Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вы же говорили о законе для высоты тона и частоты, а не для громкости и интенсивности. При чём здесь приведённая картинка? Посмотрите упоминаемую мной статью: на интервалах частот, обозначенных как «музыка», закон для высоты тона ужасно недействителен.

Короче, умываю руки; больше говорить об одном и том же здесь не буду.

[commator]

arseniiv в сообщении #1081873 писал(а):

(Оффтоп)

Вы же говорили о законе для высоты тона и частоты, а не для громкости и интенсивности. При чём здесь приведённая картинка?

(Оффтоп)

При том, что надо было напомнить: для музыки даже в области пригодных для неё стимулов пользуются не всеми звуками, которые ощущаются.

Любопытно, почему Вы интенсивность в Герцах постеснялись назвать частотой?

[arseniiv]

(Оффтоп)

commator в сообщении #1081889 писал(а):

для музыки даже в области пригодных для неё стимулов пользуются не всеми звуками, которые ощущаются

Даже если брать диапазон рояля и только самые нижние гармоники проихводимых им звуков, всё равно нелогарифмичность будет заметна. См. статью.

commator в сообщении #1081889 писал(а):

Любопытно, почему Вы интенсивность в Герцах постеснялись назвать частотой?

Частоту я называю частотой, а что за интенсивность такая в герцах — понятия не имею.

[commator]

arseniiv в сообщении #1081902 писал(а):

(Оффтоп)

Даже если брать диапазон рояля и только самые нижние гармоники проихводимых им звуков, всё равно нелогарифмичность будет заметна.

(Оффтоп)

Ну хоть бы и так, однако, не идеальная логарифмичность делает погоду, а любая нелинейность, которая из области доминирования (о ней тоже надо помнить) не испаряется, что и придаёт целочисленную кратность фантомным призвукам и решающую роль такой кратности для оценки стройности/нестройности сложных звуков по отдельности и в последовательностях. А в области доминирования нелинейность может быть и неплохо аппроксимируется именно логарифмической кривой, если проверить; с какой то стати, ведь, увлеклись логарифмами повально все занятые музыкальной акустикой ещё до открытия Закона Вебера-Фехнера и рождения психоакустики.

[arseniiv]

(Оффтоп)

commator в сообщении #1081959 писал(а):

что и придаёт целочисленную кратность фантомным призвукам и решающую роль такой кратности для оценки стройности/нестройности сложных звуков по отдельности и в последовательностях

Что ж, если у вас имеется строгое доказательство этого, я рад, но не верится, что оно есть.

commator в сообщении #1081959 писал(а):

А в области доминирования нелинейность может быть и неплохо аппроксимируется именно логарифмической кривой, если проверить; с какой то стати, ведь, увлеклись логарифмами повально все занятые музыкальной акустикой ещё до открытия Закона Вебера-Фехнера и рождения психоакустики.

Да хоть синусом интегральным. Конечно, любые две дифференцируемые функции чем-то похожи в окрестности точек, где у них одинаковая производная. Только этого мало.

Доказательств совершенно не прошу, я и так нарушил покой этой темы уже достаточно.

[commator]

arseniiv в сообщении #1081963 писал(а):

(Оффтоп)

я и так нарушил покой этой темы уже достаточно

(Оффтоп)

Спасибо за беспокойство...

Пожалуйста, не злоупотребляем тегом off!
Тема содержит обсуждение новых результатов. 14.12.2015 тема перенесена из корня «Мд» в «Дт. (Мд)».

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1080148 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1080028 писал(а):

А я, со своей стороны, хотел бы продолжить следующим образом. Проинтерпретировать "k-Harmony Tablets" как группоиды Брандта и далее от группоидов Брандта перейти к "группоидам Фарея", определив последние как фактор-группоиды соответствующих группоидов Брандта по конгруэнции, отвечающей "отношению пропорциональности" на прямоугольниках.

И как потом вычислять изгибы 12РДО высот для чёткого интонирования североиндийских раг, например, или прелюдий и фуг из ХТК Баха?

