Устойчивое равновесие кубика в воде.

[Sender]

Munin в сообщении #1069883 писал(а):

А вот интересно, от плотности параллелепипеда это зависит?

Из первых сообщений темы явствует, что параллелепипед с $\rho=\frac{\rho_\text{ж}}{2}$ будет плавать ребром вверх. Теперь, если $\rho<\frac{\rho_\text{ж}}{2},$ глубина погружения $h$ определится из условия $\rho a^2=\rho_\text{ж}h^2$, т.е. $h=a\sqrt{\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}}.$
Отсюда потенциальная энергия системы $U=\rho g a^2b(\frac{a}{\sqrt{2}}-h+\frac{h}{3})=$\rho g a^3b(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}}).$
Значит, при $\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}}=\frac{1}{2}-\frac{\rho }{2\rho_\text{ж}}$ бруску будет уже всё равно, плавать ли плашмя (аксиально?) или ребром вниз. Отметим, что это никак не доказывает наличие или отсутствие иных возможных положений равновесия.
Пусть $t=\sqrt{\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}},$ тогда $\frac{1}{2}t^2-\frac{2}{3}t+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=0.$
$t^2-\frac{4}{3}t+{\sqrt{2}}-1=0.$
$D/4=\frac{13}{9}-\sqrt{2}.$
$t_{1,2}=\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{13}{9}-\sqrt{2}}$
Т.е. $\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}=\Bigl(\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{13}{9}-\sqrt{2}}\Bigr)^2$. Больший корень превосходит $\frac{1}{2}$, остаётся
$\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}=\Bigl(\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{13}{9}-\sqrt{2}}\Bigr)^2$, если нигде не ошибся .

-- Вт ноя 03, 2015 19:58:29 --

Ах, да. Выходит, большой пенопластовый брусок должен плавать плашмя.

[Viktor92]

Sender в сообщении #1069660 писал(а):

Пусть для простоты палка имеет вид прямоугольного параллелепипеда (бруска)$a\times a \times b$, $a<b$, и имеет плотность $\rho$. Тогда работа, необходимая для вытеснения жидкости плотности $\rho_\text{ж}$, будет равна $\int \limits_0^h \rho_\text{ж}gx Sdx=\frac{1}{2}\rho_\text{ж}gSh^2$, где $h$ - глубина погружения, $S$ - площадь сечения, параллельного поверхности жидкости.
Это и будет потенциальная энергия вытесненной жидкости.

По выкладкам всё логично, вот только что тут подразумевается под потенциальной энергией воды? Я так понимаю потенциальная энергия в гравитационном поле, но как тело в воде не крути, оно всё равно вытесняет одинаковый объём жидкости, и уровень воды в сосуде повысится всегда на один и тот же уровень, а значит изменение потенциальной энергия жидкости во всех случаях одинаково.
Т.о. мне кажется у вас здесь подразумевается потенциальная энергия в поле Архимедовой силы.

Sender в сообщении #1069931 писал(а):

Тот же фокус можно проделать и со вторым слагаемым, если считать плотность жидкости зависящей от глубины. Окончательно,

$$U= g\int\limits_{V_0}\rho z\mathrm{dV}- g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV},$$

Здесь получается складываем потенциальные энергии разной природы (хотя Архимедова силы тоже вызвана, как следствие гравитацией), я так понимаю в физических системах условие равновесия, это минимум суммарной потенциальной энергии, даже если природа составляющих энергий разная?

Sender в сообщении #1069958 писал(а):

глубина погружения $h$ определится из условия $\rho a^2=\rho_\text{ж}h^2$, т.е. $h=a\sqrt{\frac{\rho }{\rho_\text{ж}}}.$

Возможно вы ошиблись, ведь $a^3\rho g=ha^2\rho_{\text{ж}} g$ отсюда $h=a \frac {\rho}{\rho_ {\text{ж}} }$ Это для кубика.
Интуитивно кажется, что плавающие тела стремятся к минимизации расстояния между центром тяжести и точкой приложения равнодействующей силы Архимеда к подводной части. Тут у меня даже такая аналогия появилась, как например дипольный момент выстраивается по направлению электрического поля, так и в теле можно такой же "момент" ввести, который будет ориентироваться по направлению архимедовой силы.

[Sender]

Viktor92 в сообщении #1070015 писал(а):

как тело в воде не крути, оно всё равно вытесняет одинаковый объём жидкости, и уровень воды в сосуде повысится всегда на один и тот же уровень

Это верно.

Viktor92 в сообщении #1070015 писал(а):

а значит изменение потенциальной энергия жидкости во всех случаях одинаково.

А вот это неверно. Можно считать, что при погружении тела в жидкость часть жидкости вытесняется на поверхность, но от формы погруженной части тела зависит, сколько жидкости вытесняется с каждой глубины, что непосредственно влияет на потенциальную энергию.

Viktor92 в сообщении #1070015 писал(а):

Т.о. мне кажется у вас здесь подразумевается потенциальная энергия в поле Архимедовой силы.

