2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение09.08.2009, 23:21 


20/03/08
421
Минск
Какая арифметика будет все же слабейшей?
Быть может, эта:

(A1). $\forall x P(0, x, x)$;
(A2). $\forall x \forall y \forall z [P(x, y, z) \Rightarrow P(s(x), y, s(z))]$?

Здесь $s$ есть унарный функциональный символ, $P$ есть тернарный предикатный символ, $0$ есть символ индивидной константы.
Будем обозначать теорию указанной сигнатуры с двумя аксиомами (A1) и (A2) как $T_0$.
Формула $P(x, y, z)$ содержательно интерпретируется как $x + y = z$.
В теории $T_0$ доказуемы все интуитивно истинные факты об операции сложения на натуральных числах и не доказуемы интуитивно ложные. Например, факт $1 + 2 = 4$ недоказуем (при соответствующей трансляции в $P(s(0), s(s(0)), s(s(s(s(0)))))$). Может это уже само по себе немало?

Ведь писал же Э. Ландау в предисловии к своей знаменитой книге:
Ландау Э. Основы анализа.
Действия над целыми, рациональными, иррациональными, комплексными числами.
Перевод с немецкого Д. А. Райкова.
М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1947, cc. 7 — 8.
http://www.px-pict.com/9/6/4/2/2.html
Цитата:
Прошу — забудь все, чему ты учился в школе; потому что ты этому не научился.
Прошу, однако, всюду вызывать в своем представлении соответствующие разделы школьного курса; потому что тебе все же не следует его забывать.
Никакой таблицы умножения, даже теоремы $2*2 = 4$ я не даю; однако, я рекомендую тебе, в качестве упражнения к главе 1, определить: $2 = 1 + 1$, $4 = ((1 + 1) + 1) + 1$ и доказать указанную теорему.

В теории $T_0$ мы можем доказать теорему о том, что $2 + 3 = 5$. :)

Теория $T_0$ заимствована из:
Агафонов В. Н., Борщев В. Б., Воронков А. А.
Логическое программирование в узком смысле.
В книге: Логическое программирование: Сборник статей. Под ред. Агафонова В. Н.
М.: Мир, 1988, сс. 302 — 303.
http://www.px-pict.com/9/6/4/4/1.html
с соответствующей переформулировкой, ибо там она “заточена” для нужд логического программирования, а здесь мы ее снова “расточили” на нормальный язык исчисления предикатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение09.08.2009, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5614
Свободный Художник в сообщении #234002 писал(а):
Какая арифметика будет все же слабейшей?

Зависит от того, что считать арифметикой.
Я бы сказал, что арифметика --- это теория, у которой модели "не меньше" $\mathbb{N}$ в некотором смысле, а для $T_0$ любая абелева группа будет моделью ($s(x) = x+c$, $c$ - некоторый фиксированный элемент, даже не обязательно ненулевой)

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение11.08.2009, 10:21 


20/03/08
421
Минск
Разумеется, $T_0$ “очень некатегорична”, т. е. имеет много неизоморфных между собой моделей.
Однако, во множестве всех ее моделей имеется и та, что нам нужна. Элементами ее множества-носителя служат элементы универсума Эрбрана, упоминавшегося выше. Обозначим эту модель $M_0$. Поскольку она в определенном смысле “объективно” выделена среди всех прочих, то мы можем считать, что теория $T_0$ специфицирует именно ее.

$M_0$, таким образом специфицированную, мы можем далее рассматривать в качестве “стандартной” модели и для “полноценной” арифметики Пресбургера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение11.08.2009, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5614
Свободный Художник в сообщении #234281 писал(а):
Поскольку она в определенном смысле “объективно” выделена среди всех прочих, то мы можем считать, что теория специфицирует именно ее.

В каком смысле? Слишком расплывчато как-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение11.08.2009, 16:05 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Xaositect в сообщении #234311 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #234281 писал(а):
Поскольку она в определенном смысле “объективно” выделена среди всех прочих, то мы можем считать, что теория специфицирует именно ее.

В каком смысле? Слишком расплывчато как-то.