Можно сначала разобраться с гармоническим дуализмом в среде рациональных интервалов, а затем уже -- в среде иррациональных интервалов. За основу можно принять определения рациональных и иррациональных музыкальных интервалов у Д. Райта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1082203 писал(а):

За основу можно принять определения рациональных и иррациональных музыкальных интервалов у Д. Райта: http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

Глядя на ноты с пояснениями




мне сразу понятно, что нет, например, варианта большой терции 81/64, который может необходимо возникнуть в переходных моментах, связанных с отклонениями и модуляциями.

Как тональную функцию 81/64 следует выражать через четвертую доминанту, тогда как предложено пользоваться лишь терцией функции медианты, а она не может заменить четвёртой доминанты, когда необходимость последней следует из анализа пьесы по нотам.

Проще говоря, для поддержки чёткой интонации пьесы, нечётко нотированной в 12ДО манере, требуется применять и большую терцию функции медианты (дидимейскую) и большую терцию функции четвёртой доминанты (пифагорейскую).

Решить какую терцию где применять можно только по результатам тщательного анализа всей пьесы от первой ноты до последней.

Все другие интервалы тоже могут быть и дидимейскими и пифагорейскими на протяжении одной единственной пьесы.

Добавлю: вертикальные интервалы пифагорейских терций применять нельзя. Так грубо звучат, что даже если сегодня уговорить свой слух, мол сойдёт, завтра, когда уговаривать будет лень, окажется что и вчера уговаривать было неразумно. Возможно поэтому пифагорейских терций на картинках и нет, но картинок с горизонтальными интервалами тоже нет, хотя двойная функциональность именно терций возникает и допустима только по горизонтали.

Кроме того, интервалы получаются такими как надо, если не их собственно анализировать, а высоты, занятые в анализируемой пьесе. Этого на картинках и в пояснениях нет.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1079723 писал(а):

по поводу "горизонтальной структуры"

commator в сообщении #986177 писал(а):

Существует статья, о которой ещё не забыли и написали в 2013-м [1] следующее:

Цитата:

Формальным мотивом (Ф-мотивом) М. Борода назвал отрезок мелодии в пределах: а) формального такта - полного или частичного минимального такта (ПМТ или ЧМТ на рис. 1, й); б) возрастающей последовательности (ВП на рис. 1, й); в) формального такта, с последнего звука которого начинается возрастающая последовательность (ПМТ+ВП, ЧМТ+ВП). В некотором смысле Ф-мотив является аналогом слова в тексте. Подробное определение формального мотива, формального такта, возрастающей последовательности и процедура его выделения представлены в [2]. Эта процедура позволяет разбить одноголосную мелодию любого музыкального текста (с тактовой системой) на Ф-мотивы.

[1]. http://cyberleninka.ru/article/n/o-sred ... z3TXoZAPcD
[2]. Борода М. Г. К вопросу о метроритмической элементарной единице в музыке // Сообщение Академии наук Грузинской ССР. 1973. № 3. С. 71-72

Время в такой формализации играет решающую роль.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1082228 писал(а):

Глядя на ноты с пояснениями
мне сразу понятно, что нет, например, варианта большой терции 81/64, который может необходимо возникнуть в переходных моментах, связанных с отклонениями и модуляциями ...

До нот с пояснениями шли определения рациональных и иррациональных музыкальных интервалов. Которые, на мой взгляд, можно сделать основой всего последующего. Именно об этих определениях я и писал:

Свободный Художник в сообщении #1082203 писал(а):

Можно сначала разобраться с гармоническим дуализмом в среде рациональных интервалов, а затем уже -- в среде иррациональных интервалов. За основу можно принять определения рациональных и иррациональных музыкальных интервалов у Д. Райта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

-- Вт дек 15, 2015 23:31:10 --

В качестве примера я нарисовал "таблицу Кэли" для группоида Фарея $\mathbf{F_4}$:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
(пункт 4 на указаной странице)

-- Вт дек 15, 2015 23:43:19 --

Свободный Художник в сообщении #1080028 писал(а):

А я, со своей стороны, хотел бы продолжить следующим образом. Проинтерпретировать "k-Harmony Tablets" как группоиды Брандта и далее от группоидов Брандта перейти к "группоидам Фарея", определив последние как фактор-группоиды соответствующих группоидов Брандта по конгруэнции, отвечающей "отношению пропорциональности" на прямоугольниках.

