Система отсчета и математический формализм

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1059375 писал(а):

manul91 в сообщении #1059360 писал(а):

Цитата:

И поэтому вы и увертываесь, мямлите и делаете вид что не замечаете директные вопросы.

В таком тоне у Вас со мной разговор не получится.

Дык он и так "не получается".
Вы же НЕ ответили прямо/четко/конкретно, ни на один из "каверзных" вопросов, которых я вам задал про вашу длину $L_\text{SergeyGubanov}$ (кроме исключения когда я ошибся про изломов, и сразу признал этого).
Разве это не демагогия?

SergeyGubanov в сообщении #1059375 писал(а):

А, вообще, мне самому не до конца ясно есть ли вообще у математиков термин обозначающий "мгновенный срез" пространственного распределения в неинтегрируемом случае. Вот в интегрируемом случае всё понятно, там пространственное распределение превращается в пространственное слоение (листы - пространственно-подобные гиперповерхности). Какое слово надо произносить вместо слова "лист" в неинтегрируемом случае для обозначения одного "мгновенного среза" пространственного распределения?..

В каком-таком "неинтегрируемом случае"?
"Мгновенный срез" пространственного распределения $t=t_0$ - в ИСО где центр карусели неподвижен - вполне однозначно определен (т.к. эта ИСО подразумевает вполне однозначной глобальной синхронизации).
И, раз этот конкретный контур задан - на нем все совершенно однозначно интегрируемо, любая физическая величина - вкл. элементы собственной длины периферии.
Еще раз - ничего не мешает нам интегрировать плотность "собственной длиной периферии на единице расстояния в ИСО" $\frac{dl}{Rd\theta}$, по заданному замкнутому контуру одновременности $t=t_0, R=\text{const}, 0<\theta<2\pi$ в ИСО.

Да верно, "одновременность" данного конура (отвечающая элементам расстояния ${Rd\theta}$ ИСО, по которых интегрируется плотность "собственной длины периферии на единице расстояния ИСО" $\frac{dl}{Rd\theta}$) - берется из другой (несобственной) системе отсчета.
И что с того?
Еще раз - подинтегральная функция, и ее переменная по которой ведется интегрирование (и соответно берутся границы) - не обязаны иметь ничего общего, даже как размерности величин!
Примеров я дал ("...вполне можно интегрировать плотность массы в кг/куб.м, по любой области объема в куб. метрах, мощность по время...").
И совершенно ясно что результат интеграла по $t=t_0$, будет именно в единиц собственной длины периферии карусели.
Также дал и физическо-инженерного способа измерения данной интегральной величины - который однозначно показывает, в чем состоит физ. смысл такого интеграла.

Дал еще и объяснение на бытовом уровне - почему разумно брать именно контур 4-сечения с какой-либо пространственноподобной гиперповерхности одновременности (а не какой-то еще гиперповерхности - например изотропной, времениподобной, или при которой сечение с мировую объекта разрывно-несвязано в 4d): когда меряем длину/площадь/объем некоего неравномерно деформирующегося тела - разумно подразумевать что показания необходимых эталонов снимаются на едином сечении "одновременности" всего тела (хоть в каком-то смысле, в каком это возможно).
Так как понятно, что иначе результат измерения будет зависеть от того каким образом мы "ползем" во времени, или по каком пути в пространстве интеграл обходит тело (пусть даже если и обход делается в "одном и том же моменте разрывного собственного времени"). И следовательно, так полученые интегральные величины будут неоднозначными (сумма такого "интеграла" зависит от порядка суммирования элементов).

Ваш "единственно осмысленный интеграл" - т.е. неподвижных относно меряемого линеек, по контуре "одновременности собственной СО $\tau=\tau_0$" т.е. единой зеленой линии (в которой эти линейки неподвижны) - при моем определении продолжает быть осмысленным - но только в случаев когда в собственной СО можно провести однозначную единую синхронизацию.
Т.е. только когда собственная СО - это именно "СО" (с единой глобальной синхронизации - где зеленая линия $\tau=\tau_0$ замкнута в 4d) - а не черти знает что.
В случаев существования настоящей единой собственной СО - ваше определение - просто частный случай более общего, которого я предлагаю (конкретный выбор контура/области одновременности, по которой ведется интеграл - включается в определение).