Можно считать и так, и эдак - как удобнее.

Viktor92 в сообщении #1070015 писал(а):

Возможно вы ошиблись, ведь $a^3\rho g=ha^2\rho_{\text{ж}} g$ отсюда $h=a \frac {\rho}{\rho_ {\text{ж}} }$ Это для кубика.

В последнем посте рассматривался брусок, плавающий ребром вниз.

[amon]

Sender в сообщении #1069958 писал(а):

Из первых сообщений темы явствует, что параллелепипед с $\rho=\frac{\rho_\text{ж}}{2}$ будет плавать ребром вверх.

Я пока с Вашим подходом толком не разобрался, поэтому задам пару дурацких вопросов.
1. Вроде как у длинной палки квадратного сечения с $\rho=\frac{\rho_\text{ж}}{2}$ два устойчивых положения (диагональ квадрата горизонтальна и сторона горизонтальна). Как это следует из Ваших энергетических соображений?
2. Где в условии минимальности энергии запрятано равенство нулю моментов сил?
3. (Самый дурацкий) У меня получается, что знаки в $U= g\int\limits_{V_0}\rho z\mathrm{dV}+ g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV}$ одинаковые (как я написал). Вы настаиваете на разных знаках?

[sartok]

Monster в сообщении #1068866 писал(а):

Где ошибка в рассуждениях?

Вот здесь

Monster в сообщении #1068866 писал(а):

3. Следовательно, нам нужно отслеживать потенциальную энергию вытесненной воды. Пусть ребро куба имеют длину $a$. Тогда высота подъёма центра масс воды в первом случае равна $\frac{a}{3\times\sqrt{2}}$, а во втором - просто $\frac{a}{4}$.

Куб вполне подобен в смещениях шару. Потенциальная энергия в степенях свободы смещения куба от его ориентации не зависит, энергия воды - тем более.
Надо подумать о вращениях (довольно неожиданно при отсутствии пружин).
.........................Дальше качественный анализ прост.
И в итоге плавать на ребре лучше, чем на грани. А на вершине лучше чем на ребре.

Задача схематическая, качественная.
amon в нужную сторону указал:

amon в сообщении #1069283 писал(а):

AnatolyBa в сообщении #1069281

писал(а):
Оба состояния неустойчивы. То есть, кубик спокойно плавать не умеет, и если его в воду опустить, то крутится как наскипедаренный?

Не крутится, конечно. Но!

[Sender]

amon в сообщении #1070043 писал(а):

Вроде как у длинной палки квадратного сечения с $\rho=\frac{\rho_\text{ж}}{2}$ два устойчивых положения (диагональ квадрата горизонтальна и сторона горизонтальна). Как это следует из Ваших энергетических соображений?

Из моих соображений, боюсь, следует только, что первое из них устойчивее (энергетически выгоднее) второго. Впрочем, если бы удалось в явном виде получить зависимость потенциальной энергии от положения, её локальные минимумы и отвечали бы положениям устойчивого равновесия.

amon в сообщении #1070043 писал(а):

Где в условии минимальности энергии запрятано равенство нулю моментов сил?

Если бы Земля была шаром моменты сил не равнялись нулю, они взялись бы за наше тело и раскрутили его, сообщив ему известную кинетическую энергию. А откуда ей взяться, позвольте спросить?

amon в сообщении #1070043 писал(а):

У меня получается, что знаки в $U= g\int\limits_{V_0}\rho z\mathrm{dV}+ g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV}$ одинаковые (как я написал). Вы настаиваете на разных знаках?

Боюсь, что да. Допустим, плотность тела равна плотности жидкости. Моя формула даст нуль потенциальной энергии. Или, к примеру, чем глубже мы будем погружать пенопластовую палку в жидкость (загонять z в минус), тем большую энергию мы должны затрачивать, соответственно, увеличивая потенциальную энергию системы.

[amon]

Sender в сообщении #1070055 писал(а):

Боюсь, что да. Допустим, плотность тела равна плотности жидкости. Моя формула даст нуль потенциальной энергии.

Ну, если настаиваете, тогда то, что Вы считаете - это не потенциальная энергия. Ваш-же пример. Плотность тела равна плотности жидкости, т.е. мы просто долили жидкость в сосуд, уровень жидкости вырос, поднялся цт (центр тяжести), потенциальная энергия всей системы увеличилась. Если посчитать, то величина равна тому, что Вы пишете, но со знаком плюс.

[Sender]

amon в сообщении #1070062 писал(а):

мы просто долили жидкость в сосуд, уровень жидкости вырос

Нет никакого сосуда. Есть бескрайнее море, уровень жидкости не изменился.

