Система отсчета и математический формализм

[Утундрий]

(Оффтоп)

Где-где... На обочине! Пёк Ник на обочине, а что именно пёк - о том нам знать не положено.

[schekn]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1061045 писал(а):

Где-где... На обочине! Пёк Ник на обочине, а что именно пёк - о том нам знать не положено.

"Им главное название придумать. Пока не придумал, смотреть на него жалко, дурак дураком.
Ну а как придумал какой-нибудь гравиконцентратор, тут ему словно всё понятно становится,
и сразу ему жить легче."-А.и Б.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1061019 писал(а):

manul91, так а в чём проблема-то?

Так вы-то сами себе ответили "в чем проблема" с вашем же определении длины:

SergeyGubanov в сообщении #1061019 писал(а):

Это бесполезно

Понятие интегральной длины - например, растягиваемой резины - подразумевает что она существует и однозначно определена, для любого конкретного момента какого-то глобального времени (и это верно для любой длины - как координатной, так и собственной т.е. в сопутствующей системе отсчета).

Иначе да - оно бесполезно.

SergeyGubanov в сообщении #1061019 писал(а):

Вы хотите организовать привязку длины карусели к одному событию?

Нужна не "привязка к одному событию" - а к единому моменту какой-то глобальной гиперповерхности одновременности (так как тело протяжено в пространстве).

И этого не "я хочу" - это элементарный смысл - без котором, вообще нельзя говорить о том "чему равны длина/площадь/объем" (собственные или координатные) не абсолютно-твердых объектов, ни в каком смысле.

Но да, вы правы - вашего определения длины нельзя связать не только с глобальной одновременности, но его ДАЖЕ нельзя привязать и к конкретно взятому событию конкретного элемента на теле (с которого например, ограничить интеграл - скажем если выберем конкретной вспышки произошедшей с конкретной лошадки $P_0(t_0)$ на периферии).
Ибо несмотря на то что выбор конкретного события с конкретном элементе тела устраняет неопределенность типа "с какой лошадки начать" - все равно, остаются две возможности: либо интегрировать обходя цилиндр по R=const по трансверзальной зеленой линии в 4d с выбранном событии лошадки $P_0(t_0)$ до несколько позднем ее событии $P_0(t_0+\Delta t_1)$, либо с несколько раннем событии лошадки $P_0(t_0-\Delta t_2)$ до выбранном событии $P_0(t_0)$.
Выбранное событие $P_0(t_0)$ является границей интеграла в обоих случаев, значит выбор одного из них - произволен.
А длины, "связываемые с событию $P_0(t_0)$" таким образом - разные.
И это еще цветочки - тут только две возможности только потому что область одномерна - как я говорил ранеее уже при попытки вычислять площадь таким образом, возможностей будет континуум.

Так что да, ваше понятие длины не только "бесполезно" - оно "бесполезно в квадрате".

SergeyGubanov в сообщении #1061019 писал(а):

И, кстати, там пределы не $0 \ldots 2\pi$, а определяются из решения системы трансцендентных уравнений.

Где я говорил что это пределы про вашего интеграла??
Я говорил о "красных линий... пересекающих абсциссу на $...-4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi...$" в связи с том что это одна и та же мировая линия одной и той же лошадки $P_0$.
Ясно что ваш интеграл берется по некоей кривой зеленой линии, между точек ее пересечения с красной линии некоей произвольно выбранной лошадки $P_0$ (и потом либо между $\left \{P_0(t_0), P_0(t_0+\Delta t_1)\right \}$, либо между $\left \{P_0(t_0-\Delta t_2), P_0(t_0)\right \}$) - а все эти произвольные выборы (лошадки и направления), уж по щучьему велению.
И по абсциссе, это конечно не интервал $2\pi$ - т.к. красная и зеленая линии меняют наклон по мере изменения угла.

[SergeyGubanov]

manul91, длины пространственно подобных линий из поперечного среза конгруэнции мировых линий определены всегда, а глобальное (интегральное) время определено только в случае безвихревой конгруэнции мировых линий. Постарайтесь это понять.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1061147 писал(а):

manul91, длины пространственно подобных линий из поперечного среза конгруэнции мировых линий определены всегда, а глобальное (интегральное) время определено только в случае безвихревой конгруэнции мировых линий. Постарайтесь это понять.

SergeyGubanov: А вы то постарайтесь понять, что речь идет про стандартном понятии интегральной длины/площади/объема чего-нибудь - как количество единичных взаимнонеподвижных эталонов, которыми можно его накрыть в данный момент времени.

А не про "пространственно подобных линий из поперечного среза конгруэнции мировых линий", "змееподобного языка из левой головы материализации кащея бессмертного" и пр самодельных определений, придуманных исключительно чтобы подгонять под чьей-то хотелки.
И у котороых и определенного численного значения-то нет (по меньшей мере если без кучу произвольных дополнительных оговорок).

