Система отсчета и математический формализм

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1061575 писал(а):

пусть замкнутая веревка (в целом, как и все ее фрагменты) покоится в ИСО

Я понимаю это так, что "верёвка" для вас - это $(1,1)$-струна плюс времениподобная конгруэнция на ней. И если я возьму другую конгруэнцию (другой закон движения частей верёвки), но сохраню струну (занимаемую верёвкой область пространства-времени), то результат моих упражнений вы назовёте другой верёвкой?

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061578 писал(а):

Я понимаю это так, что "верёвка" для вас - это $(1,1)$-струна плюс времениподобная конгруэнция на ней

Полагаю, да (хотя не 100% уверен что имеется ввиду под "времениподобная конгруэнция на ней").

Утундрий в сообщении #1061578 писал(а):

И если я возьму другую конгруэнцию (другой закон движения частей верёвки), но сохраню струну (занимаемую верёвкой область пространства-времени), то результат моих упражнений вы назовёте другой верёвкой?

Да, я это назову "другой веревкой" (если правильно понимаю что имеется ввиду под "времениподобная конгруэнция на ней").

Два примера (открытой и замкнутой "струны"):

1) Пусть в ИСО покоится ненатянутая резиновая веревка (и все ее фрагменты) - пригвозденная концами в x=0 и x=10, для любого момента времени.
Занимаемая ею область пространства-времени (2-полоса "открытой струны" в плоском ПВ) - та же самая, как для веревки пригвозденной концами в x=0 и x=10 в той же самой ИСО - но по которой бегут продольные волны натяжения/сжатия (ее фрагменты не неподвижны в ИСО, а двигаются туда-сюда).
Веревка по которой бегут волны натяжения-сжатия все время - это другая веревка - а не та же самая как та ненатянутая, которая покоится все время.

2) Пусть в ИСО все время покоится замкнутая ненатянутая веревка (и все ее фрагменты) - с пространственную геометрию круга постоянного радиуса R (для любого момента времени этой ИСО).
Она "занимает" ту же самую 2-трубку в плоском ПВ, как и веревка того же материала, расположенная по того же самого радиуса R, в той же самой ИСО - но которая (и все ее фрагменты) все время вращается с постоянной угловой скоростью вокруг центра в ИСО.
Это опять - разные веревки.
В частности, та веревка которая все время вращается равномерно будет растянута (у нее будут внутренние силы продольного растяжения, на отличие от первой веревки), и ее собственная длина будет больше ($>2\pi R$), чем у ее покоящейся альтернативы ($=2\pi R$).

Насчет этого существует консенсус в физике, и в этих частных случаев предмет спора отсутствует. Я не придумываю ничего нового.

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1061586 писал(а):

Да, я это назову "другой веревкой"

Прелестно. Вернёмся к верёвке, все части которой покоятся в некоторой ИСО. Что вы назовёте её длиной?

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061655 писал(а):

Прелестно. Вернёмся к верёвке, все части которой покоятся в некоторой ИСО. Что вы назовёте её длиной?

Для веревки у которой все элементы покоятся в некоторой ИСО все время - ее собственная длина равна обычной

$$L(t_0)=L=\int_{t=t_0}dl$$

Поскольку такая веревка по построению также "твердая" в плоском ПВ (элементы не движутся относно друг-друга в некоей ИСО ее покоя) - результат интегральной собственной длины той же самой веревки $L(t_0)$ не зависит ни от выбора "момента времени", ни от выбора ИСО (и вообще, любой синхронизированной СО) в которой ведется рассчет. Xотя в других ИСО гиперповерхность t=t_0 с которой берется сечение мирового листа веревки, уже другая.

Это потому, что такой интеграл имеет простой физический смысл - необходимого количества единичных 1-эталонов ("метровых линеек") взаимнонеподвижных к соответнами фрагментами веревки и накрывaющих ее плотно (без перекрытий и зазоров).
Для "твердых" веревок в плоском ПВ (веревок у которых все фрагменты, все время покоятся в некоей ИСО) - это инвариант ("собственная длина") - и равен их обычной длине в их собственной ИСО (т.е. той ИСО в которой они покоятся).

