А монотонную функцию на какие компоненты надо разбивать? А то я перевода этих словей не знаю.
Ок. Для начала заметим, что мера определяется своими значениями на множествах вида
![$(-\infty,x]$ $(-\infty,x]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/7/9f7978b26149901b5bcd604f58e15d6482.png)
, и это является монотонной функцией

. Поэтому без разницы, работать с мерами или монотонными функциями. Будем работать с монотонными функциями.
Заметим, что монотонная функция имеет не более чем счетное число разрывов. Выделим эти разрывы в отдельную монотонную функцию, рассмотрев

Сумма имеет смысл, потому что ненулевых слагаемых не более чем счётное число. Функция

монотонна, она называется "функцией скачков" функции

. Функция

тоже монотонна и непрерывна; мы удалили все разрывы.
Дальше, более сложная теорема (без доказательства): монотонная функция почти везде дифференцируема, и её производная интегрируема по Лебегу. Рассмотрим

. Можно показать, что

тоже монотонна.
Таким образом,

где все три слагаемых монотонны.

является ступенчатой функцией, содержащей все разрывы

.

является абсолютно непрерывной функцией, т. е. дифференцируемой почти везде и удовлетворяющей формуле Ньютона-Лейбница.

почти везде дифференцируема, монотонна, и производная почти везде равна нулю. Такая функция называется сингулярно непрерывной.
Перейдём обратно к мерам. Мы разложили нашу меру на три компоненты:

(purely point, absolutely continuous, and singular continuous, respectively). Охарактеризуем каждую из них.

-- это не более чем счётная сумма

-мер.

абсолютно непрерывна; иногда говорят "абсолютно непрерывна относительно меры Лебега". Она обладает тем свойством, что отличается от меры Лебега только весом. Т. е. для любого отрезка (или борелевского множества)

имеем

, где интеграл в правой части является обычным интегралом Лебега, а
![$u(x)=\mu_{\mathrm{ac}}(-\infty,x]$ $u(x)=\mu_{\mathrm{ac}}(-\infty,x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/9/e194a5fdf9168c5cfc7e8b42af267c6d82.png)
.

-- то, что осталось. Пример: канторова лестница. Это непрерывная монотонная функция с почти везде нулевой производной. Она порождает канторову меру, которая является сингулярно непрерывной.