В теории моделей есть такой термин "простая модель". Обозначает модель, реализующую только главные типы. Простая модель единственна с точностью до изоморфизма. Нужная нам модель $T_0$ --- это как раз она и есть :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение13.08.2009, 15:13 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #234281 писал(а):
Разумеется, $T_0$ “очень некатегорична”, т. е. имеет много неизоморфных между собой моделей.
Однако, во множестве всех ее моделей имеется и та, что нам нужна. Элементами ее множества-носителя служат элементы универсума Эрбрана, упоминавшегося выше. Обозначим эту модель $M_0$. Поскольку она в определенном смысле “объективно” выделена среди всех прочих, то мы можем считать, что теория $T_0$ специфицирует именно ее.

Профессор Снэйп в сообщении #234350 писал(а):
Xaositect в сообщении #234311 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #234281 писал(а):
Поскольку она в определенном смысле “объективно” выделена среди всех прочих, то мы можем считать, что теория специфицирует именно ее.

В каком смысле? Слишком расплывчато как-то.


В теории моделей есть такой термин "простая модель". Обозначает модель, реализующую только главные типы. Простая модель единственна с точностью до изоморфизма. Нужная нам модель $T_0$ --- это как раз она и есть :)

А я думал, что выделенность нужной нам модели $M_0$ теории $T_0$ обеспечивается особым видом аксиом последней. Тем обстоятельством, что аксиомы теории $T_0$ являются так называемыми “хорновскими дизъюнктами”:
http://en.wikipedia.org/wiki/Horn_clause

Аксиома (A2) эквивалентна хорновскому дизъюнкту $\forall x \forall y \forall z [\neg P(x, y, z) \lor P(s(x), y, s(z))]$.
Совокупность моделей теории, аксиоматизированной посредством множества хорновских дизъюнктов, обладает рядом замечательных свойств, некоторые из которых приведены здесь:
Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. Теория моделей.
М.: Мир, 1977, сc. 16 — 32:

http://www.px-pict.com/9/6/2/3/2/2/12.html

Эти-то замечательные свойства и обеспечивают, на мой взгляд, в некотором смысле “особую роль” модели $M_0$ среди всех других прочих моделей теории $T_0$.
Подробности надо будет еще посмотреть :)

-- Чт авг 13, 2009 21:56:55 --

Раз уж зашел разговор о хорновских дизъюнктах, то следует отметить, что с их помощью мы можем аксиоматизировать также некоторую слабенькую систему (положительных) рациональных чисел. А именно, рассмотрим теорию со следующими аксиомами:
Свободный Художник в сообщении #149232 писал(а):
Кажется, в системе $\mathbf{SBT}$ можно очень просто определить отношение $<$ строгого линейного порядка на множестве положительных рациональных чисел. Для этого достаточно постулировать следующие “определяющие соотношения” (которые, очевидно, справедливы при указанной интерпретации операций $V$ и $H$):
(v1). Для любого $x, V(x) < 1$,
(h1). Для любого $x, 1 < H(x)$,
(v2). Если $x < y$, то $V(x) < V(y)$,
(h2). Если $x < y$, то $H(x) < H(y)$,
(trans). Если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$.

Докажем, например, что $\dfrac4{7} < \dfrac2{3}$.
$V(H(1)) = \dfrac2{3}$; $V(H(V(V(1)))) = \dfrac4{7}$.

Доказательство.
(1) Для любого $x, V(x) < 1$ -- аксиома (v1);
(2) $V(V(1)) < 1$ -- из (1);
(3) $H(V(V(1))) < H(1)$ -- из (2) по аксиоме (h2);
(4) $V(H(V(V(1)))) < V(H(1))$ -- из (3) по аксиоме (v2).

где $V$ и $H$ есть унарные функциональные символы, $<$ есть бинарный предикатный символ, $1$ есть символ индивидной константы.
Будем обозначать теорию указанной сигнатуры с пятью аксиомами (v1), (h1) , (v2) , (h2) и (trans) как $T_1$.
Бинарный предикатный символ $<$ содержательно интерпретируется как отношение “строго меньше” на множестве положительных рациональных чисел.
В теории $T_1$ доказуемы все интуитивно истинные факты о плотном линейном порядке без концевых точек (о котором уже много писали на этом форуме) и не доказуемы интуитивно ложные. Например, факт $\dfrac 7{4} < \dfrac 8{5}$ недоказуем.