[Someone]

"Момент времени" — это трёхмерная пространственноподобная поверхность в пространстве-времени (МТУ, § 21.8).

[SergeyGubanov]

manul91, знаете ли Вы, что если $g_{\mu \nu}(x)$ - метрический тензор пространства событий, $\Gamma$ - пространственно подобная линия $x^{\mu}(\ell)$, тогда её длина $L(\Gamma)$ вычисляется по следующей формуле:

$$ L(\Gamma) = \int\limits_{\Gamma} \sqrt{- g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} }. \eqno(1) $$

Если Вы не знаете этой базовой вещи, тогда продолжать с Вами дискуссию не имеет смысла.

[Munin]

С одной стороны так, с другой стороны, это не согласуется с кое-чем другим, напр., в ЛЛ-2 :-)

В общем, длину палки или верёвки я так вычислять не советую.

[Sicker]

Munin
С чем же другим это не согласуется?

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1061372 писал(а):

manul91, знаете ли Вы,....

Разумеется знаю ; )

То о чем вы написали - это 4-длина любой 4-линии виляющей в четырехмерии и ограниченной с обоих сторон парой 4-точек - событий в 4d (вкл. времениподобной, за учетом знака под корня на соответных участков).
Только лучше не демагогически обозначать ее L, а как-то по-другому - чтобы ясно было что это 4-длина некоей 4-линии в четырехмерии (под интегралом у вас стоит дифф. элемент 4-интервала $ds$) - а не обычное трехмерное расстояние.

Пусть рассматриваем одномерно-пространственный объект - резиновую ленту, которая как-нибудь движется (либо незамкнутую, либо замкнутую в кольцо) в плоском ПВ.
В четырехмерии, мировая резиновой ленты - это 2-поверхность: "2-полоса" в случае если она незамкнута, или "2-трубка" если она замкнута.
И существует бесконечное множество разных пространственноподобных линий, принадлежащие этой полосы/трубки (наклонных, кривых, кудрявых), которые связывают произвольные 4-точки, принадлежащие 2-полосы или 2-трубки (некие события, из мировых линий неких элементов ленты).
У всех этих разных пространственноподобных линий - 4-длина (соответно данной вами формуле) разная.

Даже если дополнительно потребовать, чтобы ваша произвольная пространственноподобная линия связывала края 2-полосы, или была самозамкнутой в случае 2-трубки - таких линий и соответствующие ими 4-длины - тем не менее, бесконечно много.
Поэтому резиновая лента, замкнутая или не замкнутая - НЕ ИМЕЕТ определенной 4-длины (по меньшей мере, без неких дополнительных ограничений).

-----------------------------------

Теперь внимание, встречный вопрос:
SergeyGubanov в курсе ли вы, что речь НЕ про 4-длин этих всевозможных пространственноподобных линий в четырехмерии (коих бесконечное множество, и у них длины самые разные) - а про обычных, трехмерных, собственных расстояний/длин?
Элемент интеграла которых, дается ДРУГОЙ формулой

$$dl=\sqrt{\gamma_{\alpha}_{\beta}dx^{\alpha}dx^{\beta}}$$

Тоесть впервых, речь идет не просто про координатных длин элементов, а про их собственных длин (в мгновенно-сопутствующих локальных ИСО фрагментов).
Во вторых, т.к. мы хотим охватить и случай нетвердых (деформирующихся с времени) тел - мы по-любому должны брать интеграл этих элементов в моменте $t_0$ глобальной одновременности какой-нибудь зафиксированной СО (иначе для деформирущихся с времени тел, он будет неопределен).

Если соблюдать обе эти условия, и ошибочно использовать вашу формулу 4-длины для простейшего частного случая: попытки рассчета собственной длины твердого стержня в момент $t_0$ ИСО в которой он движется со скоростью v: то интегрируя по пространственноподобной линии {$t=t_0, x_0(t_0)<x(t_0)<x_1(t_0)$} - мы ошибочно получим его координатную длину с учетом лоренцевого сокращения, а НЕ его собственную длину.

-- 11.10.2015, 21:44 --

SergeyGubanov в сообщении #1061372 писал(а):

... тогда продолжать с Вами дискуссию не имеет смысла.

А зачем нам с вами, вообще продолжать дискутировать?

Вы все время демагогически уводите дискуссию от очевидного факта, что ваш "метод" не дает однозначной собственной длины периферии ускоренной карусели (для глобальной одновременности $t=t_0$ по хоть какой-либо СО) (последнее потверждение недобросовестности - вместо ясного ответа как однозначно устранить неопределенность выбора конкретной 4-линии для вашей длины - невпопад задаете встречные вопросы типа "знаете ли что.." и пр.)

