
$\mathbf{N_{\bullet}} =\: <\! \mathrm{N_{\bullet}}\,, \bullet \,, \blacktriangleright \,, \cdot\,, 0\,, 1 >$,

Арифметическая числовая ян-система (односторонняя, несбалансированная):
$\mathbf{N_{\circ}} =\: <\! \mathrm{N_{\circ}}\,, \circ \,, \vartriangleright \,, \cdot\,, \infty \,, 1 >$,

Арифметическая реляционная инь-ян-система (сбалансированная, гармоничная, уравновешенная):
$\mathbf{R} =\: <\! \mathrm{R}\,, \bullet \,, \circ \,, \blacktriangleright \,, \vartriangleright \,, \cdot\,, 0\,, 1\,, \infty >$.

Делаем естественный следующий шаг и окончательно “разводим” числа и отношения, переименовывая улицы и площади (т. е. операции) арифметической реляционной инь-ян-системы в соответствии с достигнутым новым пониманием смысла и роли отношений в арифметике.

Бывш. операцию $\cdot$ “умножения” отношений переименовываем в операцию “композиции” отношений.
Далее, ведомые уже “электротехнической интуицией” (см. http://dxdy.ru/topic24953.html) переименовываем операцию $\bullet$ “инь-сложения” отношений в операцию “инь-соединения” отношений (представляя себе в уме операцию последовательного соединения двухполюсников);
а операцию $\circ$ “ян-сложения” отношений переименовываем в операцию “ян-соединения” отношений (представляя себе в уме операцию параллельного соединения двухполюсников).

Операции “вычитания” арифметической реляционной инь-ян-системы переименовываем в соответствующие операции “отсоединения”. На этом процедуру развода чисел и отношений в арифметике будем считать в целом завершенной.

[Свободный Художник]

ewert в сообщении #238407 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):

Почему бы было не оставить все как есть, т. е. числа называть числами, а отношения – отношениями (не смешивая их)?

Потому, что Вы недоцитировали Ньютона:

Цитата:

Число бывает трёх видов: целое, дробное и глухое. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное -- кратной долей единицы; глухое число несоизмеримо с единицей.

Ньютон совершенно однозначно вводит число как некий универсальный объект, и уже потом вводит на множестве этих объектов некую классификацию, подразделяя их на целые, рациональные и, между прочим, иррациональные. Почему? А просто практика требовала. При геометрических построениях в соответствующих аналитических выкладках систематически возникают "отношения" любого типа, причём совершенно равноправно, т.е. окажутся ли они целыми, рациональными или иррациональными -- дело случая и никакого принципиального значения не имеет. А вот работать с ними (производить арифметические операции) надо. Поэтому объединение "чисел" разных типов в один класс -- мера вынужденная. Вообще для Ньютона число -- это то, что можно сосчитать сколь угодно точно, и не очень принципиально, какими средствами, лишь бы непротиворечиво.

А ведь был и задолго до Ньютона континуум. Начиная с 350 г. до н. э. существовал. И состоял он именно из отношений, а не из чисел:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича. Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970, сc. 96 — 101.
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1.html

Так зачем все же И. Ньютону нашему потребовалось производить концептуальную ломку уже существующей системы?

Цитата:

Хотя теория отношений Евдокса была безупречно строга и ею, по существу, пользовались до конца прошлого века, объявив вслед за Ньютоном отношения числами, однако вся глубина построения Евдокса была понята только после работ Р. Дедекинда, который во второй половине XIX в. ввел действительные числа как сечения в области рациональных чисел. Между теориями Евдокса и Дедекинда существует столь глубокая аналогия, что Р. Липшиц спрашивал Дедекинда в одном из писем, что же он сделал нового по сравнению с древними.

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1/2.html

Цитата:

Какую же функцию выполняли отношения в античной математике? Можно ли сказать, что они служили эквивалентом нашему понятию действительного числа?
… Н. Бурбаки приходит к выводу, что греческие математики, имея сложение величин и умножение отношений величин, обладали, по существу, эквивалентом понятия поля, но только в менее удобной форме, чем мы.

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1/5.html

И где это Бурбаки такое писал? Может, кто знает?