В частности, для открытой прямолинейной "твердой" веревки ("стержня"), покоящейся все время в некоей ИСО - если считать через ИСО' (в которой фрагменты данной веревки движутся с постоянных скоростeй v), получим ту же самую собственную длину:

$$L'=\int_{D:t'=t'_0,x' \in ({x_0}',{x_1}')}dl=\int_{D}dx=\int_{D}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dx' = \int_{D}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}dl'= L$$

(тут упрощенная формула в которой как обычно подразумевается что оси ИСО совмещены по той же оси x по которой располагается открытая веревка, и их взаимная скорость v в том же направлении).

-- 12.10.2015, 20:27 --

Утундрий: Ниже опять "много букв" - сори, но не хочется снова повторять все "по ложечку" - так что лучше дать заодно ответов на всевозможные будущие вопросы в сконценрированном виде. (предыдущие сообщения где все это было в несколько разрозненном виде, вы очевидно не смотрели и смотреть не будете).

Для конкретного случая замкнутой по кругу веревки вращающейся в ИСО (равномерно, или ускоренно) - см. вторую часть сообщения post1060266.html#p1060266
В самом общем случае деформирующегося тела (фрагменты движутся по-разному со времени, возможно сопутствующая СО не синхронизируема): интегрируется элемент собственной длины фрагментов в их мгновенно-локально-сопутствующих СО $dl=\sqrt{\gamma_{\alpha}_{\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}}$ (про смысла обозначений см. например ЛЛ, том 2, 84.6); сам контур интегрирования однозначно выбирается из пересечения глобальной одновременности $t=t_0$ выбранной синхронной СО, с "мировым листом" тела в четырехмерии.
Таким образом "собственная длина в момент $t_0$" в самом общем случае деформирующихся тел - зависит от выбора гиперповерхности "одновременности" $t=t_0$ которая однозначно определяет контур интеграла в 4d. Это вполне нормально, когда элементы веревки меняют свою собственную длину с временем (и учитывая что веревка - протяженное по пространственным измерениям тело).

Единственная моя "отсебятина" (обобщение понятия "собственной длины") - связана со следующим коментаром ЛЛ:

Цитата:

Необходимо, однако, помнить, что $g_{ik}$ зависят, вообще говоря,от $x^0$, так что и пространственная метрика (84.6) меняется со временем. По этой причине не имеет смысла интегрировать $dl$ — такой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии между двумя заданными пространственными точками он брался. Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом. Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчета, в которых $g_{ik}$ не зависят от времени, и потому интеграл $\int{dl}$ вдоль пространственной кривой имеет определенный смысл.

Так вот - для таких общих случаев я просто предлагаю брать интеграл по конкретно выбранном пространственноподобном контуре интегрирования: образованного путем пересечением "мирового листа тела" с пространственноподобной гиперповерхности одновременности некоей конкретно-выбранной синхронной СО (такую всегда можно подобрать).
Так как в таких общих ситуаций "собственная длина тела" уже не инвариант (зависит от контура интегрирования) - нужно конкретизовать контур интегрирования - для определенности, предлагаю говорить про "собственную длину тела в момент $t_0$ такой-то синхронной СО" (вторая часть включается в понятие - чем и контур однозначно определяется).

[Утундрий]

Вы так и не сказали, из каких соображений выбрали сечение $t=const$. Просто потому, что оно красивое?

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061786 писал(а):

Вы так и не сказали, из каких соображений выбрали сечение $t=const$. Просто потому, что оно красивое?

Хороший вопрос (хотя неверно, что "я так и не сказал" - я уже говорил об этом).

Да, оно мне "нравится" ("красивое"), в следующем смысле: в частных случаев, сводится к обычном классическом понятии мгновенных трехмерных длин/площадей/объемов, для меняющихся тел.