В этом смысле теорию $T_1$ можно рассматривать, по-видимому, как некоторую зачаточную форму арифметики (положительных) рациональных чисел.

Аксиоматику “полноценной” теории плотного линейного порядка без концевых точек можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/2/4/3/1/1.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение16.08.2009, 00:23 
Аватара пользователя


15/08/09
1363
МПГУ (математический факультет)
моё понимание арифметики -это наука как раз и изучающ
ая такой дует как числа и операции над ними ! ведь если не задумываться о сущьности числа а только представлять его себе как нечто абстрактное , прозрачное то арифметика не получится!

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение16.08.2009, 11:22 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Простая модель --- это модель, реализующая только главные типы. Чем Вам такая "выделенность" не нравится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение16.08.2009, 16:12 


20/03/08
421
Минск
Я же не говорил, что не нравится. :) Просто хотел, скорее, добавить, что в случае, когда теория аксиоматизирована посредством некоторого множества хорновских дизъюнктов, эта модель находит важные применения.
Свободный Художник в сообщении #234002 писал(а):
Какая арифметика будет все же слабейшей?
Быть может, эта:

(A1). $\forall x P(0, x, x)$;
(A2). $\forall x \forall y \forall z [P(x, y, z) \Rightarrow P(s(x), y, s(z))]$?

Здесь $s$ есть унарный функциональный символ, $P$ есть тернарный предикатный символ, $0$ есть символ индивидной константы.
Будем обозначать теорию указанной сигнатуры с двумя аксиомами (A1) и (A2) как $T_0$.
Формула $P(x, y, z)$ содержательно интерпретируется как $x + y = z$.

На примере “маленькой” модели $M_{small}$ теории $T_0$ хотелось бы уточнить терминологию, используемую в теории моделей.
Определим модель $M_{small}$ теории $T_0$ следующим образом.
В качестве множества-носителя $D$ модели берем двухэлементное множество $\{0, 1\}$. После того, как мы определились с носителем модели, мы должны связать с тернарным предикатным символом $P$ теории $T_0$ некоторое тернарное отношение, заданное на $D$,
с унарным функциональным символом $s$ теории $T_0$ -- некоторую унарную функцию, определенную на множестве $D$,
и, наконец, с символом индивидной константы $0$ -- некоторый элемент множества $D$.
Делаем это так: $P \to \{<0,0,0>, <0,1,1>, <1,0,1>, <1,1,0> \}$;
$s \to \{<0,1>, <1,0> \}$;
$0 \to 0$.

Получаем систему вида $M_{small} =\: < \{0, 1\}, \{<0,0,0>, <0,1,1>, <1,0,1>, <1,1,0> \}, \{<0,1>, <1,0> \}, 0 >$.
Обе аксиомы теории $T_0$ истинны в модели $M_{small}$:
$M_{small} \vDash \forall x P(0, x, x)$;
$M_{small} \vDash \forall x \forall y \forall z [P(x, y, z) \Rightarrow P(s(x), y, s(z))]$.
--------------

Однако, нелогические символы $P, s, 0$ теории $T_0$ могут быть проинтерпретированы (при одном и том же “носителе” $D = \{0, 1\}$) и многими другими способами. В результате будут получаться системы, отличные от приведенной выше системы $M_{small}$.
В некоторых из этих систем аксиомы теории $T_0$ будут истинны, а в некоторых – ложны.
Разве оправданно называть все эти мыслимые системы “моделями” (как иногда делают)?

Ведь, наверное, их было бы правильнее называть “возможными интерпретациями” соответствующего первопорядкового языка, а “моделями теории” – только те из интерпретаций, в которых аксиомы данной теории истинны.

То есть я это к тому, что модель – она всегда некоторой теории модель, тогда как интерпретация – она языка интерпретация (а в одном и том же языке существует много различных теорий).
-------------------------------

А относительно самих “систем” что мы имеем? Нет для них общепринятого названия. Термин “алгебраические системы” слишком узкий. Для геометрии пришлось бы вводить понятие “геометрической системы”.
А системы, отвечающие теории частичного порядка как назвать?
Может быть, было бы оправданным ввести общее понятие “математической системы”, понимая под ним любое непустое множество с заданными на нем отношениями и операциями соответствующей арности.

