Система отсчета и математический формализм

[Munin]

manul91 в сообщении #1057889 писал(а):

Если вы несмотря на всю вашу тетрадную плетень, не умеете вычислить длину веревки которая потребуется при данном конкретном, четко определенном в инженерном и физическом смысле способом измерения - так и скажите.

Не, вот этого вы от него не дождётесь :-) Вечно будет кругами ходить.

[manul91]

P.S.

SergeyGubanov писал(а):

В пространстве событий верёвка трансверсальна мировым линиям своих фрагментов.

manul91 писал(а):

Правильно.

Вижу вы используете слово "трансверзально" много раз в определенном контексте - нужна корекция моего ответа. (я по наивности полагал, что вы используете понятие "веревка" в обычном смысле).
В пространстве событий, дифференциальные элементы собственной длины фрагментов верёвки, трансверсальны мировым линиям соответных фрагментов веревки.

Сама замкнутая веревка, в четырехмерном пространстве событий многообразия Минковкого - есть цилиндрическая гиперповерхность.

Возмем для простоты круглую невращающуюся веревку - уже в СТО, трехмерные сечения ее 4d цилиндрической гиперповерхности по разных одновременностей - например с гиперплоскостей одновременности в разных ИСО1, или ИСО2 - это та же веревка независимо от того, что контур такого сечения НЕ трансверзален мировых линий фрагментов (кроме в той единственной ИСО, в которой веревка покоится).
Точно так же, можно описывать сферу, стержня (или что-то другого) - как в ИСО где они покоятся, так и в ИСО1 где движутся с постоянной скорости v и релятивистки сокращены - это один и тот же объект.

А то по вашему выходит, что стержень в любой ИСО где он не покоится - уже не тот стержень, а неизвестно что.

-- 30.09.2015, 19:45 --

Munin в сообщении #1057891 писал(а):

Не, вот этого вы от него не дождётесь Вечно будет кругами ходить.

Я был еще понял, если он говорил что длина периферии ускоренной карусели в данный момент времени, не "хорошо определена" (тогда можно было бы и осмысленно поговорить).

Но самое смешное, что он вроде настаивает на своим интегралом по разомкнутой в 4d линии, как разумное определение "интегральной собственной длины периферии" притом и в случае для ускоряющейся карусели.
Нетрудно например показать, что если карусель постоянного радиуса раскручивается в ИСО следующим образом: до момент $t=T_0$ покоится, потом раскручивается (одновременно и единообразно в ИСО) до заданной угловой скорости $\omega_1$ до момента $t=T_1$ с постоянном угловом ускорении, и далее продолжает вращаться равномерно с той же скорости $\omega_1$ - т.е. раскручивается так чтобы скорость вращения $\omega$ была непрерывной величиной все время (такой метод раскручивания и только является физичным - скорость не может меняться скачком т.к. будет бесконечное собственное ускорение).

То тогда, его "разомкнутая интегральная длина" периферии карусели - будет скакать прерывно в момент $t=T_0$ (если он берет свой разомкнутый интеграл по тангенциальном направлении вращения).
Если берет интеграл в обратном направлении - его "разомкнутая интегральная длина" периферии карусели будет непрерывна в момент $t=T_0$, но зато скакать прерывно в момент $t=T_1$ ИСО.
Не смотря на то, что скорость любого элемента периферии - непрерывна все время (а в понятия элементарной длины, участвуют только первые дифференциалы), что любой элемент карусели вращается единообразно в ИСО, у всех фрагментов одинаковые "истории вращения", и пр.

Чтобы его "длина периферии" менялась непрерывно при данном движении - ему нужно поменять методику вычисления своего интеграла (по направлении движения, или против) где-то между моментов $t=T_0$и $t=T_1$.
: )

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #1057876 писал(а):

Почему? Если Вы про попадание не в одну, а в две точки, то область действия системы отсчёта заканчивается чуть раньше повторного пересечения.