Как видите, я выполнил свое обещание дать четкого определения того что предлагаю: собственная длина/площадь/объем в общем случае деформирующихся тел - может быть однозначно доопределена как понятие, путем включение в понятия также и конкретного выбора одновременности в некоей конкретной СО - по которой мы ведем интегрирование.

А у вас?...
Как всегда, "ответ" черт знает о чем - про сомнений в каких-то "неинтегрируемыех листьев...."

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1059394 писал(а):

В каком-таком "неинтегрируемом случае"?

Я, конечно, могу рассказать эту длинную историю ещё раз, но, боюсь, Вы ничего не поймёте...

Система отсчёта характеризуется полем скоростей $u^{\mu}(x) = e^{\mu}_{(0)}(x)$, поле скоростей задаёт конгруенцию мировых линий. Трансверсально мировым линиям можно провести сколько угодно пространственно подобных линий. Эти пространственно подобные линии принадлежат трёхмерному пространственному распределению этой системы отсчёта. В частности, касательные векторы к этим линиям в каждой точке могут быть разложены по базису $\left\{ e^{\mu}_{(1)}, \, e^{\mu}_{(2)}, \, e^{\mu}_{(3)}\right\}$. Ну, или другими словами, пространственное распределение рассматриваемой системы отсчёта задаётся указанной тройкой векторных полей, они задают его касательное расслоение. Аналогично обстоит дело и с его кокасательным расслоением, которое задаётся тройкой 1-форм $\left\{ e^{(1)}_{\mu}dx^{\mu}, \; e^{(2)}_{\mu}dx^{\mu}, \; e^{(3)}_{\mu}dx^{\mu} \right\}$, а бесконечно малый элемент времени в рассматриваемой системе отсчёта описывается дифференциальной формой $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$. Информации заключённой в четвёрке векторных полей $e^{\mu}_{(a)}$ достаточно для того чтобы вычислить четырёхмерную кривизну пространства событий, а так же трёхмерную кривизну пространственного распределения:

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):

Во-вторых, я научился находить триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны трёхмерного пространства произвольной системы отсчёта не зная трёхмерных координат. Зная трёхмерные координаты любой дурак сможет, а вот попробуйте не зная . Дело в следующем. Вот у нас есть, значит, четырёхмерное пространство событий, в нём четырёхмерная система координат $x^{\mu}$. Произвольно берём какую-то систему отсчёта $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} \; dx^{\mu}$. Для этой системы отсчёта в бесконечно малой окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ (там где эта система отсчёта определена) определён и бесконечно малый кусочек трёхмерного пространства одновременности с триадой ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ такой что:

$$ \begin{cases} e^{(0)} = 0, \\ {\mathcal E}^{(1)} = e^{(1)}, \quad {\mathcal E}^{(2)} = e^{(2)}, \quad {\mathcal E}^{(3)} = e^{(3)}. \eqno(3) \end{cases} $$

Уравнение $e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0$ говорит, что в бесконечно малой окрестности точки $x^{\mu}$ на трёхмерном пространстве одновременности линейно независимыми являются три из четырёх дифференциалов $dx^{\mu}$. То есть триада трёхмерного пространства ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ в окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ определена на линейной комбинации трёх линейно независимых дифференциалов, как и положено для трёхмерного пространства. И тут не важно что сами-по-себе трёхмерные координаты $y^i$ нам не известны, мы можем работать с компонентами триады как с функциями от четырёхмерных координат $x^{\mu}$ и этого будет достаточно для всех случаев жизни. Например, мы можем найти триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны как функции $x^{\mu}$.

Для четырёхмерной тетрадной связности ${\omega^{(a)}}_{(b)}$ и для четырёхмерной кривизны ${R^{(a)}}_{(b)}$ по определению имеем:

$$ d e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \wedge e^{(b)} = 0, \qquad {\omega^{(a)}}_{(b)} = {\omega^{(a)}}_{(b)(c)} \; e^{(c)} \eqno(4) $$

$$ {R^{(a)}}_{(b)} = d {\omega^{(a)}}_{(b)} + {\omega^{(a)}}_{(c)} \wedge {\omega^{(c)}}_{(b)}, \qquad {R^{(a)}}_{(b)} = \frac{1}{2} {R^{(a)}}_{(b)(c)(d)} \; e^{(c)} \wedge e^{(d)}. \eqno(5) $$