Свободный Художник в сообщении #1067849 писал(а):

Флетчер ссылается на Кокстера:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/5/1/7.html
Кокстер ссылается на классическую Hardy G. H. and Wright E. M. "An Introduction to the Theory of Numbers":
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3.html
Было бы интересно взглянуть на сответствующие места из последней книги.
P.S. Уважаемый commator, нам что Дерево Штерна-Броко (ДШБ), что "последовательности Фарея", были бы одинаково полезны.

Свободный Художник в сообщении #1068228 писал(а):

При исследовании последовательностей Фарея решетки параллелограмов там используются. Начало соответствующего параграфа можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/14/3/5.html

Нам последовательности Фарея выгодны тем, что из них можно легко получить системы элементарных звучий:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html
путем добавления дуальных (т. е. перевернутых) упорядоченных пар и "расклейки" некоторых пропорциональных пар.
Варианты озвучки таких систем были приведены здесь:
http://www.px-pict.com/3/tabs.html

Из рассмотрения упомянутой таблицы Кэли для $\mathbf{F_4}$ следует, в частности, что в отличии от соответствующего группоида Брандта, от которого он произошел, он имеет единственный двусторонний нейтральный элемент $e = 1/1$. Пустые клетки таблицы отвечают упорядоченным парам элементов группоида, на которых группоидная операция не определена.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1082476 писал(а):

http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html

Цитата:

1. Бесконечная последовательность множеств $\mathrm{N}_k$

Пусть, как и в предыдущем Разделе, $\mathrm{N}$ обозначает множество $\left\lbrace1, 2, 3, ...\right\rbrace$ всех натуральных чисел. Определим следующую бесконечную последовательность вложенных друг в друга множеств $\mathrm{N}_k$ натуральных чисел:

$\mathrm{N}_1 = \left\lbrace1\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_2 = \left\lbrace1, 2\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_3 = \left\lbrace1, 2, 3\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_4 = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace,$

$\vdots$

$\mathrm{N}_k =\left\lbrace1, 2, 3, 4, ... , k\right\rbrace,$

$\vdots$

Очевидно, что для любого $k$ имеет место соотношение:

$\mathrm{N}_k \subset {N}_k_+_1,~~~~(1)$

где символ $\subset$ обозначает отношение строгого включения множеств (это означает, что для любого $k$ множество $\mathrm{N}_k$ является собственным подмножеством множества $\mathrm{N}_k_+_1$).
С учетом обозначений, которые поясняются, например, у Андерсона, мы можем записать следующее важное соотношение, связывающее между собой множество $\mathrm{N}$ всех натуральных чисел и определенную выше бесконечную систему вложенных друг в друга множеств $\mathrm{N}_k$ натуральных чисел:

$\mathrm{N}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\mathrm{N}_k.~~~~(2)$

Что и говорить?

Браво!

[commator]

commator в сообщении #1082228 писал(а):

интервалы получаются такими как надо, если не их собственно анализировать, а высоты, занятые в анализируемой пьесе

Это и демонстрирует картинка,



если буквы понимать нотами высот.

Очевидно: высот заметно меньше, чем интервалов между ними, значит анализ высот менее трудоёмок в сравнении с анализом интервалов.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1082203 писал(а):

Можно сначала разобраться с гармоническим дуализмом в среде рациональных интервалов, а затем уже -- в среде иррациональных интервалов.

Так можно. И нужно, не забывая, однако, что музыкальная гармония и её интервалы ― логарифмические.