Вообще-то действие системы отсчёта должно распространяться на некую область пространства-времени, имеющую разумную (т.е. не бесконечно малую уж точно) протяжённость во всех направлениях. Например, в случае карусели туда уж точно должна попасть вся карусель, включая окружность и диаметры, да и по времени достаточно далеко вперёд и назад. А линии в пределах этой области мы должны иметь возможность проводить любым удобным нам образом. Это значит, что если мы хотим сравнить, например, длины двух разных дуг окружности карусели, проведённых между точками A и B, то система отсчёта должна позволить однозначно решить эту задачу. А у Вас ответ оказывается зависим от того, как Вы проведёте "трансверсальные линии".

SergeyGubanov в сообщении #1057876 писал(а):

Разумеется пространственное распределение произвольной системы отсчёта определено на том же самом пространстве событий (даже тогда, когда соответствующее трёхмерное пространство не может быть вложено в четырёхмерное).

Нет смысла говорить о вложении в геометрическом смысле, поскольку трёхмерная и четырёхмерная метрики связаны не столь непосредственным способом, а вот как:

$$\gamma_{\alpha \beta}=\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}}-g_{\alpha \beta}.$$

А вот про то, что точки трёхмерия физически принадлежат четырёхмерию, говорить смысл имеет, потому что эти точки -- это события измерений разнообразных физических величин.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1057889 писал(а):

SergeyGubanov, я жду от вас демонстрировать (огласить) методику вычисления длины некоей веревки - изпользуемой при наперед заданной, совершенно четко определенной процедурой измерения..

Меня (пока) не интересуют ваши видения про то что есть и "длина периферии" и что нет, и является ли длина этой веревки длиною периферии диска или нет; об этом стоит поговорить потом - после того, как убедите меня что это вычисление вам по силам (рисунок на картинке с объяснением что нужно интегрировать и как, будет достаточным).

Если вы несмотря на всю вашу тетрадную плетень, не умеете ответить на простой инженерный вопрос - вычислить длину веревки необходимой при данном конкретном, четко определенном в инженерном и физическом смысле способом измерения - так и скажите.

Всем с самого начала было очевидно, что по описанной Вами процедуре измерения будет получена величина равная

$$L_{\text{manul91}}(t) = \frac{2 \pi R }{ \sqrt{ 1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}}.$$

Но так как пространственно подобная линия (на которой осуществляется описанная Вами процедура) не трансверсальна мировым линиям ускоренно вращающейся карусели, то никакого особого смысла величина $L_{\text{manul91}}(t)$ не имеет. Кстати, если Вы сами предложили какую-то процедуру измерения чего-то, то сами и пишите формулу для ожидаемого результата этого чего-то, я то тут не при чем.

epros в сообщении #1057978 писал(а):

Вообще-то действие системы отсчёта должно распространяться на некую область пространства-времени, имеющую разумную (т.е. не бесконечно малую уж точно) протяжённость во всех направлениях. Например, в случае карусели туда уж точно должна попасть вся карусель, включая окружность и диаметры, да и по времени достаточно далеко вперёд и назад. А линии в пределах этой области мы должны иметь возможность проводить любым удобным нам образом. Это значит, что если мы хотим сравнить, например, длины двух разных дуг окружности карусели, проведённых между точками A и B, то система отсчёта должна позволить однозначно решить эту задачу. А у Вас ответ оказывается зависим от того, как Вы проведёте "трансверсальные линии".

С областью действия всё в порядке, она распространяется на всю длину карусели - на всю зелёную линию за исключением одной крайней правой точки:

epros в сообщении #1057978 писал(а):

Нет смысла говорить о вложении в геометрическом смысле, поскольку трёхмерная и четырёхмерная метрики связаны не столь непосредственным способом, а вот как:

$$\gamma_{\alpha \beta}=\frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}}-g_{\alpha \beta}.$$

А вот про то, что точки трёхмерия физически принадлежат четырёхмерию, говорить смысл имеет, потому что эти точки -- это события измерений разнообразных физических величин.