Аналогично для трёхмерной триадной связности ${{\Omega}^{(i)}}_{(j)}$ и для трёхмерной кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)}$ по определению имеем:

$$ d {\mathcal E}^{(i)} + {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} \wedge {\mathcal E}^{(j)} = 0, \qquad {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} = {\Omega^{(i)}}_{(j)(k)} \; {\mathcal E}^{(k)}. \eqno(6) $$

$$ {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = d {\Omega^{(i)}}_{(j)} + {\Omega^{(i)}}_{(k)} \wedge {\Omega^{(k)}}_{(j)}, \qquad {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = \frac{1}{2} {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} \; {\mathcal E}^{(k)} \wedge {\mathcal E}^{(l)}. \eqno(7) $$

Исходя из этих определений, а так же из связи ${\mathcal E}^{(i)} = e^{(i)}|_{e^{(0)}=0}$ легко получить следующую формулу:

$$ {R^{(i)}}_{(j)(k)(l)} - {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} = {\omega^{(i)}}_{(j)(0)} \left( {\omega^{(0)}}_{(k)(l)} - {\omega^{(0)}}_{(l)(k)} \right) + {\omega^{(i)}}_{(0)(k)} {\omega^{(0)}}_{(j)(l)} - {\omega^{(i)}}_{(0)(l)} {\omega^{(0)}}_{(j)(k)}. \eqno(8) $$

По этой формуле триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ выражаются через пространственные тетрадные компоненты четырёхмернго тензора кривизны ${R^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ и через пространственные $(0)$-компоненты тетрадной связности.

До сих пор неинегрируемость дифференциальной формы времени $e^{(0)}$ не играла никакой роли, трёхмерная кривизна пространственного распределения нам известна в любом случае. Мы даже можем ввести понятие мгновенного среза ("листа") пространственного распределения сказав, что два события принадлежат одному и тому же мгновенному срезу ("листу") пространственного распределения если их можно соединить пространственно подобной линией трансверсальной мировым линиям. Но как быть если нам нужно вычислить площадь или объём? Пространственно подобных линий трансверсальных мировым линиям мы можем провести сколько угодно, а вот пространственно подобной трёхмерной гиперповерхности трансверсальной мировым линиям не существует если дифференциальная форма времени неинтегрируема: $e^{(0)} \wedge d e^{(0)} \ne 0$. Так же может не существовать двумерных поверхностей трансверсальных мировым линиям. Дело здесь в том, что мгновенный срез ("лист") пространственного распределения является таким трёхмерным римановым пространством, которое (в неинтегрируемом случае) невозможно гладко вложить в четырёхмерное пространство событий. И вот тут у людей часто происходит "взрыв мозга": с одной стороны мгновенный срез ("лист") пространственного распределения реализован на подмножестве событий пространства событий, а с другой стороны он не является гладким вложением (не является гиперповерхностью)... бдыщ (это сейчас чей-то мозг взорвался ). На этом пока закончу.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1059665 писал(а):

До сих пор неинегрируемость дифференциальной формы времени $e^{(0)}$ не играла никакой роли, трёхмерная кривизна пространственного распределения нам известна в любом случае. Мы даже можем ввести понятие мгновенного среза ("листа") пространственного распределения сказав, что два события принадлежат одному и тому же мгновенному срезу ("листу") пространственного распределения если их можно соединить пространственно подобной линией трансверсальной мировым линиям. Но как быть если нам нужно вычислить площадь или объём?

Мне кажется спор перешел в практическую плоскость , как инженеру в данной системе отсчета подсчитать какую-то физическую величину (длину веревки или площадь)). Но не проще ли перейти , скажем , в инерциальную систему отсчета, если это конечно возможно, и относительно универсального времени t, сделать расчет данной величины?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #1060087 писал(а):

Но не проще ли перейти , скажем , в инерциальную систему отсчета, если это конечно возможно, и относительно универсального времени t, сделать расчет данной величины?

Это от перехода между системами координат ответ не зависит, а если вместо вращающейся системы отсчёта взять покоящуюся тогда вместо ответа на вопрос чему равна площадь поверхности вращающегося диска будет дан ответ на вопрос чему равна площадь покоящегося диска.

