Ясной картины у меня похоже нет. Почему барабан или струна колеблются с определенным набором частот? Наверно потому, что не периодические процессы по каким-то глубоким причинам теряют энергию быстрее чем периодические.
У-у-у, вот здесь надо разгребать.
Непериодические процессы
могут быть разложены по периодическим как по базису. Вот что главное, что вы должны уловить.
Оказывается, даже дискретного набора периодических процессов - достаточно, чтобы образовывать базис в нужном пространстве (в счётномерном пространстве нужное-число-раз-гладких функций от
).
Кроме того, я бы советовал освежить ураматы вообще. Вспомнить суть, и эквивалентность между собой, трёх способов решения волновых и гиперболических уравнений:
- разложение в бегущие волны, или метод характеристик, или метод Римана;
- разложение в стоячие волны, или метод собственных колебаний, или метод Фурье;
- разложение по фундаментальным решениям, или по волнам от точечных источников, или метод Грина, или в физике упоминается ещё как принцип Гюйгенса.
(Они отвечают важным типам физических задач: задача рассеяния, стационарные состояния, и переходные процессы.)
А разговоры про потерю энергии и затухание отложим до момента, когда у вас эта картина в голове сложится. (По сути, потеря энергии - это ровно те же дискретные частоты, только немножко комплексные, так что экспоненты затухают, и возникают всякие резонансы конечной ширины. А тот факт, что любой процесс разлагается по этому дискретному базису, никуда не девается.)
Поверхность барабана ограничена, поэтому периодические колебания соответствуют только определенным кратным размерам барабана гармоникам.
Вот это вы понимаете правильно. И дальше, у вас должно "щёлкнуть" в голове, что ничего кроме периодических колебаний, в барабане не существует.
Любое непериодическое колебание - это всего лишь сумма периодических с некратными периодами. В барабане полно таких некратных периодов (в более простых системах, например, в струне, могут быть только кратные, ну тогда и колебания будут только периодическими). Математически такое колебание - это блуждание по некоторому тору.
Второй вопрос - аналогия с собственными значениями операторов. Если струна колеблется с длиной волны кратной длине струны, то можно описать ее состояние функцией, которая со временем будет не меняться а только умножаться на комплексное число (собственное состояние). Подобные функции составляют полный набор в смысле, что любое колебание можно представить в виде их суммы.
Как это все представить как нахождение собственных значений оператора не знаю.
Смотрите. Поставим рядом нестационарное уравнение Шрёдингера и стационарное уравнение Шрёдингера:
Условие сверху - это как раз условие, что функция со временем не меняется, а только умножается на комплексное число - потому что это уравнение попросту означает
А уравнение справа - это как раз уравнение на нахождение собственных значений
и собственных функций
оператора
(Со струной аналогично, но с УШ мне проще это показать.)
-- 22.10.2015 12:32:16 --В случае спектрального проектора мы, фактически, рассматриваем инвариантное подпространство оператора. При сужении оператора на инвариантное подпространство проследить за спектром легко. В случае ящика мы тоже сужаем оператор на подпространство, но не инвариантное.
"Интересно. А теперь по-русски?" Что такое инвариантное подпространство оператора? И что такое следить за спектром? :-)