Дискретнтые и непрерывные собственные значения - в чем суть?

[Muha_]

Пытаюсь самостоятельно разобраться в КМ из любопытства. Суть моих затруднений в следующем. Векторы состояния, как некие абстрактные математические сущности, могут быть представлены матрицами (в смысле, векторами из комплексных чисел) и непрерывными волновыми функциями (в смысле, комплексной функцией от некого непрерывного индекса). Суть вроде бы как одна и та же: функция - это просто очень большой вектор. Настолько большой, что его индекс можно считать непрерывным и бесконечным.
Оператор в виде матрицы может иметь набор собственных значений. Их количество равно (или меньше или равно?) размеру матрицы.
Однако, при переходе к непрерывному представлению ясность теряется: появляется дискретный и непрерывный спектры собственных значений.
Наивные ожидания состоят в том, что если оператор - это бесконечно большая матрица, то у него должно быть бесконечно много собственных значений. Ясно, что в действительности все сложнее.
В Принципах квантовой механики Дирака просто написано, что оператора в общем случае должен быть дискретный и (или) непрерывный спектр.
В учебнике Садбери спектры выводятся для операторов импульса и координаты неким обходным маневром через бра-векторы.
Я могу понять приведенные на эту тему выкладки процентов на 90, но при этом теряюсь в догадках что это все означает на самом деле.

Вопрос: откуда берутся два типа спектров для непрерывного оператора и как это работает? Есть ли какая-то не очень сложная книга по математике, из которой можно было бы получить понимание и интерпретацию этого вопроса?

Как я понимаю, векторы состояния, операторы и спектры собственных значений - это и есть вся основа квантовой механики. Все остальное - это в основном методы применения этой базовой модели для описания реальных физических явлений.

[Munin]

Всё это изучает сложный раздел математики функциональный анализ. Дело в том, что многие простые факты линейной алгебры непросто обобщаются на бесконечномерный случай.

И даже, как тут говорят, спектров с точки зрения математики есть не два, а три разных типа.

И книги по физике - как раз самое простое, что здесь можно прочитать, а книги по математике будут сложнее, обстоятельнее, глубже и непонятнее.

-- 18.10.2015 13:23:33 --

См. тему «Квантование момента». Там выступали участники, у которых можно конкретнее это спрашивать.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1063917 писал(а):

И даже, как тут говорят, спектров с точки зрения математики есть не два, а три разных типа.

Всё гораздо сложнее.

Вспомним для начала линейную алгебру. Там есть две спектральных теории: общая и эрмитова.

Эрмитова теория достаточно простая: с.з. вещественны, а с.в. ортогональны. Правда, возможны кратные с.з. и это создаёт проблемы для теории возмущений.

Общая теория сложнее. Мало того что с.з. не обязательно вещественны, а с.в. ортогональны, там (при кратных с.з.) появляются корневые пространства (связанные с жордановыми клетками).

Теперь бесконечномерные гильбертовы пр-ва. Там есть две спектральных теории: общая и самосопряжённая.

В общей теории всё сложно, есть 3 типа спектра: точечный, непрерывный, остаточный. Спектральное разложение доказывается в исключительных случаях (и там тоже могут быть корневые подпространства, в т.ч. "бесконечной высоты" жордановых клеток.

Но и самосопряжённая теория (а нас интересует именно она) непроста, хотя и есть спектральное разложение. Собственные значения образуют точечный спектр. Но эти с.з. могут быть бесконечнократными, неизолированными от остального спектра и друг от друга или всюду плотными. Поэтому выделяется дискретный спектр состоящий из собственных значений конечной кратности, изолированных от остального спектра и друг от друга. Весь остальной спектр называется существенным.

Если взять все с.з. (точечный спектр) и натянуть на с.в. замкнутое линейное пространство $H_{p}$, то оно может не совпасть со всем пространством $H$, пусть $H_c=H\ominus H_p$. Наш оператор действует на $H_p$ и $H_c$ отдельно. На $H_c$ с.з. нет, но есть непрерывный спектр. Поэтому одно и то же число может принадлежать и точечному и непрерывному спектру (в этой классификации! в общей—нет)

Более того, можно говорить о кратности точек непрерывного спектра. Но это ещё не всё: соответствующую спектральную меру можно разбить на две: абсолютно непрерывную и сингулярную непрерывную и потому есть абсолютно непрерывный спектр и сингулярно непрерывный спектр. Последний мог рассматриваться как математический артефакт—но уже в 21 веке было окончательно показано Авилой и Житомирской что этот спектр встречается у операторов реально возникающих в матфизике и спектр будет чем-то вроде Канторова континуума.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1063946 писал(а):

Всё гораздо сложнее.