[manul91]

schekn в сообщении #1060087 писал(а):

Мне кажется спор перешел в практическую плоскость , как инженеру в данной системе отсчета подсчитать какую-то физическую величину (длину веревки или площадь)). Но не проще ли перейти , скажем , в инерциальную систему отсчета, если это конечно возможно, и относительно универсального времени t, сделать расчет данной величины?

Не только "проще" - если не существует универсальное время t в системе отсчета, по чьей "одновременности" вычисляем собственную длину - понятию интегральной собственной длины/площади для меняющихся со временем тел, вообще невозможно придать однозначный смысл (см. "определение" SergeyGubanov, в котором интегральная "сумма" зависит от порядка суммирования).
Если объект деформируется, рассчитывать его "собственную длину/площадь/объем в данный момент времени" - имеет смысл только по одновременности системой отсчета где время глобально синхронизируемо - и слова "данный момент времени" имеют соответно однозначный смысл для данных интегралов.
Для этого подойдет любая синхронная СО (такую, всегда можно подобрать).

Если даже и вы поняли....

SergeyGubanov в сообщении #1060216 писал(а):

Это от перехода между системами координат ответ не зависит, а если вместо вращающейся системы отсчёта взять покоящуюся тогда вместо ответа на вопрос чему равна площадь поверхности вращающегося диска будет дан ответ на вопрос чему равна площадь покоящегося диска.

В этой демагогии и весь SergeyGubanov ; )

Сколько раз можно повторять что в ИСО интегрируется плотность собственной длины/площади на единице расстояния/площади в ИСО?
Соответно, интеграл как интегральная сумма элементов собственной длины - имеет итоговую размерность собственной длины вращающегося диска, в момент $t_0$ ИСО.
А НЕ длины покоящегося диска (контура периферии по эталонов, неподвижных в ИСО).

Можно и явно написать; в случае с собственной длины периферии карусели ${L(t_0)}'$, по одновременности ИСО:

$$ {L(t_0)}'=\oint_{D}d{l}'= \oint_{D}\frac{d{s}'}{ds}ds= \oint_{D}\frac{d{l}'}{dl}dl= \oint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v(t_0)^2}{c^2}}}dl= \oint_{D}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v(t_0)^2}{c^2}}}Rd\theta= \frac{2\pi{R}}{\sqrt{1-\frac{v(t_0)^2}{c^2}}} $$

где:
$d{l}'$ - дифф. элемент собственной длины периферии, $L(t_0)}'$ соответно ee собственная интегральная длина в момент t_0$ ИСО,
$d{l}$ - дифф. элемент обычного расстояния в ИСО,
а область интегрирования $D:{t=t_0, r=R=\text{const}, 0<\theta<2\pi}$.

Что $\frac{d{l}'}{dl}$ от никакого ускорения не может зависеть а только от скорости - очевидно уже из того что это только первые дифференциалы (в дифференциально малом, отношение зависит только от лоренцевом бусте; все высшие добавки исчезают).

Также ясно что интегрируя элементов собственной длины периферии по данном замкнутом в 4d контуре - мы получили интегральную величину размерности собственной длины (а НЕ длину периферии покоящегося диска $2\pi{R}$, как "уверяет" нас SergeyGubanov).

[schekn]

manul91 в сообщении #1060266 писал(а):

В этой демагогии и весь SergeyGubanov ; )

Сколько раз можно повторять что в ИСО интегрируется плотность собственной длины/площади на единице расстояния/площади в ИСО?
Соответно, интеграл как интегральная сумма элементов собственной длины - имеет итоговую размерность собственной длины вращающегося диска, в момент $t_0$ ИСО.

Мне кажется тут путаница в том, что наблюдатель у нас находится , скажем в ИСО и можно мысленно перейти в любую другую ИСО или не ИСО и это есть преобразование координат и такое преобразование никак не должно сказаться на расчетах физической величины (длины обода диска). Если под интегралом мы изменим координаты на другие, то в итоге результирующая величина не изменится.
Другое дело, что переход покоящегося относительно ИСО диска к вращающемуся означает изменение физического состояния системы. Именно этот переход SergeyGubanov (и Родичев) и называет переходом в другую СО и описывает он это с помощью тетрад. Разумеется и физические величины будут меняться.
То есть мы не просто помещаем наблюдателя на вращающейся диск, но говорим о целой "среде" наблюдателей на всем диске. При этом как с помощью данной "среды" наблюдателей измерить указанную физическую величину ( длину обода) для меня по-прежнему не очень ясно?
Родичев идет еще дальше и высказывает крамольную мысль, что такая вращающаяся "среда" дает кривизну пространства-времени. Интересно, кто-то проверял это экспериментально?