Если ребенок надувает воздушный шар - имеются разные способы "мерять длину" большой окружности шара. Например варианты:
а) расположить армию жуков на большой окружности раздуваемого шара, попросить их измерить длин своих локальных участков одновременно, и результатов суммировать;
б) единственный жук ползет по поверхности, последовательно прикладывая эталонную линейку в разных моментов времени к большой окружности раздувающегося шара, пока не обойдет его полностью; суммируем результаты его последовательных измерений
(аналогично для пространственных 2-площадей, 3-объемов)

Хотя результаты этих разных способов измерения будут разными - традиционно (и уже в классике), говоря про длину большой окружности такого раздувающегося шара (или объем, площадь) - подразумевают именно "в конкретный момент времени" - т.е. всегда подразумевается вариант а) означающий "в данный момент сечения $t=const$".

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1061466 писал(а):

Разумеется знаю ; )

То о чем вы написали - это 4-длина любой 4-линии виляющей в четырехмерии и ограниченной с обоих сторон парой 4-точек - событий в 4d (вкл. времениподобной, за учетом знака под корня на соответных участков).
Только лучше не демагогически обозначать ее L, а как-то по-другому - чтобы ясно было что это 4-длина некоей 4-линии в четырехмерии (под интегралом у вас стоит дифф. элемент 4-интервала $ds$) - а не обычное трехмерное расстояние.

Значит не знаете.

Munin в сообщении #1061389 писал(а):

С одной стороны так, с другой стороны, это не согласуется с кое-чем другим, напр., в ЛЛ-2

В общем, длину палки или верёвки я так вычислять не советую.

По определению имеем:

$$ L(\Gamma) = \int\limits_{\Gamma} \sqrt{ - g_{\mu \nu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\nu} } d\ell = \int\limits_{\Gamma} \sqrt{ \left( e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 - \left( e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 } d\ell. \eqno(1) $$

Для длины пространственно подобной линии $\Gamma$ трансверсальной мировым линиям

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0 \eqno(2) $$

из формулы (1) получается следующее выражение:

$$ L(\Gamma) = \int\limits_{\Gamma} \sqrt{ \left( e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} \right)^2 } d\ell = \int\limits_{\Gamma} \sqrt{ \gamma_{\mu \nu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\nu} } d\ell. \eqno(3) $$

Таким образом

$$ \gamma_{\mu \nu} = e^{(0)}_{\mu} e^{(0)}_{\nu} - g_{\mu \nu}. \eqno(4) $$

Для системы отсчёта описанной в ЛЛ2 имеем $e^{(0)}_{\mu} = g_{0 \mu} / \sqrt{g_{00}}$ и ковариантная формула (4) превращается в нековариантную формулу из ЛЛ2:

$$ \gamma_{\mu \nu} = \frac{g_{0 \mu} g_{0 \nu}}{g_{00}} - g_{\mu \nu}. \eqno(5) $$

[Утундрий]

manul91
Такое определение вряд ли получится обобщить. Жуки, линейки - это прелестно и мелодично, да только имеет к псевдоэвклидову пространству весьма отдалённое отношение. Не говоря уж о надуваемом воздушном шарике. Давайте рассуждать последовательно. Первое, что необходимо выяснить - обязана ли длина верёвки знать, что и как вне верёвки располагается? Скажем, ваши любимые освещающие её из разных неожиданных мест фонарики. Или же, и я склоняюсь именно к этому "или", длина верёвки (при заданном законе движения её частей) должна определяться только манипуляциями непосредственно на верёвке?

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061833 писал(а):

Такое определение вряд ли получится обобщить. Жуки, линейки - это прелестно и мелодично, да только имеет к псевдоэвклидову пространству весьма отдалённое отношение. Не говоря уж о надуваемом воздушном шарике.

Я говорил конкретно, со ссылками: см. сообщение post1061772.html?sid=a65b52730ff38f723542a0e1e554c980#p1061772
Ожидаю и от вас того же. Шарики, жуки, линейки - все это для иллюстрации.