Не числа, а логарифмические образы чисел создают музыкальную гармонию. Поэтому для музыкантов будет всегда хлопотно разбираться с рациональностью/иррациональностью интервалов, выпадающей из области существования музыкальных ощущений в область воспроизводящих ощущения стимулов.

Вот типичное разбирательство опытного музыканта, притом практика, скорее, чем теоретика:

NbP в Сети писал(а):

В наличии следующий набор:

1. Устойчивые и неустойчивые ступени в ладу ― мажорном или минорном;
2. Устойчивые и неустойчивые функции ― T, S, D;
3. Устойчивые и неустойчивые аккорды, расположенные на ступенях ладов;
4. Устойчиввые и неустойчивые звуки в аккорде.

Разрешение в гармонии ― переход от неустойчивости к устойчивости в каждом из указанных пунктов.

Для мажора:

1. Самые устойчивые ступени лада ― 1, 3 , 5; однако и тут существует иерархия устойчивости: 1 самая устойчивая из всех трех ступень: остальные имеют разную меру бОльшей неустойчивости.
2. Самая устойчивая функция ― тоника, самая неустойчивая ― доминанта. Субдоминанта по устойчивости ― между ними .
3. Любой аккорд относится к какой-то функции, а также строится на ступени лада, несущей ту или иную меру устойчивости или неустойчивости. Это касается и обращений аккордов.
4. Устойчивые звуки внутри каждого аккорда основного типа ― трезвучия ― прима, терция и чистая квинта. Это значит, что любая альтерированная ступень ВНУТРИ трезвучия, а также звук, создающий интервал тритона ВНУТРИ аккорда ― является неустойчивым, и соответственно отбрасывает тень на характер устойчивости всего аккорда.

Отсюда следует, что: как все пути ведут в Рим, так и все функциональные неустойчивости в конце-концов ведут, то бишь разрешаются в ТОНИКУ.

Значит тоника как функции (b.) не подлежит разрешению ― она сама разрешение. А вот аккорд доминанту разрешают в тонический аккорд.

Музыканты в логаримическом пространстве музыкальной гармонии разбираются с помощью ладов, ступеней, устоев/неустоев, аккордов и функций:

commator в сообщении #1078276 писал(а):

commator в сообщении #1078229 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1078124 писал(а):

материал по "гармоническому дуализму"

<...>

Меня привлёк такой материал:

Шевалье 1925(1932) писал(а):

минорное трезвучие является антитезой мажорного, т. е. гармонические призвуки берутся вниз, вместо того, чтобы быть взятыми вверх. Неудобство этой системы в том, что теряется понятие основного тона.

В поисках удобства надо помнить: важнейшими голосами в музыке считаются оба крайних, а не только нижний. С учётом того, что расположенная обычно вверху мелодия принимается за причину для сочинения подходящей гармонии, последняя скорее верхний голос должна поддержать, чем охранять удобства для основного тона внизу.

commator в сообщении #1081263 писал(а):

Ещё на этой привлекательной странице указано, что Рамо был отцом тональной функции доминанта и унарной операции обращения доминанты в субдоминанту.

Шевалье 1925(1932) писал(а):

Рамо определенно исходит из следующего: «Из призвуков основного тона можно слышать только октаву, квинту и терцию. Можно исходить только из этого. Сначала нельзя представить себе другой возможной последовательности. Однако звук, который последует за основным звуком звучащего тела, должен быть в свою очередь основным, так как отделить его от первого звука можно только посредством нового звуча¬щего тела, которое целиком отвечало бы его высоте» (Génération, стр. 40).
Но каждый из основных тонов имеет свою особую гармонию; следовательно, сколько новых основных тонов, столько же новых гармоний. Отсюда — гармоническая последовательность; она про-извольна в том смысле, что каждый из гармонических призвуков, представляющий основной тон, может быть заменен другим. Отсюда — основные последовательности (кратные или делители).