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1060266 писал(а):

(см. "определение" SergeyGubanov, в котором интегральная "сумма" зависит от порядка суммирования)

Это ложь.

-- 08.10.2015, 13:08 --

schekn, прошу не упоминать моё имя и имя Родичева близко в тексте. Я не разделяю взглядов Родичева, а поисковые системы навроде Google об этом не знают...

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1060460 писал(а):

schekn, прошу не упоминать моё имя и имя Родичева близко в тексте. Я не разделяю взглядов Родичева, а поисковые системы навроде Google об этом не знают..

Я уже понял, поэтому пытаюсь разобраться в разных трактовках понятий СО у разных авторов.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1060460 писал(а):

manul91 в сообщении #1060266
писал(а):
(см. "определение" SergeyGubanov, в котором интегральная "сумма" зависит от порядка суммирования) Это ложь.

Нет, это голая правда (для ускоренной карусели) ; )

Интегрируя по единой фиксированной кривой зеленой линии (т.е. в один и тот же момент $\tau_0$, вашей якобы "СО") - ваша интегральная длина периферии зависит от направления интегрирования локальных расстояний (т.е. от того суммируются ли расстояния м/у лошадок в момент $\tau_0$ по их часам - в порядке 0,1,2....N, или в порядке 0,N,N-1,....1).

Даже если порядок зафиксировать неким произвольным образом (например, "по вращения") - ваша интегральная длина периферии - как сумма локальных расстояний м/у лошадок в один и тот же момент $\tau_0$ по их часам - еще и зависит от выбора начальной лошадки.

[schekn]

Я так понимаю карусельная эпопея подходит к своему завершению. У меня еще остался 4-й пункт о
разной трактовке координатных преобразований в ОТО. Ее тоже хотелось бы обсудить.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1060552 писал(а):

Интегрируя по единой фиксированной кривой зеленой линии (т.е. в один и тот же момент $\tau_0$, вашей якобы "СО") - ваша интегральная длина периферии зависит от направления интегрирования локальных расстояний (т.е. от того суммируются ли расстояния м/у лошадок в момент $\tau_0$ по их часам - в порядке 0,1,2....N, или в порядке 0,N,N-1,....1).

Даже если порядок зафиксировать неким произвольным образом (например, "по вращения") - ваша интегральная длина периферии - как сумма локальных расстояний м/у лошадок в один и тот же момент $\tau_0$ по их часам - еще и зависит от выбора начальной лошадки.

Величины $\tau_0$ не существует - в ускоренно вращающейся карусели нет интегрального времени.

Бесконечно малый элемент времени есть $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$, а вот интегрального времени $\tau$ нет $e^{(0)} \ne \frac{\partial \tau}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}$.

Существует пространственно подобная линия $x^{\mu}(\ell)$ трансверсальная мировым линиям точек карусели

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0 \eqno(1) $$

и проходящая по периметру вращающейся карусели

$$ e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 1, \quad e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0. \eqno(2)$$

Бесконечно малый элемент длины в этой системе отсчёта:

$$ d\ell^2 = \left( e^{(1)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 + \left( e^{(3)}_{\mu} dx^{\mu} \right)^2 \eqno(3) $$

Подставляем (2) в (3) получаем

$$ L = \int\limits e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu}. \eqno(4) $$

Интеграл (4) надо взять вдоль зелёной линии слева на право между точками её пересечения с красными линиями:

Можно, конечно, брать интеграл (4) справа на лево, но тогда надо будет умножить результат на минус единицу ибо

$$ \int\limits_{A}^{B} f(x) dx = - \int\limits_{B}^{A} f(x) dx. \eqno(5) $$

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1060751 писал(а):

Интеграл (4) надо взять вдоль зелёной линии слева на право между точками её пересечения с красными линиями:.....
...Можно, конечно, брать интеграл (4) справа на лево, но тогда надо будет умножить результат на минус единицу ибо

$$ \int\limits_{A}^{B} f(x) dx = - \int\limits_{B}^{A} f(x) dx. \eqno(5) $$

Ай-яй-яй, как остроумно! ; )

Только (как давно говорил epros), на вашей картинки - цилиндрическая развертка. Т.е. по угловой координатой (по которой у вас оразмерена абсцисса) - весь узор повторяется через каждые $2\pi$.
И соответно ваши две красные линии - это мировая одной и той же лошадки (пересекающая абсциссу на угловой координатой $0$ и $2\pi$ соответно - что один и тот же угол).