Добавлю лишь, что эта нековариантная формула может быть записана ковариантно. Для начала надо заметить, что указанная трёхмерная метрика будет наблюдаться в системе отсчёта, в которой:

$$e^{(0)}_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{\sqrt{g_{00}}} $$

Значит в ковариантном виде эта формула записывается вот так:

$$\gamma_{\alpha \beta}=e^{(0)}_{\alpha} e^{(0)}_{\beta} - g_{\alpha \beta} = e^{(1)}_{\alpha} e^{(1)}_{\beta} + e^{(2)}_{\alpha} e^{(2)}_{\beta} + e^{(3)}_{\alpha} e^{(3)}_{\beta}.$$

Для нахождения длин линий $x^{\mu}(\ell)$ трансверсальных $e^{(0)}_{\mu}$ получаем:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad d\ell^2 = \left( e^{(1)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2. $$

-- 01.10.2015, 16:59 --

manul91 в сообщении #1057898 писал(а):

То тогда, его "разомкнутая интегральная длина" периферии карусели - будет скакать прерывно в момент

Там будет излом линий, а не скачок их длин. Длины линий будут увеличиваться непрерывно пока не достигнут максимума. Странно, что Вы думаете про эту элементарную вещь как "самое смешное".

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1058152 писал(а):

Там будет излом линий, а не скачок их длин. Длины линий будут увеличиваться непрерывно пока не достигнут максимума. Странно, что Вы думаете про эту элементарную вещь как "самое смешное".

Какие еще изломы/обрывы?

Давайте вашу диаграмму цилиндрической развертки для конкретного случая (по подразумеванию как обычно, при вращении радиус не меняется):

До момент $t=0$, карусель покоится в ИСО (t - стандартное время в ИСО).
Начиная с момента $t=0$, карусель начинает вращаться с постоянным угловым ускорением $\frac{d\omega}{dt}=\alpha>0$ ($\alpha$- константа).

В нижней части вашей диаграммы, под абсциссой $t=0$ - все красные линии будут вертикальны, а зеленые горизонтальны. Собственная длина равна интегралу по зеленым.
Независимо от того, с события в какой "лошадки" начинаете - лишь бы событие лошадки было под абсциссой $t=0$ - ваша длина интегрируя "вправо" будет одинакова (назовем ее "длина $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(t<0)=L_0$") и будет проходить по некоей из горизонтальных зеленых.

Никаких "изломов" быть не может уже потому, что все зеленые линии под $t=0$ параллельны ею - а значит, и не пересекают.

Для любого события на периферии с $t>0=\epsilon$ т.е. начиная с любой лошадки, и если вы интегрируете направо (по направлению движения) - интеграл по зеленой линии $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(t>0)$ будет отличаться на вполне конечной величиной $L_{\text{delta}}$, от $L_{\text{SergeyGubanov}}(t<0)=L_0$.
И при $\epsilon\rightarrow0$, эта разница $L_{\text{delta}}$ не клонит к 0, а остается вполне конечной.

Интегральная длина резко скакнула хотя карусель раскручивается постепенно начиная с нулевой скорости! (от того, что вид зеленой линии вправо визуально меняется резко - еще не следует что интеграл по нее вправо будет резко разным, из-за псевдоеэвклидовости - но что именно так будет, могу отдельно обосновать - если непонятно, разъясню почему).

Что делать-то будете?

SergeyGubanov в сообщении #1058152 писал(а):

Всем с самого начала было очевидно, что по описанной Вами процедуре измерения будет получена величина равная

$$L_{\text{manul91}}(t) = \frac{2 \pi R }{ \sqrt{ 1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}}.$$

Но так как пространственно подобная линия (на которой осуществляется описанная Вами процедура) не трансверсальна мировым линиям ускоренно вращающейся карусели, то никакого особого смысла величина $L_{\text{manul91}}(t)$ не имеет. Кстати, если Вы сами предложили какую-то процедуру измерения чего-то, то сами и пишите формулу для ожидаемого результата этого чего-то, я то тут не при чем.

