Система отсчета и математический формализм

[dvb]

Munin в сообщении #1056544 писал(а):

Пока вы до физического смысла не допилили - его нет.

Полагаю, физический смысл любой величины, претендующей быть физической, появляется в тот момент, когда некто предлагает провести эксперимент, позволяющий измерить эту величину, или хотя бы ее оценить. В данном случае следует изготовить абсолютно жесткий диск, способный вращаться с ускорением, его следует окружить неподвижным ободом с небольшим зазором по всему периметру диска, рассадить на диске континуум геодезистов с синхронными часами, которые договорились заранее о том, в какие моменты времени и каким способом они измеряют зазор, и "приступить к ускоренному вращению диска" Зная радиус обода, легко будет определить вычислением эффективную геометрию диска в любой момент. Но даже если у дискуссантов есть разногласия по поводу того, корректна ли процедура измерения зазора, всех должен заинтересовать вопрос, зацепится ли в конечном итоге диск за обод, или таки нет? Единственная проблема в том, что абсолютно жестких дисков нет не только в ТО, но и вообще в природе.

[epros]

Извиняюсь за своё временное выпадение из темы.

Утундрий в сообщении #1056090 писал(а):

epros в сообщении #1056083 писал(а):

определите трёхмерную длину окружности ускоренно вращающейся карусели

Определите явно эту не вполне понятную хрень и подумаем, что тут можно сделать.

Я-то определю, мне не трудно. Но мне интересно было бы услышать вариант SergeyGubanov, раз он утверждает, что его тетрады целиком и полностью определяют "систему отсчёта".

schekn в сообщении #1056097 писал(а):

Вообще-то вы уже третий раз меняете условия задачи.

Может быть это просто разные задачи? Решить бы хотя бы одну. Исторически первой была задача про ускоренно вращающуюся карусель. Раздувающийся шарик -- это вариант попроще, для тех, кто плохо понимает первый вариант. К сожалению, решение упрощённого варианта задачи не гарантирует понимания первого варианта...

schekn в сообщении #1056097 писал(а):

во время измерения , у Вас она меняет значение

Время измерения не должно быть таким длительным, чтобы за этот период существенно изменилось измеряемое значение. Нужно всего лишь достаточно однозначно определить момент измерения, вот и всё.

[manul91]

dvb в сообщении #1056744 писал(а):

В данном случае следует изготовить абсолютно жесткий диск,

Это разумеется, полная чушь... Ничего такого не "следует" - диск не может и не будет жестким; если в ИСО он сохраняет геометрию по мере раскручивания (т.е. тот же радиус) то он будет физически растягиваться только тангенциально (но не и сжиматься радиально). В принципе и никакого диска не нужно; достаточно взять вереницу кораблей вращающихся вокруг центра по заданным законом за счет двигателей так, чтобы в ИСО оставались на одной и той же окружности.

[dvb]

manul91 в сообщении #1056807 писал(а):

В принципе и никакого диска не нужно; достаточно взять вереницу кораблей вращающихся вокруг центра по заданным законом за счет двигателей так, чтобы в ИСО оставались на одной и той же окружности.

Но весь вопрос как раз в том и состоит, чтобы определить, по какой именно окружности капитаны должны вести свои суда, чтобы все вместе они имитировали пресловутое "абсолютно твердое тело". Им нужны рекомендации теоретиков, которые тут и обсуждаются. Сложность в том, что каждый из капитанов вынужден определять свою траекторию в общем строю, находясь в собственной системе отсчета, притом неинерциальной, и пользуясь собственными часами, притом синхронизированными с часами всех прочих капитанов. С этим у них будут большие проблемы, коль скоро речь идет о релятивистских скоростях. Помимо этого, возникает общий вопрос: а что, собственно, такое "форма" тела, части которого двигаются друг относительно друга с релятивистскими скоростями, и какие процедуры следует применять для ее экспериментального определения? Вопрос может показаться праздным, но в глубинах вселенной есть такие объекты - пульсары... Хотелось бы понять, имеют ли они какую-то форму, или, как тот поручик Киже, "фигуры не имеют"?

[manul91]

dvb в сообщении #1056929 писал(а):

Но весь вопрос как раз в том и состоит, чтобы определить, по какой именно окружности капитаны должны вести свои суда...