И как всегда, большое спасибо за ваши пояснения.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1063946 писал(а):

На $H_c$ с.з. нет, но есть непрерывный спектр.

Всё-таки вот эта фраза мне выносит мозг. А в каком смысле число принадлежит этому спектру, если оно не с.з.?

[Pphantom]

Оффтопик отделен в «Real Spectra in Non-Hermitian Hamiltonians Having PT Symmetry»

[Muha_]

Red_Herring в сообщении #1063946 писал(а):

Если взять все с.з. (точечный спектр) и натянуть на с.в. замкнутое линейное пространство $H_{p}$, то оно может не совпасть со всем пространством $H$, пусть $H_c=H\ominus H_p$. Наш оператор действует на $H_p$ и $H_c$ отдельно. На $H_c$ с.з. нет, но есть непрерывный спектр. Поэтому одно и то же число может принадлежать и точечному и непрерывному спектру (в этой классификации! в общей—нет)

Предположу, что под "точечным спектром" здесь имеется ввиду дискретный спектр. С.з. дискретного спектра могут не позволить выразить любой вектор пространства. Тогда остается часть пространства, в которой есть непрерывные с.з. И дальше вывод все равно непонятен.

Red_Herring в сообщении #1063946 писал(а):

Последний мог рассматриваться как математический артефакт—но уже в 21 веке было окончательно показано Авилой и Житомирской что этот спектр встречается у операторов реально возникающих в матфизике и спектр будет чем-то вроде Канторова континуума.

Встречается у каких-то особых операторов, назначение которых в теории не постичь не специалисту, или эти операторы - потенциально возможные наблюдаемые?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1063968 писал(а):

Всё-таки вот эта фраза мне выносит мозг. А в каком смысле число принадлежит этому спектру, если оно не с.з.?

Самый простой пример: $L^2 $на отрезке, а оператор просто умножения на некую (вещественную, измеримую функцию $\lambda(x)$). Если множество $\{x: \lambda(x)=\tau\}$ имеет ненулевую меру, то $\tau $ с.з.
(и наоборот). Но если это не так, но для любого $\epsilon>0$ $\{x: \tau-\epsilon<\lambda(x)<\tau+\epsilon\}$ имеет ненулевую меру, то $\tau$ принадлежит непрерывному спектру, поскольку существуют "почти с.ф." : $\| (H-\tau)u_n\|\to 0, \|u_n\|=1$.

Можно и по другому: $\tau $ обобщенное с.з., ему соответствуют обобщенные собственные функции которые нашему пространству не принадлежат, но не совсем уж из него выбиваются: например, для $-i\partial_x$ на прямой обобщенными с.ф. будут $e^{ikx}$ с о.с.з. $k$, если $k$ вещественно, а если невещественно — так нет.

Muha_ в сообщении #1063988 писал(а):

Встречается у каких-то особых операторов, назначение которых в теории не постичь не специалисту, или эти операторы - потенциально возможные наблюдаемые?

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_Mathieu_operator

Несмотря на совсем уж простой и где-то даже сермяжный вид этот оператор оказался весьма непростым

Там есть ссылка на препринт "The Ten Martini problem" с решением.

Да, кстати, этот оператор матричный, и даже трехдиагональный, но спектр у него непрерывный. Как только Вы разрешаете бесконечные недиагональные матрицы, так нельзя исключить непрерывного спектра.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1063968 писал(а):

Всё-таки вот эта фраза мне выносит мозг. А в каком смысле число принадлежит этому спектру, если оно не с.з.?

Ну это просто. Математики рассуждают более строго, чем мы, физики. Вот возьмем, к примеру, опреатор импульса в свободном пространстве. По физике плоские волны --- собственные функции, а волновой вектор --- собственное значение. Но плоская волна не принадлежит $L^2$ ! Так что, строго говоря, собственных функций нет. А значит нет и с.з. Но есть "почти собственные функции" (например, очень длинные волновые пакеты, они принадлежат $L^2$). В физике этого не различают, но математики рассуждают более строго, а спектр определяют как область неаналитичности резольвенты (если я правильно помню). Изолированная особенность типа полюса --- есть с.з., более сложная особенность --- нет с.з.

-- Вс окт 18, 2015 22:41:16 --

Muha_ в сообщении #1063903 писал(а):

Наивные ожидания состоят в том, что если оператор - это бесконечно большая матрица, то у него должно быть бесконечно много собственных значений.

Ну так это так и есть. Но вот будут ли эти собствуенные значения "изолированными", отстоящими друг от друга на некий конечный интервал? Когда как, могут быть изолированными, а могут и нет.

[Munin]

Alex-Yu
Спасибо! Теперь можно попытаться читать то, что написал Red_Herring...