Формулу вы привели правильно - осталось огласить что именно и по какому контуру вы интегрировали, чтобы ее получить в данном случае ускоренного движения - я этого хотел услышать от вами.
Про "особого смысла" мы еще поговорим, обещаю ; )

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1058260 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1058152 писал(а):

Там будет излом линий, а не скачок их длин. Длины линий будут увеличиваться непрерывно пока не достигнут максимума. Странно, что Вы думаете про эту элементарную вещь как "самое смешное".

Какие еще изломы/обрывы?

Вероятно, мы друг друга не поняли. Я нарисовал рисунок для случая когда до момента $t=t_0$ карусель вращается с ускорением, затем с постоянной скоростью:

Красные линии - мировые линии.
Зелёные линии - пространственно подобные линии трансверсальные мировым линиям.

Если у Вас вопрос всё ещё остался, то задайте его ещё раз желательно указывая на этом рисунке о чём конкретно речь (можете нарисовать свой рисунок если этот не устраивает).

manul91 в сообщении #1058260 писал(а):

Формулу вы привели правильно - осталось огласить что именно и по какому контуру вы интегрировали, чтобы ее получить в данном случае ускоренного движения - я этого хотел услышать от вами.

Это интеграл от дифференциальной формы $e^{(2)}$ вдоль линии $t=t_0$, $\varphi_0 \le \varphi < \varphi_0 + 2 \pi$.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1058420 писал(а):

Если у Вас вопрос всё ещё остался, то задайте его ещё раз желательно указывая на этом рисунке о чём конкретно речь (можете нарисовать свой рисунок если этот не устраивает).

SergeyGubanov - примите мои извинения - вы правы, я ошибся! - "изломов" будет, ваша интегральная длина $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(t)$ будет меняться непрерывно (это также и в случае когда начинается вращение из покоя - в этом случае утверждение "и при $\epsilon\rightarrow0$, эта разница $L_{\text{delta}}$ не клонит к 0, а остается вполне конечной" - у меня неверно).
Так что насчет этого, вопроса уже нет.

Однако, появился другой вопрос...
Допустим, периферия ускоренно вращающайся карусели условно разделена например на трех равных частей - "лошадками" $P_0$, и $P_1$ и $P_2$, разница угловых координат которых в ИСО постоянна, и равна 120 градусов.
Как будете вычислять их отдельные интегральные длины в момент $t_0$: $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(P_0P_1)(t_0)$, $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(P_1P_2)(t_0)$ и $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(P_2P_0)(t_0)$?

1) Если по единой зеленой линии - разомкнутой в 4d только в одном месте, например в событии $P_0$ в момент $t_0$ (но разбитой на трех частей в 4d, мировыми линиями соответных лошадок $P_1$ и $P_2$)
Тогда, "сумма длин частей всей периферии в момент $t_0$, будет равна длиной целой периферии в момент $t_0$" - но как минимум возникают вопросы: длины трех равных в ИСО частей будут не только разными между собой но и зависящими от выбора лошадки где зеленая линия разомкнута; и также (что существеннее) - если зеленая линия разомкнута например в событии $P_0(t_0)$ то в каком смысле длина $L_{\text{SergeyGubanov-right}}(P_1P_2)(t_0)$ дуги периферии между точками $P_1$ и $P_2$ берется в момент $t_0$ - если в интеграла ее длины, ни один из ее фрагментов не интегрируется в момент $t_0$?

2) Если по трех зеленых линий, разомкнутых в каждой из лошадок $P_0(t_0)$, $P_1(t_0)$, $P_2(t_0)$ (интегралы ведутся начиная соответно с $P_0(t_0)$, $P_1(t_0)$, $P_2(t_0)$ вправо). Тогда у вас длины трех равных в ИСО частей будут равными между собой, но "длина целой периферии в момент $t_0$" будет отличаться от "сумм длин частей периферии в момент $t_0$"?