Иногда такие общие системы называют просто “моделями”, что, на мой взгляд, неправильно, поскольку, как указывалось выше, “модель” всегда предполагает теорию (для которой данная система и является моделью), а систему саму по себе я могу и просто от руки выписать (если ее носитель конечен) – просто как кортеж определенного вида. После чего эта система будет вполне объективно существовать, без ссылки на какую-либо теорию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение18.08.2009, 00:46 


20/03/08
421
Минск
Профессор Снэйп в сообщении #231342 писал(а):
Арифметика --- это наука о свойствах модели $\langle \mathbb{N}; +, \cdot, \leqslant, 0, 1 \rangle$.

А почему под “арифметикой” всегда по умолчанию понимают науку о системе натуральных чисел? В каждой книге по матлогике все арифметика Пеано, да арифметика Пеано. :)
Ведь представляется совершенно естественным наряду с арифметикой натуральных чисел на абсолютно равных правах развивать и арифметику положительных рациональных чисел. Берем за основу версию аксиоматики Пеано из:
Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. Теория моделей.
М.: Мир, 1977, сc. 52 — 65:

http://www.px-pict.com/9/6/2/4/3/1/2.html

(1). $\forall x [0 \ne s(x)]$;
(2). $\forall x \forall y [(s(x) = s(y)) \Rightarrow (x = y)]$;
(3). $\forall x (x + 0 = x)$;
(4). $\forall x \forall y [x + s(y) = s(x + y)]$;
(5). $\forall x (x \cdot 0 = 0)$;
(6). $\forall x \forall y [x \cdot s(y) = (x \cdot y) + x]$;
(7). $\{\varphi (0) \land \forall x[\varphi (x) \Rightarrow \varphi (s(x))]\} \Rightarrow \forall x \varphi (x)$.

“Удваиваем” эту аксиоматику и получаем основу аксиоматики для системы положительных рациональных чисел:

(h1). $\forall x [0 \ne H(x)]$;
(v1). $\forall x [\infty \ne V(x)]$;
(h2). $\forall x \forall y [(H(x) = H(y)) \Rightarrow (x = y)]$;
(v2). $\forall x \forall y [(V(x) = V(y)) \Rightarrow (x = y)]$;
(h3). $\forall x (x \bullet 0 = x)$;
(v3). $\forall x (x \circ \infty = x)$;
(h4). $\forall x \forall y [x \bullet H(y) = H(x \bullet y)]$;
(v4). $\forall x \forall y [x \circ V(y) = V(x \circ y)]$;
(5a). $\forall x [(x \ne \infty) \Rightarrow (x \cdot 0 = 0)]$;
(5b). $\forall x [(x \ne 0) \Rightarrow (x \cdot \infty = \infty)]$;
(5c). $0 \cdot \infty = 1$;
(h6). $\forall x \forall y [x \cdot H(y) = (x \cdot y) \bullet x]$;
(v6). $\forall x \forall y [x \cdot V(y) = (x \cdot y) \circ x]$;
(7). $\{\varphi (0) \land \forall x[\varphi (x) \Rightarrow \varphi (H(x))] \land \varphi (\infty) \land \forall x[\varphi (x) \Rightarrow \varphi (V(x))]\} \Rightarrow \forall x \varphi (x)$.

Можно определить в этой системе свои рекурсивные функции и т. д.

$\bullet, \circ, \cdot$ – двуместные функциональные символы,
$H, V$ – одноместные функциональные символы,
$0, \infty, 1$ – символы индивидных констант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение26.08.2009, 00:35 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #235980 писал(а):
Ведь представляется совершенно естественным наряду с арифметикой натуральных чисел на абсолютно равных правах развивать и арифметику положительных рациональных чисел.