Утундрий в сообщении #1061833 писал(а):

Давайте рассуждать последовательно. Первое, что необходимо выяснить - обязана ли длина верёвки знать, что и как вне верёвки располагается?

Непонятно о чем вы говорите, "собственная длина" - это термин такой - она ничего не может "знать" или "не знать". Это все равно спрашивать должны ли чего-либо "знать" или "не знать" например "скорость", "импульс", "энергия", "масса".

Утундрий в сообщении #1061833 писал(а):

Скажем, ваши любимые освещающие её из разных неожиданных мест фонарики.

"Синхронизация СО" - точно такой же термин. В частности, "синхронизация по сигналу из центра" - соответствует выбору времевой координаты вращающейся СО, которая используется в пар 82 и 89 ЛЛ 2 (точнее, связи времевых координат вращающейся СО и ИСО в которой происходит вращение $t'=t$).

Утундрий в сообщении #1061833 писал(а):

Или же, и я склоняюсь именно к этому "или", длина верёвки (при заданном законе движения её частей) должна определяться только манипуляциями непосредственно на верёвке?

Если правильно понимаю вашу мысль - то разумеется "должна определяться манипуляциями непосредственно на верёвке".
Только когда разные части веревки меняют свою собственную длину - или если хотите, локальные расстояния между соседних атомов веревки меняются со временем (как в раздувающемся шарике - ; ) - при интегрировании существенно, в какие моменты регистрируются результаты этих "манипуляций", для каждом дифференциально малом фрагменте веревки.
Еще раз - все что нужно, рассказано в сообщении post1061772.html?sid=a65b52730ff38f723542a0e1e554c980#p1061772 ; а то о чем не рассказано - к нему даны ссылки.
Возможно вы незнакомы с соответной физической терминологии - она формализована и подробно разьяснена в ЛЛ том 2 (вводные части из разделов СТО и ОТО) на котором я сослался; переписывать здесь учебники бессмысленно.

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1061844 писал(а):

Если правильно понимаю вашу мысль - то разумеется "должна определяться манипуляциями непосредственно на верёвке".

А ежели так, то подумайте - какими манипуляциями "непосредственно на верёвке" мы располагаем? Желательно остановиться на достаточно универсальных манипуляциях.

[schekn]

manul91 в сообщении #1061772 писал(а):

В самом общем случае деформирующегося тела (фрагменты движутся по-разному со времени, возможно сопутствующая СО не синхронизируема): интегрируется элемент собственной длины фрагментов в их мгновенно-локально-сопутствующих СО $dl=\sqrt{\gamma_{\alpha}_{\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}}$ (про смысла обозначений см. например ЛЛ, том 2, 84.6); сам контур интегрирования однозначно выбирается из пересечения глобальной одновременности $t=t_0$ выбранной синхронной СО, с "мировым листом" тела в четырехмерии.

Сергей прав, данная величина $dl^2$ не является инвариантной. Она инвариантна только относительно преобразований :
$\bar{t}=f^{0}(t,x^i), \quad \bar{x^i}=f^{i}(x^k)$
Пространственные преобразования не содержат время. Иногда их называют хромо инвариантными преобразованиями. Иногда говорят, что при этом мы остались в одной " Системе отсчета" . Поэтому она вообще говоря нефизическая относительно произвольных преобразований координат. Если точки пространства-времени $(t,x,y,z)$ пронумеровать произвольным образом, почему ваша "физическая" величина $L$ изменяется?

[Утундрий]

schekn в сообщении #1061980 писал(а):

Если точки пространства-времени $(t,x,y,z)$ пронумеровать произвольным образом, почему ваша "физическая" величина $L$ изменяется?

Это и есть тот второй вопрос, который вы собирались задать?

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061885 писал(а):

manul91 в сообщении #1061844 писал(а):

Цитата:

Если правильно понимаю вашу мысль - то разумеется "должна определяться манипуляциями непосредственно на верёвке".

А ежели так, то подумайте - какими манипуляциями "непосредственно на верёвке" мы располагаем? Желательно остановиться на достаточно универсальных манипуляциях.