Нет, это совсем другой вопрос - тема не по вопросов навигации

dvb в сообщении #1056929 писал(а):

чтобы все вместе они имитировали пресловутое "абсолютно твердое тело"

никакого твердого тела нет и не может быть; тем более никому не нужно его имитировать - просто вы совершенно не в теме

[Утундрий]

dvb в сообщении #1056929 писал(а):

икает общий вопрос: а что, собственно, такое "форма" тела

Вопрос не из лёгких, но хочу напомнить, что родственная проблема построения "фигуры тела" давно решена Голохвастовым.

dvb в сообщении #1056929 писал(а):

в глубинах вселенной есть такие объекты - пульсары... Хотелось бы понять, имеют ли они какую-то форму, или, как тот поручик Киже, "фигуры не имеют"?

Судя по последней работе Пелевина, Киже имеет непосредственное отношение к т.н. "флюиду". Неясно, впрочем, вырабатывают ли флюид пульсары. И, если вырабатывают, то сколько?

manul91 в сообщении #1056934 писал(а):

никакого твердого тела нет и не может быть;

Вот те раз! Как же его может не быть, когда я его неоднократно (в учебниках) наблюдал?

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #1056083 писал(а):

И как же Вы определите трёхмерную длину окружности ускоренно вращающейся карусели?

Этот вопрос не имеет ничего дискуссионного.

Неподвижная инерциальная система отсчёта:

$$ \bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\varphi, \quad \bar{e}^{(3)} = dz. \eqno(1) $$

Вращающаяся с переменной скоростью $v(t,r)$ неинерциальная система отсчёта получается из неё локальным Лоренцевским бустом в плоскости $\bar{e}^{(0)} \wedge \bar{e}^{(2)}$:

$$ e^{(0)} = \frac{\bar{e}^{(0)} - \frac{v}{c} \bar{e}^{(2)}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = \frac{\bar{e}^{(2)} - \frac{v}{c} \bar{e}^{(0)} }{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(3)} = dz. \eqno(2) $$

В явном виде:

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{v}{c} r \, d\varphi}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = \frac{r \, d\varphi - v \, dt }{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(3)} = dz. \eqno(2') $$

Мировые линии $x^{\mu}(s)$ лошадок вращающейся карусели:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = 1, \quad e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = 0, \quad e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = 0, \quad e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{ds}}^{\mu} = 0. \eqno(3) $$

Трансверсальные этим мировым линиям пространственно подобные линии $x^{\mu}(\ell)$ вдоль периметра вращающейся карусели:

$$ e^{(0)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad e^{(1)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0, \quad e^{(2)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 1, \quad e^{(3)}_{\mu} {\frac{dx}{d\ell}}^{\mu} = 0. \eqno(4) $$

Расстояния между лошадками вдоль периметра карусели равны интегралу от дифференциальной формы $e^{(2)}$ вдоль линии $x^{\mu}(\ell)$:

$$ \ell = \int e^{(2)}_{\mu} dx^{\mu}. \eqno(5) $$

Пусть радиус карусели равен $R$. Для примера рассмотрим случай когда при $r = R$ скорость вращения

$$ v(t, R) = \frac{a t}{\sqrt{1 + \frac{a^2 t^2}{c^2} }}. \eqno(6) $$

Тогда мировые линии лошадок:

$$ \varphi (t) = \operatorname{const} + \frac{c^2}{a R} \left( \sqrt{1+\frac{a^2 t^2}{c^2} } - 1 \right). \eqno(7) $$

Трансверсальные этим мировым линиям пространственно подобные линии вдоль периметра карусели:

$$ \varphi (t) = \operatorname{const} + \frac{c^2}{a R} \left( \sqrt{1+\frac{a^2 t^2}{c^2} } + \frac{1}{2} \log \left( \frac{a^2 t^2}{c^2} \right) - \log \left( 1 + \sqrt{1+\frac{a^2 t^2}{c^2}} \right) \right). \eqno(8) $$

На следующем рисунке по вертикальной оси $t$, по горизонтальной оси $\varphi$, красные линии - мировые линии лошадок, зелёные линии - трансверсальные им пространственно подобные линии вдоль периметра карусели:

Интеграл от $e^{(2)}$ вдоль какой-либо зелёной линии между точками её пересечения с соседними красными линиями и есть искомое расстояние вдоль периметра между соседними лошадками.

Поскольку для нахождения точек пересечения красных и зелёных линий нужно решать трансцендентные уравнения, то больше ничего аналитически тут уже не сделаешь.