[Yarkin]

Свободный Художник в сообщении #246756 писал(а):

И где это Бурбаки такое писал? Может, кто знает?

Зачем? Вывод зачастую приспосабливается к своим результатам. А факты остаются. У греческих математиков, в отличие от нас, было общее определение числа, без поля.

[ewert]

Свободный Художник в сообщении #246756 писал(а):

А ведь был и задолго до Ньютона континуум. Начиная с 350 г. до н. э. существовал. И состоял он именно из отношений, а не из чисел:

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1.html

А не было там никакого континуума. Т.к. не было аксиомы полноты, и быть в принципе не могло. У Ньютона, кстати, тоже, но у него было чёткое различение рациональных и иррациональных чисел.

Свободный Художник в сообщении #246756 писал(а):

Цитата:

Какую же функцию выполняли отношения в античной математике? Можно ли сказать, что они служили эквивалентом нашему понятию действительного числа?
… Н. Бурбаки приходит к выводу, что греческие математики, имея сложение величин и умножение отношений величин, обладали, по существу, эквивалентом понятия поля, но только в менее удобной форме, чем мы.

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1/5.html

Нельзя, разумеется. Никаких эквивалентов действительного числа у них не было. А некий интуитивный эквивалент понятия поля -- и впрямь был. Только от него до действительного числа -- дистанция огромного размера, и сильно сомнительно, чтоб Бурбаки эти два понятия спутали. Кстати, из процитированного текста это вовсе и не следует.

[Свободный Художник]

ewert в сообщении #246937 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #246756 писал(а):

А ведь был и задолго до Ньютона континуум. Начиная с 350 г. до н. э. существовал. И состоял он именно из отношений, а не из чисел:

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1.html

А не было там никакого континуума. Т.к. не было аксиомы полноты, и быть в принципе не могло. У Ньютона, кстати, тоже, но у него было чёткое различение рациональных и иррациональных чисел.

А у античных математиков было очень четкое различение рациональных и иррациональных отношений. Именно это я хотел сказать в первую очередь.

Цитата:

Мы в настоящее время говорим, что длина диагонали выражается "иррациональным числом" $\sqrt 2$, и чувствуем свое превосходство над бедными греками, которые "не знали, что такое иррациональные числа".

Однако греки знали очень хорошо иррациональные отношения. Как мы увидим далее, они имели очень ясное представление об отношении диагонали к стороне квадрата и были в состоянии совершенно безукоризненно доказать, что это отношение не может быть выражено в целых числах.

И если они не рассматривали $\sqrt 2$ как число, то это было результатом не их неведения, но только того, что они строго держались своего определения числа . "Arithmos" обозначает количество, а следовательно, и целое число. Логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей , и они заменяли их отношением целых чисел.

Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 174 — 175.

ewert в сообщении #246937 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #246756 писал(а):

Цитата:

Какую же функцию выполняли отношения в античной математике? Можно ли сказать, что они служили эквивалентом нашему понятию действительного числа?
… Н. Бурбаки приходит к выводу, что греческие математики, имея сложение величин и умножение отношений величин, обладали, по существу, эквивалентом понятия поля, но только в менее удобной форме, чем мы.

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/2/1/5.html

Нельзя, разумеется. Никаких эквивалентов действительного числа у них не было. А некий интуитивный эквивалент понятия поля -- и впрямь был. Только от него до действительного числа -- дистанция огромного размера, и сильно сомнительно, чтоб Бурбаки эти два понятия спутали. Кстати, из процитированного текста это вовсе и не следует.

Это не мое мнение, а мнение авторов книги:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича. Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970,
рассматриваемой обыкновенно как достаточно авторитетный источник. Однако прямой ссылки на приведенные там суждения Бурбаки они не дают. В этой связи я и спрашивал, что, может быть, кто-нибудь знает, где Бурбаки писал нечто подобное.

Мое мнение заключается в том, что континуум может быть и абсолютно строго построен на базе отношений, а не чисел, как изначально и замышлялось.