1 — 1/2 1 — 2. Октава вниз и вверх.
1 — 1/3 1 — 3. Дуодецима вниз и вверх.
1 — 1/5 1 — 5. Б. терция через две октавы вниз и вверх.

«Однако из этих последовательностей я, прежде всего, выберу квинту, которая одна дает самый совершенный порядок, как это будет видно; а так как основной звук заставляет звучать две квинты одновременно, одну наверху, другую. внизу (я дал им повсюду название доминанты и субдоминанты) <...>»

У сонантометрии, т. е. алгебры тональных функций, тогда Рамо получается первооткрывателем. Мне помогла попасть в сонантометрию именно доминанта, поскольку доминанта доминанты оказывается удвоенным ощущением увеличения соответствющего стимула, значение которого (число 3) надо возводить в квадрат.

Пока мне отцовство тоники и медианты неизвестно, но надо сказать, что ощущение тоники стимулирует число 2:

$\mathbf{:}\mathbf{T}\leftarrow 2$ (ощущение тоники соответствует стимулу 2);

у тоники уникальная способность и подчиняться закону Вебера-Фехнера:

$\mathbf{:}\mathrm{2}\mathbf{T}\leftarrow 2^2$ (удвоение ощущения тоники соответствует возведению стимула 2 в степень 2),

и одновременно уклоняться от действия основного психофизического закона:

$\mathbf{:}\mathrm{2}\mathbf{T}\leftarrow 2+2$ (удвоение ощущения тоники соответствует удвоению стимула 2).

Не с этим ли связано лишь октавное свойство давать ощущение именного подобия высот?

[commator]

commator в сообщении #1082630 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1082476 писал(а):

http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html

Цитата:

1. Бесконечная последовательность множеств $\mathrm{N}_k$

Пусть, как и в предыдущем Разделе, $\mathrm{N}$ обозначает множество $\left\lbrace1, 2, 3, ...\right\rbrace$ всех натуральных чисел. Определим следующую бесконечную последовательность вложенных друг в друга множеств $\mathrm{N}_k$ натуральных чисел:

$\mathrm{N}_1 = \left\lbrace1\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_2 = \left\lbrace1, 2\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_3 = \left\lbrace1, 2, 3\right\rbrace,$
$\mathrm{N}_4 = \left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace,$

$\vdots$

$\mathrm{N}_k =\left\lbrace1, 2, 3, 4, ... , k\right\rbrace,$

$\vdots$

Очевидно, что для любого $k$ имеет место соотношение:

$\mathrm{N}_k \subset {N}_k_+_1,~~~~(1)$

где символ $\subset$ обозначает отношение строгого включения множеств (это означает, что для любого $k$ множество $\mathrm{N}_k$ является собственным подмножеством множества $\mathrm{N}_k_+_1$).
С учетом обозначений, которые поясняются, например, у Андерсона, мы можем записать следующее важное соотношение, связывающее между собой множество $\mathrm{N}$ всех натуральных чисел и определенную выше бесконечную систему вложенных друг в друга множеств $\mathrm{N}_k$ натуральных чисел:

$\mathrm{N}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\mathrm{N}_k.~~~~(2)$

Что и говорить?

Браво!

Двойственная операция:

$\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\mathrm{N}_k=\mathrm{N}_1\setminus\mathrm{N}_\varnothing=\left\lbrace1\right\rbrace,$

$\bigcap\limits_{k=2}^{\infty}\mathrm{N}_k=\mathrm{N}_2\setminus\mathrm{N}_1=\left\lbrace2\right\rbrace,$

$\vdots$

$\bigcap\limits_{k}^{\infty}\mathrm{N}_k=\mathrm{N}_k\setminus\mathrm{N}_k_-_1=\left\lbrace k\right\rbrace,$

$\vdots$

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1082476 писал(а):

http://www.px-pict.com/9/6/8/2/2/4.html

Цитата:

2. Бесконечная последовательность множеств $\mathrm{R}_k$

Переходя теперь к рассмотрению "стандартной модели" собственно пространства элементарных звучий, т. е., по определению, к рассмотрению множества $\mathrm{R}$ всех упорядоченных пар вида $< m, n >$, где $m$ и $n$ есть некоторые натуральные числа из множества $\mathrm{N}$, определим следующую бесконечную последовательность вложенных друг в друга множеств $\mathrm{R}_k$ упорядоченных пар натуральных чисел:

$\begin{matrix} \mathrm{R}_1=\mathrm{N}_1\times\mathrm{N}_1\\ \mathrm{R}_2=\mathrm{N}_2\times\mathrm{N}_2\\ \mathrm{R}_3=\mathrm{N}_3\times\mathrm{N}_3\\ \mathrm{R}_4=\mathrm{N}_4\times\mathrm{N}_4\\ \vdots \\ \mathrm{R}_k=\mathrm{N}_k\times\mathrm{N}_k\\ \vdots \end{matrix}~~~~(3)$

Здесь символ $\times$, как и ранее, обозначает операцию декартова произведения множеств. Снова мы можем записать важное соотношение, связывающее между собой множество $\mathrm{R}$ всех упорядоченных пар натуральных чисел и определенную только что бесконечную систему вложенных друг в друга множеств $\mathrm{R}_k$ упорядоченных пар натуральных чисел:

$\mathrm{R}=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}\mathrm{R}_k.~~~~(4)$

Для наглядности $(3)$ и очевидности, что для любого $k$ имеет место соотношение $\mathrm{R}_k \subset {R}_k_+_1:$

$\mathrm{R}_1=\mathrm{N}_1\times\mathrm{N}_1=\left\lbrace<1,1>\right\rbrace,$

$\mathrm{R}_2=\mathrm{N}_2\times\mathrm{N}_2=\left\{ \begin{matrix} <1,1>&<2,1> \\ <1,2>&<2.2> \\ \end{matrix} \right\},$

$\mathrm{R}_3=\mathrm{N}_3\times\mathrm{N}_3=\left\{ \begin{matrix} <1,1>&<2,1>&<3,1>\\ <1,2>&<2.2>&<3,2>\\ <1,3>&<2,3>&<3,3> \end{matrix} \right\},$

$\mathrm{R}_4=\mathrm{N}_4\times\mathrm{N}_4=\left\{ \begin{matrix} <1,1>&<2,1>&<3,1>&<4,1>\\ <1,2>&<2.2>&<3,2>&<4,2>\\ <1,3>&<2,3>&<3,3>&<4,3>\\ <1,4>&<2,4>&<3,4>&<4,4> \end{matrix} \right\},$
$\vdots$
$\mathrm{R}_k=\mathrm{N}_k~\times~\mathrm{N}_k=\left\{ \begin{matrix} <1,1>&<2,1>&<3,1>&<4,1>&\dots&<k,1>\\ <1,2>&<2.2>&<3,2>&<4,2>&\dots&<k,2>\\ <1,3>&<2,3>&<3,3>&<4,3>&\dots&<k,3>\\ <1,4>&<2,4>&<3,4>&<4,4>&\dots&<k,4>\\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\ <1,k>&<2,k>&<3,k>&<4,k>&\dots&<k,k> \end{matrix} \right\},$

$\mathrm{R}_k_+_1=\mathrm{N}_k_+_1~\times~\mathrm{N}_k_+_1=\left\{ \begin{matrix} <1,1>&<2,1>&\dots&<k,1>&<k+1,1>\\ <1,2>&<2.2>&\dots&<k,2>&<k+1,2>\\ <1,3>&<2,3>&\dots&<k,3>&<k+1,3>\\ <1,4>&<2,4>&\dots&<k,4>&<k+1,4>\\ \dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\ <1,k>&<2,k>&\dots&<k,k>&<k+1,k>\\ <1,k+1>&<2,k+1>&\dots&<k,k+1>&<k+1,k+1> \end{matrix} \right\},$
$\vdots$