-- 27.09.2015, 16:43 --

schekn в сообщении #1056483 писал(а):

Мне еще по Вашему формализму осталось непонятным следующее: я начал с того, что , если при координатном преобразовании уравнения или в общем случае функция Лагранжа остается форминвариантной , то мы не сможем определить в какой системе отсчета мы находимся , - уравнения не изменят свой вид и математически все будет идентично.
В случае задания Системы отсчета репером: как преобразуется функция Лагранжа и что означает форминвариантность в данном случае? Ведь , скажем, метрику иногда мы можем написать точно такую же , как и до перехода в новую СО, но при этом реперы претерпят изменения ( повернутся).

Про системы координат:
При преобразованиях координат Лагранжиан не форминвариантен, а просто инвариантен. Дифференциальные уравнения меняют свои вид, но не а бы как, а ковариантно.

Про системы отсчёта:
В некоторые Лагранжианы репер входит только в составе метрики $g_{\mu \nu} = \eta_{a b} e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu}$, эти лагранжианы от системы отсчёта не зависят. Бывают Лагранжианы в которые репер $e^{(a)}_{\mu}$ входит непосредственно, например Лагранжиан поля Дирака.

-- 27.09.2015, 16:46 --

manul91 в сообщении #1056273 писал(а):

Имхо, "проблема" SergeyGubanov из-за того что он за "временной координатой" признает...

Имхо, "проблема" SergeyGubanov в том, что некоторые ни фига не понимают того чего он пишет.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Интеграл от $e^{(2)}$ вдоль какой-либо зелёной линии между точками её пересечения с соседними красными линиями и есть искомое расстояние вдоль периметра между соседними лошадками.

Предложенное вами определение - через интеграла вдоль зафиксированной зеленой линии - трудно назвать "длиной" периферии ускоренно вращающейся карусели, хоть в любом разумном смысле.
Дело в том что если лошадок суммарно N (с нулевой, до N-1-вой) равномерно распределенных по углу - то по вашему методу,соседние расстояния по обеих сторон лошадки 0 - т.е. элементы периметра (N-1,0) и (0,1) - будут вычисляться существенно локально-неодновременно.
Т.е. будут браться в разных собственных времен нулевой лошадки (примыкающей к обоих соседних расстояний) - и эта разница в измерений по собственному времени лошадки 0, не исчезает в интегральном пределе при увеличивания N (т.е. измельчения разбиения), а остаeтся вполне конечной.
Поэтому и отношение расстояний м/у лошадок (N-1,0) и (0,1) не будет стремиться к единице в пределе увеличивания N (хотя лошадки расставлены равномерно по углу).
Если вы пронумеруете красные линии в вашей цилиндрической развертке 0,1...N-1,0,1,... то сказанное будет очевидным.

Поэтому такое измерение - через интеграла вдоль зафиксированной зеленой линии - нельзя назвать "одновременным" для всех лошадок - в любом разумном смысле "одновременности". И также, нельзя представить как однозначную функцию от любой времениподобной координатой $x^0$ (включительно t ИСО в которой неподвижен центр карусели).

Простыми словами, длина периферии карусели постоянно увеличивается по мере ускоренного раскручивания (при постоянном r) - это ясно.
И, когда мы хотим измерить длину чего-то меняющегося со временем - например периметра надувного шарика - подразумевается что мы измеряем "одновременно" всех элементарных расстояний по контуру, а не ползем с линейкой по поверхности, чтобы накопилась разница пока мы пришли к исходной точке.
Пусть и "одновременно" понималось только в смысле одновременности собственного времени, для любых соседних дифференциальных элементарных элементов расстояния (если интегральная синхронизация по контуру не возможна).

Вариант определения интегральной длины который я предложил (через внешним сигналом; т.е. в частном случае, по "одновременности" ИСО где центр неподвижен) - выполняет хоть это условие, и в этом смысле ближе к обычном понимании длины.

-- 27.09.2015, 19:26 --

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Имхо, "проблема" SergeyGubanov в том, что некоторые ни фига не понимают того чего он пишет.

Да все понятно - вы предлагаете чтобы элемент расстояния по одной одной стороны лошадки 0 - т.е. расстояние (N-1,0) между N-1-вой и 0-вой лошадки - считался через много лет после того, как посчитан элемент расстояния по другой стороны лошадки 0 (т.е. расстояние (0,1) между 0-вой и 1-вой лошадки).
"Много лет" - это по собственному времени лошадки 0 примыкающей к обоим интервалам - что однозначно определено, и не исчезает с увеличивания N.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Про системы координат:
При преобразованиях координат Лагранжиан не форминвариантен, а просто инвариантен. Дифференциальные уравнения меняют свои вид, но не а бы как, а ковариантно.