Обозначим их поэтому не $A$ и $B$ как у вас, а $P_0$ и ${P_0}'$ - чтоб ясно было, что это мировая той же самой лошадки.
И влево от $P_0$, есть еще одна такая же красная линия, для мировой той же самой лошадки ${P_0}''$ (пересекающая абсциссу на $-2\pi$).
Вообще-то этих копий мировой линии одной и той же лошадки $P_0$ на вашей развертке - бесконечно много (пересекающие абсциссу на $2k\pi$ где $k$ любое целое число, положительное или отрицательное) - из за периодичности угла.

Так вот, теперь

$$ \int\limits_{P_0}^{{P_0}'} f(x) dx = - \int\limits_{{P_0}'}^{P_0}f(x)dx \neq \int\limits_{{P_0}''}^{P_0} f(x) dx = - \int\limits_{P_0}^{{P_0}''}f(x)dx $$

Как видим ваша якобы "длина периферии" зависит от выбора соседней копии мировой той же лошадки, м/у которых ведется интеграл (на $-2\pi$ от 0, или на $2\pi$ от 0).
И совершенно произвольно, что ваш интеграл ведется именно м/у копий $P_0$ и ${P_0}'$, а не м/у копий ${P_0}''$ и $P_0$ (а если на то пошло, почему же не между копий $${P_0}'''$ и ${P_0}''''$, по той же самой зеленой линии)?
Все эти интегралы разные, для ускоренной карусели.

Можно сформулировать и несколько удачнее - ваш интеграл ведется в 4d с событии $P_0(0)$ до несколько позднем событии $P_0(\Delta t_1)$ той же самой лошадки $P_0$, обходя цилиндр по R=const по трансверзальной зеленой линии.
Но почему вместо этого, не ведется с несколько раннем событии $P_0(-\Delta t_2)$, до тем же начальном событием $P_0(0)$ той же самой лошадки $P_0$, также обходя цилиндр по R=const по той же самой трансверзальной зеленой линии?

Про зависимости еще и от выбора самой лошадки - вы конечно, скромно умолчали ; )
Если скажем начать с лошадки $P_1$ - пересекающей абсциссу $t=0$ например на $\frac{\pi}{10}$ (а не $0$ как $P_0$) - и "длина периферии" по той же самой зеленой линии - уже другая.

[SergeyGubanov]

manul91, так а в чём проблема-то? Вы хотите организовать привязку длины карусели к одному событию? Это бесполезно.

И, кстати, там пределы не $0 \ldots 2\pi$, а определяются из решения системы трансцендентных уравнений.

SergeyGubanov в сообщении #1059375 писал(а):

А, вообще, мне самому не до конца ясно есть ли вообще у математиков термин обозначающий "мгновенный срез" пространственного распределения в неинтегрируемом случае. Вот в интегрируемом случае всё понятно, там пространственное распределение превращается в пространственное слоение (листы - пространственно-подобные гиперповерхности). Какое слово надо произносить вместо слова "лист" в неинтегрируемом случае для обозначения одного "мгновенного среза" пространственного распределения?...

Придумал название: поперечный срез конгруэнции мировых линий. В интегрируемом случае поперечный срез конгруэнции мировых линий образует гиперповерхность.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1061019 писал(а):

Придумал название: поперечный срез конгруэнции мировых линий. В интегрируемом случае поперечный срез конгруэнции мировых линий образует гиперповерхность.

(Оффтоп)

Как писали Стругацкие в Пекнике - этим ученым главное название придумать - сразу им все становиться понятным.

[Someone]

(Оффтоп)

schekn в сообщении #1061038 писал(а):

Как писали Стругацкие в Пекнике

Где???