3) Что-то другое?

SergeyGubanov в сообщении #1058420 писал(а):

Это интеграл от дифференциальной формы $e^{(2)}$ вдоль линии $t=t_0$, $\varphi_0 \le \varphi < \varphi_0 + 2 \pi$.

Вопросов насчет этого также больше нет, спасибо.
Однако прежде чем сравнивать "разумность" "моего" и "вашего" предложения интегральной собственной длины для нестатического случая, хотелось бы чтобы вы ответили на вопрос выше (уже хочется быть осторожнее, вдруг ваше понятие длины окажется не менее "разумным" как и то, что я предлагаю)

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1058449 писал(а):

Как будете вычислять их отдельные интегральные длины в момент $t_0$

Я плохо отношусь к тому, чтобы брать время из одной системы отсчёта, а длины из другой системы отсчёта. Если уж заниматься привязкой длин ко времени, то только ко времени той же самой системы отсчёта, к какой относятся длины.

Однако, интегральное время $\tau(x)$ существует только в системах отсчёта с интегрируемой дифференциальной формой времени $e^{(0)} = \frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}$. В общем случае дифференциальная форма времени $e^{(0)}$ не интегрируема, поэтому фраза "длина в момент времени" в общем случае не имеет смысла. В общем случае нам остаётся лишь нарисовать рисунок, показать пальцем и сказать "длина вот этой линии".

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1058463 писал(а):

manul91 в сообщении #1058449

писал(а):
Как будете вычислять их отдельные интегральные длины в момент $t_0$ Я плохо отношусь к тому, чтобы брать время из одной системы отсчёта, а длины из другой системы отсчёта. Если уж заниматься привязкой длин ко времени, то только ко времени той же самой системы отсчёта, к какой относятся длины.

Однако, интегральное время $\tau(x)$ существует только в системах отсчёта с интегрируемой дифференциальной формой времени $e^{(0)} = \frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}$. В общем случае дифференциальная форма времени $e^{(0)}$ не интегрируема, поэтому фраза "длина в момент времени" в общем случае не имеет смысла. В общем случае нам остаётся лишь нарисовать рисунок, показать пальцем и сказать "длина вот этой линии".

Т.е. в случае с разбивкой периферии на трех частей, вы просто предлагаете "ничто" - т.е. оставить понятие "длин частей в определенном моменте времени" неопределенным?
Не совсем ясно значит ли это, что вы также отказываетесь от вашего определения "длина целой периферии в определенном моменте времени" - по разомкнутой в 4d зеленой линии?

-- 02.10.2015, 17:54 --

SergeyGubanov в сообщении #1058463 писал(а):

Я плохо отношусь к тому, чтобы брать время из одной системы отсчёта, а длины из другой системы отсчёта. Если уж заниматься привязкой длин ко времени, то только ко времени той же самой системы отсчёта, к какой относятся длины.

Распространяется ли ваше "плохое отношение", на дифференциально малым окрестностям?
Если "да" - то если карусель большая, ускорение мало, и лошадок по периферии достаточно много - то локальный наблюдатель, измеряя расстояние м/у двух соседних лошадков рулеткой в "данный момент" (пусть собственного времени) - в какой из "двух разных систем отсчета", он измеряет это дифференциально малое расстояние? (разумеется речь идет в пределе дифференциально малом)
Или показания его рулетки - это не расстояние а неизвестно что?

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1058465 писал(а):

Т.е. в случае с разбивкой периферии на трех частей, вы просто предлагаете "ничто" - т.е. оставить понятие "длин частей в определенном моменте времени" неопределенным?
Не совсем ясно значит ли это, что вы также отказываетесь от вашего определения "длина целой периферии в определенном моменте времени" - по разомкнутой в 4d зеленой линии?