Хотя, почему, собственно, мы говорим о “системе положительных рациональных чисел”?
Ведь изначально так не было. Не было таких объектов, как “рациональные числа”. Изначально строго различались “числа” и “отношения”. Это были сущности двух разных типов (или сортов). И эта “парадигма” была очень авторитетна:
http://www.px-pict.com/7/3/1/3.html
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

Что же такого экстраординарного должно было произойти, чтобы эта парадигма “поплыла” и числа превратились в отношения? Что подвигло И. Ньютона написать свою еретическую фразу:
Цитата:
Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода …

http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/1.html
(допустив, таким образом, прямую коллизию типов)

Почему бы было не оставить все как есть, т. е. числа называть числами, а отношения – отношениями (не смешивая их)?

Ведь вполне можно допустить, что отношения живут своей собственной жизнью, отличной от жизни чисел. Например, та единственная операция, которая выполнялась над отношениями – операция “составления” отношений:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2
заставляет нас признать ядром “арифметики отношений” структуру, известную ныне как “группоид Брандта”.

В свете вышеизложенного можно выразить мысль, что “полноценная” арифметика – это наука, скорее, об отношениях, чем о числах. А “предварительная” арифметика (арифметика “чисел”) становится полноценной только после погружения в поле своих отношений …
http://www.px-pict.com/9/5/4/3/1.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение26.08.2009, 15:45 


16/03/07

823
Tashkent
Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):
В свете вышеизложенного можно выразить мысль, что “полноценная” арифметика – это наука, скорее, об отношениях, чем о числах. А “предварительная” арифметика (арифметика “чисел”) становится полноценной только после погружения в поле своих отношений …

    Наверно, И. Ньютон не имел в виду эти "отношения".

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение27.08.2009, 10:15 


20/03/08
421
Минск
Yarkin в сообщении #238164 писал(а):
    Наверно, И. Ньютон не имел в виду эти "отношения".

А какие имел? :)
И о каких отношениях Вы пишите в кавычках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение27.08.2009, 11:26 
Заслуженный участник


11/05/08
30999
Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):
Что же такого экстраординарного должно было произойти, чтобы эта парадигма “поплыла” и числа превратились в отношения?

Ничего, т.к. ничего такого и не происходило. Эти две ссылки описывают, как, наоборот, отношения потихонечку превращались в числа.

Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):
Почему бы было не оставить все как есть, т. е. числа называть числами, а отношения – отношениями (не смешивая их)?

Потому, что Вы недоцитировали Ньютона:
Цитата:
Число бывает трёх видов: целое, дробное и глухое. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное -- кратной долей единицы; глухое число несоизмеримо с единицей.

Ньютон совершенно однозначно вводит число как некий универсальный объект, и уже потом вводит на множестве этих объектов некую классификацию, подразделяя их на целые, рациональные и, между прочим, иррациональные. Почему? А просто практика требовала. При геометрических построениях в соответствующих аналитических выкладках систематически возникают "отношения" любого типа, причём совершенно равноправно, т.е. окажутся ли они целыми, рациональными или иррациональными -- дело случая и никакого принципиального значения не имеет. А вот работать с ними (производить арифметические операции) надо. Поэтому объединение "чисел" разных типов в один класс -- мера вынужденная. Вообще для Ньютона число -- это то, что можно сосчитать сколь угодно точно, и не очень принципиально, какими средствами, лишь бы непротиворечиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение28.08.2009, 15:30 


20/03/08
421
Минск
ewert в сообщении #238407 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):
Что же такого экстраординарного должно было произойти, чтобы эта парадигма “поплыла” и числа превратились в отношения?

Ничего, т.к. ничего такого и не происходило. Эти две ссылки описывают, как, наоборот, отношения потихонечку превращались в числа.

Разумеется, у меня опечатка. :)
Имелось в виду, конечно, следующее: “Что же такого экстраординарного должно было произойти, чтобы эта парадигма “поплыла” и отношения превратились в числа?”
ewert в сообщении #238407 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #237997 писал(а):
Почему бы было не оставить все как есть, т. е. числа называть числами, а отношения – отношениями (не смешивая их)?

Потому, что Вы недоцитировали Ньютона:

А давайте ограничимся сначала рассмотрением арифметики “рациональных чисел”. Тут-то Вы согласитесь со мной, что не было никаких оснований для того, чтобы числа сожрали отношения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group