Что предлагает ваш "метод"?
Вычисление 4-длины некоей пространственноподобной линии из 2-трубки периферии в 4D, для которой имеет место:
а) разомкнута (ее конец в 4d не совпадает с ее начала), хотя и обходит 2-трубку пересекая мировые линии фрагментов только один раз - и заканчивается на мировой линии того же фрагмента от которого и начала (только в другом моменте его собственного времени). В частности из-за этой разомкнутости, собственные длины двух бесконечно близких фрагментов вокруг размыкания, берутся в конечно-разных моментов их собственного (sic!) времени.
б) ее елементы трансверзальны мировых линий фрагментов периферии (единственное "хорошее" качество - и означающее что если этой самой линии определить однозначно - то интеграл 4-длин ее элементов будет иметь смысл собственной длины)
в) начинается неизвестно-с-какого события-точки на трубке, и обводится вокруг трубки в неизвестно-каком из двух возможных направлений (соответно выбор этой разомкнутой линии не просто неопределен, а неопределен "в квадрате")
г) Брать интегральную длину, этой неизвестно-как-точно выбранной разомкнутой пространственноподобной линии

Я со своей стороны, предлагаю:
а) Пересечь 4-d трубку периферии с некоей глобальной пространственноподобной гиперповерхности одновременности $t=t_0$ какой-нибудь синхронизированной СО (например ИСО).
б) Таким образом, мы получим самозамкнутую пространственноподобную линию вокруг трубки соответствующую $t=t_0$
в) Интегрировать НЕ элементы 4-длины этой линии (и соответно НЕ находить ее интегральную 4-длину), а использовать ее как контур интегрирования для собственной длины элементов/фрагментов периферии на данном контуре (эти собственные элементы длины фрагментов dl, которые интегрируются по данном контуре - ортогональны элементов ds мировых линий фрагментов в 4d).
г) Поскольку контур по котором интегрируются собственные длины элементов замкнут - собственные длины любых двух бесконечно-близких соседних фрагментов, берутся также и в бесконечно близких моментов их собственного времени
д) Получаем вполне определенную величину (определены как конкретный контур интегрирования, так и подинтегральная величина) - имеющей смысл интегральной собственной длины, в определенном моменте $t=t_0$ в так выбранной СО

Для случаев твердых тел (недеформирующихся тел/ободов, или вращающегося равномерно обода) - оба метода, мой и ваш - дают одно и то же.
Но в этих простейших случаев, вам просто везет - хотя и вашу линию по-прежнему можно строить по-разному в 4d вокруг трубки - этот произвол выбора линии, к счастью не сказывается на величиной вашего интеграла.

Для случаев деформирующихся-движушихся в 4d тел/ободов - мой интеграл в котором всегда однозначны как контур интегрирования так и подинтегральная величина - дает вполне однозначную величину (я также расписал, его конкретный физическо-инженерный смысл).
А ваш интеграл, чтобы понятно было как однозначно вычислять в нетривиальном случае - как минимум нуждается в дополнительных (хотя и произвольных!) ограничений для выбора конкретной 4-d линии.

Я не вижу смысла далее с вами дискутировать, по меньшей мере пока вы не предложите что-то существенно новое (кроме демагогии, встречных вопросов и пр.).

[Утундрий]

Кто-нибудь ещё наблюдает признаки мысли в этой теме? Не помешало бы краткое изложение, обо что спор. Повторяю, краткое! Тонны символов генерировать не надо.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1061495 писал(а):

Кто-нибудь ещё наблюдает признаки мысли в этой теме? Не помешало бы краткое изложение, обо что спор. Повторяю, краткое! Тонны символов генерировать не надо.

Я не понимаю обоих участников. Жду когда закончат , чтобы затронуть еще один вопрос.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061495 писал(а):

Не помешало бы краткое изложение, обо что спор. Повторяю, краткое!

Предмет спора, можно изложить в одном предложении так:
Как формализовать/обобщить понятие "собственная длина замкнутой резиновой веревки в конкретный момент времени" - на общего случая когда собственная длина элементов/частей веревки меняется со временем (деформация) и притом СО сопутствующая элементов веревки, не допускает глобальную синхронизацию.

[Утундрий]

manul91 в сообщении #1061508 писал(а):

Как формализовать/обобщить понятие "собственная длина замкнутой резиновой веревки в конкретный момент времени" - на общего случая когда собственная длина элементов/частей веревки меняется со временем (деформация) и притом СО сопутствующая элементов веревки, не допускает глобальную синхронизацию.

Начнём с того, что понятие "собственная длина замкнутой резиновой веревки в конкретный момент времени" не определено. Обобщать, таким образом, нечего.

[manul91]

Утундрий в сообщении #1061563 писал(а):

Начнём с того, что понятие "собственная длина замкнутой резиновой веревки в конкретный момент времени" не определено. Обобщать, таким образом, нечего.

Продемонстрируем что ваше утверждение ложно, на конкретном частном примере: пусть замкнутая веревка (в целом, как и все ее фрагменты) покоится в ИСО - ее собственная длина определена для любого момента времени, а значит и для каждого конкретного.
Верить вам, таким образом, не стоит. ; )