Я говорил про другое: в вашем вопросе длина и время берутся из разных систем отсчёта.

Что касается разбивки на части, то интеграл вдоль целой линии равен сумме интегралов вдоль её частей.

-- 02.10.2015, 17:51 --

manul91 в сообщении #1058465 писал(а):

Распространяется ли ваше "плохое отношение", на дифференциально малым окрестностям?

Это тут не причём. Я за то, чтобы длина и время брались в одной и той же системе отсчёта, а не в разных.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1058505 писал(а):

Я говорил про другое: в вашем вопросе длина и время берутся из разных систем отсчёта.

Ваше мнение об этом, я уже знаю.
Но НЕ увидел ваш ответ, на двух вопросов:
Т.е. в случае с разбивкой периферии на трех частей, вы просто предлагаете "ничто" - т.е. оставить понятие "длин частей в определенном моменте времени" неопределенным?
Не совсем ясно значит ли это, что вы также отказываетесь от вашего определения "длина целой периферии в определенном моменте времени" - по разомкнутой в 4d зеленой линии?

SergeyGubanov в сообщении #1058505 писал(а):

Что касается разбивки на части, то интеграл вдоль целой линии равен сумме интегралов вдоль её частей.

Вопрос не про какого-то интеграла вдоль какой-нибудь линии разделенной на части в общем случае.
Вопрос про длину периферии ускоренно-вращающейся карусели в момент $t_0$, в связи с длин ее частей в тот же момент: "длина целой периферии в момент $t_0$" будет отличаться от "сумм длин частей периферии в момент $t_0$"?
Именно это и неясно - интегралы для длин трех отдельных частей в момент $t_0$ - у вас ведутся вдоль одной и той же зеленой линии - той же, по которой ведется и интеграл для длины всей периферии в момент $t_0$? Или по трех разных несвязанных (разомкнутых) зеленых линий?

-- 02.10.2015, 23:52 --

SergeyGubanov в сообщении #1058505 писал(а):

Это тут не причём. Я за то, чтобы длина и время брались в одной и той же системе отсчёта, а не в разных.

Кто-то растягивает по x резиновую веревку в ИСО. Пусть равномерно (так что середина неподвижна, а скорости фрагментов линейно возрастают к концов)
Веревка и ее части, также не имеют "собственную длину в момент $t=t_0$" в ИСО?
Если использовать вашей дефиниции для веревки в целом, и частей в отдельности (пока не совсем понятно какой, и вообще существует ли она) - то у вас проблемы те же.

[rustot]

schekn в сообщении #1053742 писал(а):

Если жесткий диск покоится относительно инерциальной системы отсчета , а вращаются координатные оси ( то есть другая нумерация точек в пространстве-времени) и если жесткий диск вращается относительно ИСО, а координатные оси не изменили свое положение, то это означает разное физическое состояние системы, о чем говорил Munin. Означает ли это, что определение СО Рашевского или Губанова как раз отражают это изменение физической системы?

состояние двух систем одинаково если их описание относительно одной и той же системы отсчета (неважно какого рода) одинаково. если же их описание совпадает в двух разных системах отсчета, значит не совпадет описание в одной и той же, значит они разные

-- 05.10.2015, 04:14 --

SergeyGubanov в сообщении #1053842 писал(а):

перечисленные мной задачи (сколько философского камня было потрачено на изготовление вращающейся тонкой сферы, сколько эликсира бессмертия залито внутрь вращающейся тонкой сферы, сколько утеплителя понадобится для небоскрёба на планете Керра) не имеют никакого отношения к пересчёту чего-то из одной системы отсчёта в другую. Они даже не подразумевают наличие какой-либо другой системы отсчёта.

Ну и каким образом эти задачи могли бы быть опровергающим примером к моему заявлению, что нет таких задач, в которых обязательно бы требовалось заводить еще одну систему отсчета, вдобавок к той, относительно которой условия задачи сформулированы?

