И даже, как тут говорят, спектров с точки зрения математики есть не два, а три разных типа.
Всё гораздо сложнее.
Вспомним для начала линейную алгебру. Там есть две спектральных теории: общая и эрмитова.
Эрмитова теория достаточно простая: с.з. вещественны, а с.в. ортогональны. Правда, возможны кратные с.з. и это создаёт проблемы для теории возмущений.
Общая теория сложнее. Мало того что с.з. не обязательно вещественны, а с.в. ортогональны, там (при кратных с.з.) появляются корневые пространства (связанные с жордановыми клетками).
Теперь бесконечномерные гильбертовы пр-ва. Там есть две спектральных теории: общая и самосопряжённая.
В
общей теории всё сложно, есть 3 типа спектра: точечный, непрерывный, остаточный. Спектральное разложение доказывается в исключительных случаях (и там тоже могут быть корневые подпространства, в т.ч. "бесконечной высоты" жордановых клеток.
Но и
самосопряжённая теория (а нас интересует именно она) непроста, хотя и есть спектральное разложение. Собственные значения образуют
точечный спектр. Но эти с.з. могут быть бесконечнократными, неизолированными от остального спектра и друг от друга или всюду плотными. Поэтому выделяется
дискретный спектр состоящий из собственных значений конечной кратности, изолированных от остального спектра и друг от друга. Весь остальной спектр называется
существенным.
Если взять все с.з. (точечный спектр) и натянуть на с.в. замкнутое линейное пространство
, то оно может не совпасть со всем пространством
, пусть
. Наш оператор действует на
и
отдельно. На
с.з. нет, но есть непрерывный спектр. Поэтому одно и то же число может принадлежать и точечному и непрерывному спектру (в этой классификации! в общей—нет)
Более того, можно говорить о кратности точек непрерывного спектра. Но это ещё не всё: соответствующую спектральную меру можно разбить на две: абсолютно непрерывную и сингулярную непрерывную и потому есть
абсолютно непрерывный спектр и
сингулярно непрерывный спектр. Последний мог рассматриваться как математический артефакт—но уже в 21 веке было окончательно показано Авилой и Житомирской что этот спектр встречается у операторов реально возникающих в матфизике и спектр будет чем-то вроде Канторова континуума.