2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 16:22 


10/09/14
292
Если в моей вычисленной работе, устремить $S$ к бесконечности и положить $\rho=\rho_{\text{ж}}$, то получается нулевая работа сил тяжести, хотя она там вполне себе работает, видно то что я нашёл не совсем работа сил тяжести, а вот что... надо подумать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 16:41 


14/01/11
3041
Viktor92 в сообщении #1070174 писал(а):
Если в моей вычисленной работе, устремить $S$ к бесконечности и положить $\rho=\rho_{\text{ж}}$, то получается нулевая работа сил тяжести

Собственно, не вижу ничего удивительного - сначала вы вытесняете некоторый объём жидкости на поверхность, а потом с поверхности заполняете этот объём той же самой жидкостью :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Skeptic в сообщении #1070085 писал(а):
Эксперимент сам учитывает плотность материала. Это не зависит от желания экспериментатора. Рассуждающие вне опыта обязаны учитывать плотность материала.

А вот экспериментаторы обязаны плотность указывать. Иначе их отчёты об эксперименте становятся бесполезными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Sender в сообщении #1070097 писал(а):
Хорошо, не могли бы вы привести ваши выражения для потенциальной энергии в случае бруска, плавающего плашмя и вертикально,
Виноват, некогда написать было, поэтому попытался перевалить все на Вас - не получилось ;)

Итак, у нас есть цилиндрический тазик (океан), в который мы втыкаем цилиндрическую же палку и пытаемся найти изменение потенциальной энергии. Что бы не запутаться, будем считать разность потенциальной энергии таза с палкой и без палки. Если мы все сделаем правильно, то от таза в ответе ничего остаться не должно.
Вложение:
bob.GIF
bob.GIF [ 3.17 Кб | Просмотров: 1819 ]

Я не Айвазовский, поэтому нарисовал как мог. Объем таза (океана) $V=HS$, объем погруженной части тела - $v=hs$. Потенциальная энергия океана $U_0=\frac{1}{2}g\rho_\text{ж}SH$. При подсчете изменения энергии надо узнать на сколько сдвинется центр масс системы океан+палка от того, что мы засунем палку в океан. Это изменение состоит из двух частей: изменения положения цм океана из-за того, что в нем просверлили дырку размером с погруженную часть, и изменение цм из-за положенной в дырку палки.
Вторая часть тривиальна, и точно положительна, поэтому займемся первой.

Мы во-первых, вылили в океан жидкость объемом $v$, а во-вторых, сделали у поверхности дырку размером $h\times s$. В результате первого действия уровень океана поднялся на величину $\Delta H=\frac{v}{S}$, что увеличило потенциальную энергию системы на $\Delta U_1=\frac{1}{2}g\rho_\text{ж}Hv$. Высверливание дырки уменьшает потенциальную энергию на $\Delta U_2=-g\rho_\text{ж}v(H+\Delta H-\frac{h}{2})$. Складываем и получаем
$$
\Delta U=\frac{g\rho_\text{ж}vh}{2}-\frac{g\rho_\text{ж}v^2}{S}.
$$Второй член для океана - ноль, а первый равен Вашему, но отличается знаком. Ошибка, IMHO, в том, что нельзя считать уровень океана неизменным. Да, сдвиг мал, но и масса огромна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon в сообщении #1070199 писал(а):
Если мы все сделаем правильно, то от таза в ответе ничего остаться не должно.

Нет, почему? Только в пределе $S\to\infty.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1070203 писал(а):
Нет, почему?
Член, зависящий от формы, я сначала потерял, а потом первые фразы лениво исправлять было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 19:23 


14/01/11
3041
amon в сообщении #1070199 писал(а):
Вторая часть тривиальна, и точно положительна

Не вполне понятный момент, где у вас палка находилась до помещения в океан, что при погружении в него её потенциальная энергия увеличилась?
amon в сообщении #1070199 писал(а):
Второй член для океана - ноль, а первый равен Вашему, но отличается знаком.

Хм, попробуем сравнить первый член вашего выражения: $\frac{g\rho_\text{ж}vh}{2}$
с моей версией:
Sender в сообщении #1069660 писал(а):
В случае, когда брусок плавает вертикально, она равна $U_2=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}ga^2(\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}b)^2=\frac{\rho^2g}{2\rho_\text{ж}}a^2b^2$
, учтя, что в данном случае $h=b\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}$, $v=a^2b$.
Не понимаю, где здесь отличие в знаке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 19:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Sender в сообщении #1070229 писал(а):
Не понимаю, где здесь отличие в знаке.
Здесь:
$$U= g\int\limits_{V_0}\rho z\mathrm{dV}- g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV}.$$У меня оба члена имеют одинаковые знаки. Энергия океана возрастает как от того, что на его поверхность положили палку, так и от того, что в воде образовалась ямка. Последнее не удивительно, поскольку в противном случае поверхность бы сама "дырявилась", раз это энергетически выгодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 19:56 


14/01/11
3041
amon в сообщении #1070242 писал(а):
У меня оба члена имеют одинаковые знаки.