[Свободный Художник]

Каково все же соотношение между числами и отношениями в арифметике?
Проведем несложный инь-ян анализ на базе определенной выше арифметической системы $\mathbf{R}$ рациональных отношений:

Свободный Художник в сообщении #239930 писал(а):

Арифметическая реляционная инь-ян-система (сбалансированная, гармоничная, уравновешенная):

$\mathbf{R} =\: <\! \mathrm{R}\,, \bullet \,, \circ \,, \blacktriangleright \,, \vartriangleright \,, \cdot\,, 0\,, 1\,, \infty >$,

“Числа” в $\mathbf{R}$ вложены, но имеются также отношения, не являющиеся числами.
Рациональные отношения, отличные от $0$ и $\infty$, будем называть “невырожденными”.
Рассмотрим всевозможные рациональные отношения, построенные за $n$ шагов из элемента $1$ при помощи унарных функций $1 \bullet x$ и $1 \circ x$. Все они будут невырожденными. Множество всех таких отношений назовем “полосой перемен глубины $n$”.

Например, при $n = 3$ “полоса перемен” состоит из следующих восьми отношений:
$1/4 = 1 \circ (1 \circ (1 \circ 1));$
$2/5 = 1 \circ (1 \circ (1 \bullet 1));$
$3/5 = 1 \circ (1 \bullet (1 \circ 1));$
$3/4 = 1 \circ (1 \bullet (1 \bullet 1));$
$4/3 = 1 \bullet (1 \circ (1 \circ 1));$
$5/3 = 1 \bullet (1 \circ (1 \bullet 1));$
$5/2 = 1 \bullet (1 \bullet (1 \circ 1));$
$4/1 = 1 \bullet (1 \bullet (1 \bullet 1)).$

Назовем формулы, стоящие в правых частях приведенных выше равенств “стандартными представляющими термами” для рациональных отношений, стоящих в левых частях соответствующих равенств.

Инь-ян структурой данного (невырожденного) рационального отношения будем называть распределение черных и белых кружков в его стандартном представляющем терме: черный кружок – инь, белый кружок – ян (естественным образом обобщая понятие “триграмм” и “гексаграмм”:
http://www.px-pict.com/10/4/2/1/3.html#3).

Концепция “полосы перемен” (той или иной глубины) внутри арифметической системы $\mathbf{R}$ может рассматриваться как обобщение принципа "Си цы чжуани":

Цитата:

"Цянь (Небо) и Кунь (Земля) формируют ряд, и перемены устанавливаются внутри него".

http://www.px-pict.com/10/4/2/2.html#7

Только у нас ряд формируют не Небо и Земля, а некоторое ян-число и некоторое инь-число, стоящие по краям полосы (в случае полосы перемен глубины $3$ это будут ян-число $1/4$ и инь число $4/1$). Таким образом, числа в мире отношений представляют собой некие “крайности” (раз они с краю); в их представляющих термах либо совсем нету иня, либо совсем нету яна…

Крайности же, как известно, желательно избегать. Тем не менее,

Цитата:

лишь немногие, когда возникают страсти, "могут предпочесть умеренное (metroy) многому" и "держать себя в надлежащих пределах", но у "большинства людей желания неумеренны (ammetros), и хотя возможно извлекать умеренную прибыль, они предпочитают ненасытную прибыль.

Платон, "Законы", XI 915 D.

Почему Ходорковский этого не знал?

Таким образом, произошедший в арифметике крен именно в сторону чисел (в ущерб отношениям) может быть, по крайней мере, отчасти, объяснен тем, что ее использовали в своих интересах люди по большей части неумеренные (ammetros). Они то и прогнули ее под себя.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #249007 писал(а):

Таким образом, числа в мире отношений представляют собой некие “крайности” (раз они с краю); в их представляющих термах либо совсем нету иня, либо совсем нету яна…

Естественно, возникает вопрос: а какие отношения в данной “полосе перемен” устроены наиболее гармонично? Ответ напрашивается сам собой: это -- те отношения, в которых иня и яна примерно поровну и в которых инь и ян “справедливо” распределены по длине представляющего отношение терма (т. е. чередуются).

