А монотонную функцию на какие компоненты надо разбивать? А то я перевода этих словей не знаю.
Ок. Для начала заметим, что мера определяется своими значениями на множествах вида
, и это является монотонной функцией
. Поэтому без разницы, работать с мерами или монотонными функциями. Будем работать с монотонными функциями.
Заметим, что монотонная функция имеет не более чем счетное число разрывов. Выделим эти разрывы в отдельную монотонную функцию, рассмотрев
Сумма имеет смысл, потому что ненулевых слагаемых не более чем счётное число. Функция
монотонна, она называется "функцией скачков" функции
. Функция
тоже монотонна и непрерывна; мы удалили все разрывы.
Дальше, более сложная теорема (без доказательства): монотонная функция почти везде дифференцируема, и её производная интегрируема по Лебегу. Рассмотрим
. Можно показать, что
тоже монотонна.
Таким образом,
где все три слагаемых монотонны.
является ступенчатой функцией, содержащей все разрывы
.
является абсолютно непрерывной функцией, т. е. дифференцируемой почти везде и удовлетворяющей формуле Ньютона-Лейбница.
почти везде дифференцируема, монотонна, и производная почти везде равна нулю. Такая функция называется сингулярно непрерывной.
Перейдём обратно к мерам. Мы разложили нашу меру на три компоненты:
(purely point, absolutely continuous, and singular continuous, respectively). Охарактеризуем каждую из них.
-- это не более чем счётная сумма
-мер.
абсолютно непрерывна; иногда говорят "абсолютно непрерывна относительно меры Лебега". Она обладает тем свойством, что отличается от меры Лебега только весом. Т. е. для любого отрезка (или борелевского множества)
имеем
, где интеграл в правой части является обычным интегралом Лебега, а
.
-- то, что осталось. Пример: канторова лестница. Это непрерывная монотонная функция с почти везде нулевой производной. Она порождает канторову меру, которая является сингулярно непрерывной.