-- 18.10.2015 21:56:09 --

Red_Herring в этот раз тоже неожиданно добр и понятен... Спасибо!
В общем, физику достаточно научиться произносить "почти с.в." и "обобщённые с.з.", я правильно понял?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1064061 писал(а):

В общем, физику достаточно научиться произносить "почти с.в." и "обобщённые с.з.", я правильно понял?

Я думаю, что нет. Если мы имеем собственное значение, то частица связана и с точки зрения стандартной квантовой механики пребудет в этом состоянии вечно, а если почти с.з.--так нет. Во многих, хотя и не во всех конкретных случаях абсолютно непрерывного спектра начинают изучать рассеяние и резонансы (и математики, и физики).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1064096 писал(а):

Если мы имеем собственное значение, то частица связана и с точки зрения стандартной квантовой механики пребудет в этом состоянии вечно, а если почти с.з.--так нет.

Вопрос о связанности физики обдумывают отдельно. (Грубо говоря, так и пишут в ландафшицах: если состояние лежит в дискретном спектре (по энергии, то есть спектр гамильтониана), то состояние связанное, а если в непрерывном - то несвязанное.)

А вот "пребудет в этом состоянии вечно" - вроде, "почти с. з." этому не мешают (по фактору вырожденности).

[g______d]

Ну, как было сказано выше, наиболее правильная аналогия с мерами: любую меру можно разбить на 3 компоненты: точечную, абсолютно непрерывную и сингулярно непрерывную. Если понятие меры слишком абстрактно, можно рассмотреть вместо неё монотонную функцию на $\mathbb R$.

Далее, у точечной компоненты выделяют изолированные собственные значения конечной кратности и называют их дискретным спектром. По многим причинам, в частности, их поведение очень легко контролировать при возмущениях оператора чем-то малым.

Теперь про связанные состояния. Состояние называется связанным, если волновой пакет остаётся там же, где был, бесконечно долго. Что значит остаётся там же? Пусть $\psi$ -- состояние, $\|\psi\|=1$. Рассмотрим такую штуку: $f(t)=|(e^{itH}\psi,\psi)|$. Связанность будет означать, что при сколь угодно больших временах $f(t)$ бывает сколь угодно близко к единице. Можно доказать такую теорему (по сути, это теорема RAGE): состояние является связанным тогда и только тогда, когда состоит из собственных векторов точечного спектра.

Т. е. прямой динамический смысл есть именно у точечного спектра, а не у дискретного.

Чем отличается точечный спектр от дискретного? Двумя словами: "изолированные" и "конечнократные".

Первое нарушается, например, в модели Андерсона или в упомянутом выше Almost Mathieu (при $\lambda>1$ и почти всех $\alpha$ и $\omega$). Это называется "плотный точечный спектр".

Второе нарушается, например, в гамильтониане Ландау, там эти уровни Ландау бесконечнократны.

[Alex-Yu]

Muha_ в сообщении #1063903 писал(а):

Есть ли какая-то не очень сложная книга по математике, из которой можно было бы получить понимание и интерпретацию этого вопроса?

Я бы порекомендовал книгу Рихтмайера "Принципы современной математической физики" (2 тома). Этот вопрос в первом томе. Математики, пожалуй, будут недовольны таким изложением. Но для физика --- самый раз. И относительно несложно.

[Red_Herring]

Подчеркну: изолированность не только от других с.з. но и от непрерывного спектра. Это очень часто удаётся доказать—но также необязательно имеет место. Например, рассмотрим неймановский лапласиан в области с каспом (выходом на бесконечность), где ширина его убывает как $R^{-m}$. Тогда спектр = существенный спектр = $[0,+\infty)$. Будут ли с.з.? Неизвестно (в общем случае). Но если касп симметричный то оператор действует отдельно в пространствах функций чётных по $x_2$ где спектр = существенный спектр = $[0,\infty)$ и нечётных по $x_2$ где спектр = дискретный спектр накапливающийся к $\infty$. Что будет с ним при возмущениях—наука не знает.


\begin{tikzpicture} \fill[cyan!40,thick] (0,0) .. controls (.2,1) and (2,1) .. (3,.5) .. controls (4,.2) and (5,.2) .. (6,.15) -- (6,0); \fill[cyan!40,thick] (0,0) .. controls (.2,-1) and (2,-1) .. (3,-.5) .. controls (4,-.2) and (5,-.2) .. (6,-.15)-- (6,0); \draw[thin, ->] (0,0)--(6,0) node[right] {$x_1$}; \draw[thin, ->] (0,-1.3)--(0,1.3) node[right] {$x_2$}; \end{tikzpicture}