[sartok]

Предельно упростим задачу. Пусть она будет плоская. Плоскость вертикальна, сила тяжести вниз. И плавает квадрат из четырёх кругов, соединённых тонкими стержнями.
Сперва положение "угол в воду". Тут при малом отклонении $\alpha$ возникает уводящий момент $a\sin\alpha$ и восстанавливающий момент $a\cos\alpha$ . Фигура возвращается.
Теперь "стержень в воду". Тут возникают два уводящих с синусами. То есть слабые, но всё же опрокидывают.
Возвращаясь к трём измерениям, подводим итог. Куб, плавающий на грани, опрокинется на ребро. Плавающий на ребре, погрузит одну вершину сколько сможет, выставив противоположную наверх.

amon , задача именно та самая. Можно аккуратно, строго математически построить набор дискретных моделей и строго перейти к пределу для непрерывной модели. Но зачем? Когда уже нагорожено столько нелепостей про энергию.

[amon]

Sender в сообщении #1070065 писал(а):

Нет никакого сосуда. Есть бескрайнее море, уровень жидкости не изменился.

А Вы посчитайте. Сосуд сократится. Да и как-то странно было бы, если в море положение равновесия одно, а в кастрюле - другое.

-- 04.11.2015, 02:36 --

sartok в сообщении #1070069 писал(а):

плавает квадрат из четырёх кругов, соединённых тонкими стержнями.

Это другая задача, и у нее другой ответ.

-- 04.11.2015, 03:16 --

Sender,
Я не говорю, что все, что Вы делаете (в этой задаче ;) неправильно. Я всего лишь говорю, что то, экстремум чего Вы ищете - не потенциальная энергия.

[Skeptic]

Munin в сообщении #1069883 писал(а):

Так что, господа, приводящие результаты опытов, вы должны ещё и плотность указывать.

"Вне эксперимента нет физики" - банальность, которую нельзя забывать при решении физических задач.
Эксперимент сам учитывает плотность материала. Это не зависит от желания экспериментатора. Рассуждающие вне опыта обязаны учитывать плотность материала.

Почему-то корабелы, оценивая остойчивость корабля, пренебрегают энергетическими расчётами в пользу поиска центра величины и опрокидывающих моментов.

[Sender]

amon в сообщении #1070070 писал(а):

А Вы посчитайте. Сосуд сократится. Да и как-то странно было бы, если в море положение равновесия одно, а в кастрюле - другое.

Хорошо, не могли бы вы привести ваши выражения для потенциальной энергии в случае бруска, плавающего плашмя и вертикально, как я это сделал в сообщении #1069920?

[Sender]

Кстати , вот этот член в целом какой знак у вас имеет:$g\int\limits_{V_\text{погр}}\rho_\text{ж} z\mathrm{dV}$? Даже не так. Увеличивается он или уменьшается по мере погружения тела в жидкость?

[Viktor92]

Sender в сообщении #1070038 писал(а):

А вот это неверно. Можно считать, что при погружении тела в жидкость часть жидкости вытесняется на поверхность, но от формы погруженной части тела зависит, сколько жидкости вытесняется с каждой глубины, что непосредственно влияет на потенциальную энергию.

Да, я через пару часов после написания поста, взял листок и бумагу и понял, что написал ерунду, извиняюсь, то что вы считали через работу Архимедовой силы, есть потенциальная энергия воды в поле тяжести. Рисунок для случая когда $\rho=\frac {\rho_{\text{ж}}}{2}$

Рассмотрим брусок $a\times a\times b$, и например случай когда его вертикально опускаем в сосуд. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на исходном уровне воды. Чтобы не было путаницы в знаках: по определению потенциальная энергия суть работа по перемещению тела из данного положения, в положение с нулевой потенциальной энергией (получается под начальным уровнем воды будет отрицательная потенциальная энергия) , т.о. видно, что изменения потенциальной энергии центра тяжести воды положительно, а центра тяжести бруска- отрицательно (первый поднялся, второй опустился).

Изменение потенциальных энергии воды и бруска после погружения $dU_{\text{в}}=\frac {a^2 b^2 \rho^2}{2 \rho_{\text {ж}}}g$, $dU_{\text{б}}=-(\frac {b}{2}-h)a^2b \rho g=(-\frac {b}{2}+\frac {a^2 \rho b}{\rho_{\text {ж}}(S-a^2)})a^2b \rho g $, где $h$ высота подъема жидкости, $S$ -площадь поперечного сечения сосуда (при расчёте изменения потенциальной энергии бруска, можно представить, что воды вообще нет, и считать изменение её от положения когда нижний конец бруска совпадает с начальным уровнем воды).
Теперь можно найти работу, как я понимаю сил тяжести, как изменение потенциальной энергии взятой с противоположным знаком (по определению), на приведение системы из исходного состояние в конечное. $A=-(dU_{\text{в}}+dU_{\text{б}})= a^2b^2 \rho g (\frac 1 2 - \frac {a^2}{\rho_{\text {ж}}(S-a^2)}-\frac {\rho }{2 \rho_{\text {ж}}})$
Теперь бы вот избавиться как-то от привязки к площади сосуда $S$.

[Sender]

Да конечный сосуд тут вообще не нужен, он только усложняет выкладки. Проще устремить его площадь к бесконечности.