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1058602 писал(а):

Но НЕ увидел ваш ответ, на двух вопросов:
Т.е. в случае с разбивкой периферии на трех частей, вы просто предлагаете "ничто" - т.е. оставить понятие "длин частей в определенном моменте времени" неопределенным?
Не совсем ясно значит ли это, что вы также отказываетесь от вашего определения "длина целой периферии в определенном моменте времени" - по разомкнутой в 4d зеленой линии?

Интеграл вдоль целой линии равен сумме интегралов воль её частей, можете разделить любую целую линию на любые три части, если хотите.

manul91 в сообщении #1058602 писал(а):

Вопрос про длину периферии ускоренно-вращающейся карусели в момент $t_0$
...
"собственную длину в момент $t=t_0$" в ИСО?

Длина и время должны быть в одной и той же системе отсчёта. У Вас же время из одной системы отсчёта, а длина из другой, это бессмыслица.

rustot в сообщении #1059195 писал(а):

Ну и каким образом эти задачи могли бы быть опровергающим примером к моему заявлению, что нет таких задач, в которых обязательно бы требовалось заводить еще одну систему отсчета, вдобавок к той, относительно которой условия задачи сформулированы?

Моё возражение адресованное к Вам относилось лишь к тому, что Вы перепутали систему отсчёта с системой координат:

rustot в сообщении #1053545 писал(а):

...процесс пересчета из системы отсчета в систему отсчета...

Правильно так: процесс пересчёта из одной системы координат в другую систему координат.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1059241 писал(а):

Длина и время должны быть в одной и той же системе отсчёта. У Вас же время из одной системы отсчёта, а длина из другой, это бессмыслица.

Бессмыслицу говорите вы.

Контур/область интегрирования для любого интеграла не обязан априори иметь вообще ничего общего с подинтегральной величиной - уже в классике - даже как размерности физических единиц.
Например вполне можно интегрировать плотность массы в кг/куб.м по любой области объема в куб. метрах, мощность по времени, скалярное произведение вектора силы на вектора перемещения (по любого контура) и т.д.

Что величина интеграла собственной длины периферии по контуре одновременности несобственной для карусели ИСО имеет физический смысл - ясно уже из очевидной физическо-инженерной интерпретации данного интеграла - как суммарное количество взаимно-неподвижных единичных линеек относно измеряемого объекта, в определенный момент времени ИСО (несобственной для меряемого).
Т.е. в данном случае ведется интеграл от плотности "к-ва эталонных линеек неподвижных относно меряемого, на единице расстояния в ИСО" (плотности "собственной длины периферии" на единице расстояния в ИСО) - по контуре $t=t_0$.
В результат для меряемого (деформирующегося) тела - получаем суммарное к-во линеек накрывающих его мгновенно-неподвижно, в момент $t=t_0$ в ИСО.
Результат такого интеграла, имеет размерность чисто собственной длины - а значит, именно это и померяно.
Поскольку в ИСО синхронизация однозначно определена - то этот интеграл также вполне однозначен - и не зависит ни от выбора исходной лошадки, ни от направления интегрирования.

Ваш "единственно осмысленный интеграл" неподвижных относно меряемого линеек, по контуре "одновременности собственной СО" (связанной с меряемого) - только частный случай более общего выбора контура/области для интеграла собственной длины выше (однако имеет какой-либо смысл, только когда последняя СО вообще существует).

К сожалению, собственная СО не всегда существует. Если она не синхронизирована однозначно как либо, это не "СО" - а значит, в таких случаев не существует и однозначное определенние "данного момента в собственной СО".
Поэтому в этом случае, бессмыслен именно ваш интеграл по разомкнутый единой зеленой линии - как собственной длины периферии ускоренной карусели в данный момент ее собственной якобы "СО".

И поэтому вы и увертываесь, мямлите и делаете вид что не замечаете директные вопросы.