Я брал за начало отсчёта уровень воды и направлял ось вверх, так что $z$ под интегралом во втором слагаемом отрицателен, что с учётом знака даёт положительность второго члена. А вот у вас-таки получается самодырявящийся океан.

-- Ср ноя 04, 2015 20:03:01 --

(Оффтоп)

Вообще, у меня стойкое ощущение, что в этой теме мы занимаемся преимущественно толчением воды в ступе :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Sender в сообщении #1070249 писал(а):
что с учётом знака даёт положительность второго члена.
Давайте все-таки как-нибудь договоримся. Если второй член положителен, то откуда минус здесь:
Sender в сообщении #1069920 писал(а):
Если угодно, полная потенциальная энергия системы в первом случае
$U_1'=U_1+\rho g a^2b(\frac{a}{2}-a\frac{\rho}{\rho_\text{ж}})=\frac{\rho g}{2}a^3b(1-\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}),$
и как тогда понимать это?
Sender в сообщении #1070055 писал(а):
Боюсь, что да. Допустим, плотность тела равна плотности жидкости. Моя формула даст нуль потенциальной энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 20:20 


14/01/11
3041
amon в сообщении #1070253 писал(а):
Давайте все-таки как-нибудь договоримся. Если второй член положителен, то откуда минус здесь:Sender в сообщении #1069920

писал(а):
Если угодно, полная потенциальная энергия системы в первом случае
$U_1'=U_1+\rho g a^2b(\frac{a}{2}-a\frac{\rho}{\rho_\text{ж}})=\frac{\rho g}{2}a^3b(1-\frac{\rho}{\rho_\text{ж}}),$

Здесь пресловутый второй член - это $U_1$, равный $\frac{\rho^2 g}{2\rho_\text{ж}}a^3b.$
А вот $\rho g a^2b(\frac{a}{2}-a\frac{\rho}{\rho_\text{ж}})$ - это потенциальная энергия бруска. При плотности тела, равной плотности жидкости, она отрицательна, т.к. за начало отсчёта потенциальной энергии бруска я брал положение, где центр его масс лежит на поверхности жидкости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 22:20 


10/09/14
292
Sender в сообщении #1070177 писал(а):
Собственно, не вижу ничего удивительного - сначала вы вытесняете некоторый объём жидкости на поверхность, а потом с поверхности заполняете этот объём той же самой жидкостью :-)

Так то оно так, но проводя все выкладки я предполагал, что мы опускаем палку вертикально из положения когда её нижний конец касается поверхности воды, точнее не мы, а сила тяжести, причем квазистатично. Допусти эта палка у нас имеет такую же плотность, как и вода, а ещё лучше пусть она сама состоит из воды, и если у меня работа силы тяжести получилась равной нулю, то ничего не мешает появлению на поверхности океана спонтанных столбов жидкости :-) Но тут уже наверно вступает в игру направление протекания процессов - беспорядок должен возрастать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5257
ФТИ им. Иоффе СПб
Sender в сообщении #1070256 писал(а):
Здесь пресловутый второй член - это $U_1$, равный $\frac{\rho g}{2}a^3b$
Угу. Наконец понял. Но осадок все равно остается. Завтра попытаюсь сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение04.11.2015, 23:46 


14/01/11
3041
Viktor92 в сообщении #1070155 писал(а):
$dU_{\text{б}}=-(\frac {b}{2}-h)a^2b \rho g=(-\frac {b}{2}+\frac {a^2 \rho b}{\rho_{\text {ж}}(S-a^2)})a^2b \rho g $

Вот это место проверьте ещё раз, мне кажется, тут ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Устойчивое равновесие кубика в воде.
Сообщение05.11.2015, 09:00 


01/12/11

1047
Отклоним плавающий кубик от положения равновесия. Рассмотрим вертикальное сечение кубика, проведённое через его центр тяжести, точку $O$. Четырёхугольник $ABCD$ образует подводный объём кубика. Из точки $O$ проведём вертикаль $OE$, совпадающую с вектором веса кубика. Отрезок $OE$ разделит подводный объём кубика на два четырёхугольника $AOED$ и $BOEC$. Эти четырёхугольники между собой равны. Подъёмные силы этих четырёхугольников также равны, но вращают кубик в противоположные стороны. Направление вращения кубика будет определять сила, центр высоты (ЦВ) которой расположен дальше от вертикали силы тяжести $OE$. Наложим четырёхугольник $AOED$ на четырехугольник $BOEC$, повернув его вокруг отрезка $OE$. Расположение ЦВ не совпадающих частей этих четырёхугольников: треугольников $EHF$ и $BHC$, определяют направление вращения всего кубика. Очевидно, что ЦВ треугольника BHC расположен дальше от отрезка $OE$, чем ЦВ треугольника $EHF$.
Таким образом, выведенный из равновесия плавающий кубик будет стремится повернуться против часовой стрелке, и займёт равновесное положение вверх вершиной.
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group