Это условие немедленно приводит нас к “позолоченным” отношениям, являющихся отношением двух соседних чисел Фибоначчи. Например, в рассмотренной выше “полосе перемен” глубины $3$ это будут отношения:
$3/5 = 1 \circ (1 \bullet (1 \circ 1));$
$5/3 = 1 \bullet (1 \circ (1 \bullet 1)).$

Аналогично и в “полосе перемен” любой другой глубины.
Подлинно “золотыми” эти отношения, конечно, не будут, но с увеличением глубины будут золотеть все больше и больше, стремясь в пределе уже к “действительно золотым” отношениям:
$\alpha = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\,, \;\; \beta = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2},$
которые в континууме, основанном на отношениях, а не на числах (я думаю, мы его все же построим) смогут быть определены как корни двух двойственных друг по отношению к другу уравнений:
$x = 1 \circ \overline{x}\,, \;\; y = 1 \bullet \overline{y}\,.$
(здесь $\overline{\phantom{a}}$ обозначает операцию обращения отношений).

Таким образом, инь – ян парадигма исходя из своих основополагающих установок способна легко объяснить многовековую тайну “золотого сечения”!
Просто для того, чтобы некоторая вещь была совершенной (в данном случае речь идет об отношениях), нужно следить за балансом в ней яна и иня:

Цитата:

Как видно из таблицы, инь и ян -— это две взаимодополняющие противоположности, причем каждая имеет свои атрибуты и поля энергии. Инь и ян не могут существовать друг без друга. Это взаимодействие противоположностей — традиционный символ вселенной.

Там, где инь и ян находятся в равновесии, существует дао. По фэн-шуй, эти два начала должны находиться в совершенной гармонии... Если где-то равновесие инь и ян сильно нарушено, это место считается неблагоприятным либо вообще непригодным для жилья человека. Например, жаркие бесплодные пустыни — чистый ян, а холодные антарктические ледники — чистый инь, и там не может жить человек.

Изучая обстановку своего дома, обратите внимание на любые несоответствия между инь и ян. Если они есть, прежде всего нужно определить, насколько сильно нарушено это равновесие, а потом выяснить, что можно сделать, чтобы улучшить ситуацию.

http://www.passion.ru/hor/fengshui/in.htm

Поэтому неким гипотетическим математикам будущего можно порекомендовать заменить числа (во всех контекстах, где они раньше использовались) соответствующими “позолоченными” отношениями, обеспечивающими максимально возможную гармонию в “полосе перемен” любой глубины.
Теоретически это возможно, поскольку числа и “позолоченные” отношения находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии. Например, в “полосе перемен” глубины $3$ заменяем ян-число $1/4$ “позолоченным” отношением $3/5$, а инь-число $4/1$ -- “позолоченным” отношением $5/3$.
Аналогично для “полосы перемен” любой глубины $n$.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #225763 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #225754 писал(а):

epros в сообщении #225720 писал(а):

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но ведь в теоретической арифметике числовые системы как раз-то и рассматриваются именно как абстрактные системы объектов.

Так я и говорю, что если говорить об абстрактных объектах, то рассуждать об их "природе" бессмысленно, ибо Вы эту самую "природу" исключили, когда абстрагировались от реальных применений этих абстрактных понятий.

Если предположить, что теоретическая арифметика создавалась для обслуживания проблем теории музыки, то вместо определения: "арифметика есть наука о числах" можно предложить определение: "арифметика есть наука о струнах".

Свободный Художник в сообщении #994753 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #992210 писал(а):

А что такое длина струны? Что такое отношение длин струн?
Имеют ли эти термины какое-либо значение в музыкальной теории?
Давайте обратимся к классикам. Почему Риман формулирует систему ЧИП3 в терминах отношений длин струн?

commator в сообщении #992308 писал(а):

Отношения длин струн позволяют не обращать внимания на такие мелочи, как абсолютные частоты вибраций этих струн, если диаметры и натяжения струн подбираются надлежащим образом.

Все правильно. Мы можем интерпретировать натуральные числа как очень сильные абстракции от реальных струн, оставляющие от реальных струн только лишь их длину. Тогда музыкальным интервалам будут соответствовать отношения натуральных чисел (как, собственно говоря и было исторически в музыкальной теории).