Как например, что ваше определение длины в случае нестатической собственной СО - зависит от направления, зависит о выбора исходной лошадки на периферии, "сумма длин частей не равна суммы длин целого" (ибо они зависят опять от произвола выбора начального элемента и направления как для частей, так для целого) и т.д.
Если даже взять только одну проблему выбора направления - хотя для направления у периферии карусели у вас существуют только две возможности, ибо интегрируется по одномерной линии... что бы вы делали если нужно интегрировать площади с вашим-то подходом? - тогда-то возможностей бесконечное число (зависит от того как проведена "синхронизация с разрывами" в нестатичной разрывно-синхронизируемой якобы "СО" - и возможности такой "дырявой синхронизации" теперь не только две, а континуум).

SergeyGubanov в сообщении #1059241 писал(а):

Интеграл вдоль целой линии равен сумме интегралов воль её частей, можете разделить любую целую линию на любые три части, если хотите.

И так понятно. Вы уже второй раз "отвечаете" на вопрос, которого никто не задавал - это у вас манера дискуссии такая?

А вопрос, вот такой: интегралы для собственных длин трех отдельных частей ускоренной карусели в момент $t_0$ - у вас ведутся вдоль одной и той же зеленой линии - той же, по которой ведется и интеграл для длины всей периферии в момент $t_0$?
Или, по трех разных несвязанных (разомкнутых) зеленых линий?
Или, ускоренная карусель - вообще не имеет собственную длину периферии в момент $t_0$ в ИСО?
А в какую СО тогда, ускоренная карусель имеет собственную длину периферии в данный момент?
В собственной (т.е. интеграл ведется по единой зеленой линии всегда)?
Но, как тогда выбираете лошадку и направление, на единой зеленой линии? Ведь разный выбор начала и направления интегрирования, даст разные собственные длины (в одном и том же самом моменте $\tau=\tau_0$, в вашей разрывной якобы "собственной СО") - т.е. такая собственная длина ("по единой зеленой линии", в один и тот же "момент $\tau=\tau_0$" собственной якобы "СО") неоднозначна.

Или какая-нибудь СО в которой ускоренная карусель имеет однозначно какую-либо собственную длину в данный момент - не существует вообще, в принципе?

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1059360 писал(а):

Или какая-нибудь СО в которой ускоренная карусель имеет однозначно какую-либо собственную длину в данный момент - не существует вообще, в принципе?

Длина линий трансверсальных мировым линиям есть всегда, а вот "данный момент" есть не всегда, в последний раз я это объяснял там:

SergeyGubanov в сообщении #1055796 писал(а):

Пусть дана система отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$. В этой системе отсчёта бесконечно малый элемент времени задаётся дифференциальной формой $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$. В частном случае может оказаться, что $e^{(0)}_{\mu} = \partial_{\mu} \tau$. В этом частном случае применительно к этой системе отсчёта можно употреблять слова "в какой момент времени", имея в виду (под моментом времени) значение правой части формулы $\tau(x) = \operatorname{const}$. В общем случае $e^{(0)}_{\mu} \ne \partial_{\mu} \tau$, поэтому слова "в какой момент времени" применительно к такой системе отсчёта не имеют смысла, физически это означает невозможность синхронизации часов в этой системе отсчёта.

А, вообще, мне самому не до конца ясно есть ли вообще у математиков термин обозначающий "мгновенный срез" пространственного распределения в неинтегрируемом случае. Вот в интегрируемом случае всё понятно, там пространственное распределение превращается в пространственное слоение (листы - пространственно-подобные гиперповерхности). Какое слово надо произносить вместо слова "лист" в неинтегрируемом случае для обозначения одного "мгновенного среза" пространственного распределения?...

manul91 в сообщении #1059360 писал(а):

И поэтому вы и увертываесь, мямлите и делаете вид что не замечаете директные вопросы.

В таком тоне у Вас со мной разговор не получится.