"Манипуляции" описаны в ЛЛ 2 пар 84 "Расстояния и промежутки времени" - дефинируют "как измерить дифференциально малого расстояния dl". Там для наглядности даже и картинка есть, как это делается - "рис 18" (это кстати, эквивалентно измерением "дифференциально малой" твердой линейки, покоящейся в мгновенно-сопутствующей локальной СО).

[Утундрий]

manul91
Вот и ладушки. Осталось определиться, кто у нас будет выделенной координатой $x^0$ из цитированного параграфа.

schekn
Кстати, помедитируйте над такой физической величиной как скорость.

[manul91]

schekn в сообщении #1061980 писал(а):

Сергей прав, данная величина $dl^2$ не является инвариантной. Она инвариантна только относительно преобразований :
$\bar{t}=f^{0}(t,x^i), \quad \bar{x^i}=f^{i}(x^k)$
Пространственные преобразования не содержат время. Иногда их называют хромо инвариантными преобразованиями. Иногда говорят, что при этом мы остались в одной " Системе отсчета" . Поэтому она вообще говоря нефизическая относительно произвольных преобразований координат. Если точки пространства-времени $(t,x,y,z)$ пронумеровать произвольным образом, почему ваша "физическая" величина $L$ изменяется?

schekn - вестись бездумно на слова SergeyGubanov (как впрочем, и на любого другого) - вредно для психического здоровья.

Включайте собственную голову, $dl$ и не обязано являться "инвариантом вообще".

"Инвариантом вообще", является $ds^2=d\tau^2 + dl^2$ (где $d\tau$ - дифференциальная компонента собственного времени в локально-мгновенно-сопутствующей СО, а $dl$ - ортогональная ею компонента собственного расстояния в локально-мгновенно-сопутствующей СО).

Таким образом $d\tau$ и $dl$ являются дифференциальными компонентами дифференциального 4-вектора $ds$: $d\tau$ касательна к наперед заданной конкретной мировой линии в 4d, в конкретно заданной точки (событии) на ней, а $dl$ ортогонально $d\tau$ в этой же точке.

И эти компоненты не являются "инвариантами вообще", а становятся однозначными по отдельности (и в этом смысле, инвариантами) только вместе с заданием конкретной мировой линии в 4d, в конкретно заданной точки (события) на ней.

Другими словами, $dl$ (как и $d\tau$) становится инвариантом не "вообще", а только "при конкретно заданном событии на конкретно заданной веревки" - т.е. для конкретно заданной мировой линии ее элемента и конкретно заданного события на ней, в котором проводится измерение локального расстояния (элемента длины).

Преобразования "нарушающие инвариантность dl" типа $\quad \bar{x^i}=f^{i}(t,x^k)$ - означали бы просто что длина измеряется не в мгновенно-локально-сопутствующей СО в данном событии на данной траектории элемента веревки - а в движущейся (с некоей мгновенной 3-скорости v) относно ней мгновенно-локально-НЕсопутствующей СО. Т.е. это по определению уже не будет "расстояние" ("собственная длина"), а будет и "лоренц-фактор".

Если затрудняетесь осмыслить вышесказанное, могу дать простейший пример со СТО и конечных (не дифференциальных длин):
"Длина инерциального твердого стержня" в СТО - не является инвариантом относно бустов (будет разной в разных ИСО движущихся относно друг друга).
Тем не менее "собственная длина стержня" (которая является его "обычной длиною" только в одной, конкретной ИСО - а именно в той, в которой он покоится - и ни в какой другой) - считается "инвариантом".
Не "инвариантом вообще" ("инвариантом вообще" является ${\Delta S}^2= {\Delta T }^2 - {\Delta X}^2$). А "инвариантом" в смысле, что раз задан конкреный стержень, такая ИСО однозначно определена - задание стержня выделяет однозначно из всех ИСО одной конкретной - его ИСО покоя. Таким образом по определению как бы не вычисляй - для "собственной длиной этого, конкретно заданного стержня" - всегда получим одно и то же.