Как раз в большинстве источников говорится о форминвариантности (=инвариантности) , как о неизменности лагранжиана ( Иваненко-Сарданашвили , стр. 66).
Так, Преобразования Лоренца оставляют форминвариантной галилееву метрику Минковского.

-- 27.09.2015, 21:38 --

epros в сообщении #1056796 писал(а):

Но мне интересно было бы услышать вариант SergeyGubanov, раз он утверждает, что его тетрады целиком и полностью определяют "систему отсчёта".

У Иваненко также написано, что можно задать локальную систему отсчета именно тетрадой (стр. 66), то есть 4-кой векторов в данной точке, как базис касательного пространства.

[dvb]

SergeyGubanov в сообщении #1056995 писал(а):

Интеграл от $e^{(2)}$ вдоль какой-либо зелёной линии между точками её пересечения с соседними красными линиями и есть искомое расстояние вдоль периметра между соседними лошадками.

Я понял Вас так: проведем на графике горизонтальную линию, точки пересечения ее с красными линиями означают событие начала измерения каждой лошадкой расстояния до следующей. Они одновременны для всех лошадок. Теперь каждая лошадка интегрирует расстояние по зеленой линии до следующей. Теперь суммируем измеренное всеми лошадками. И, наконец, устремляем число лошадок к бесконечности. В пределе все измерения будут одновременны.

[SergeyGubanov]

manul91, Вы сейчас сильно удивитесь, но с равномерно вращающейся каруселью та же "беда"...

Красные линии - мировая линия одной и той же лошадки ($\varphi=0$, $\varphi=2 \pi$).
Зелёная линия - пространственно подобная линия трансверсальная мировым линиям точек карусели.

Длина карусели равна псевдоевклидовой длине зелёной линии между точками её пересечения с левой и правой красными линиями.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1057287 писал(а):

manul91, Вы сейчас сильно удивитесь, но с равномерно вращающейся каруселью та же "беда"...

SergeyGubanov в сообщении #1057287 писал(а):

Длина карусели равна псевдоевклидовой длине зелёной линии между точками её пересечения с левой и правой красными линиями.

В случае с равномерно вращающейся каруселью эта якобы "беда" - НЕ беда: там не имеет значение, в какие моменты (по собственному времени лошадок) брать интервалы расстояния между ними - так как интегральная сумма будет одна и та же.
На вашем чертеже равномерного вращения, это также ясно видно - все зеленые линии прямы и взаимнопараллельны (то же самое для красных). Поэтому, длина зеленых псевдоэвклидовых отрезков между любых двух соседних красных линий (мировых линий соседних лошадок) - одна и та же, как "вверх" так и "вниз" - т.е. в любой момент собственного времени лошадок - а следовательно, и сумма длин этих элементов расстояния по всем круговом контуре тоже не зависит от того более "поздние" или "ранние" элементы расстояния включаем в сумме (они то все одинаковы).

Так что в случае равномерного вращения, даже "неправильное" (в смысле неодновременное по собственному времени для всех лошадок для их соответных примыкающих интервалов с обоих сторон) вычисление элементов длины дает ту же интегральную длину периферии, как и "одновременное" (по какой нибудь общей времениподобной $x_0$; в частности, если берем интегральную сумму всех наклоненых зеленых отрезков, при одном и том же t).

Для ускоренно вращающейся карусели (у которой длина периферии увеличивается во время раскручивания) - это уже неверно.

Об этом я говорил еще тут, то же самое говорил вам и epros.
И почему-то, я не удивлен ; )

Все это понятно и на простейшем уровне - когда карусель вращается равномерно, она стационарна - длина ее периферии не меняется, все постоянно. Так что хоть ползи по периферии меряя линейкой со скоростью черепахи (приходя с обратной стороне к начальной лошадки после много лет по ее собственному времени), хоть снимай "одновременно" линейками везде по внешнему сигналу из центра (по одновременности часов ИСО) - в итоге получится все одно и то же.

А при ускоренном вращении, это уже не так - ситуация нестационарна, длина периферии меняется (как и у обычном раздувающемся шарике без вращения) - в этом случае, принято брать дифференциальные интервалы длины как нибудь "одновременно" а не медленно ползать черепахой вокруг меняющегося периметра (правда в случае ползающей черепахи, дифференциальные пространственноподобные элементы расстояния, интегрируются по времениподобном контуре мировой черепахи в 4d - а не по пространственноподобном - но это не имеет значения, т.к. в обоих случаев получается тот же разрыв собственого времени начальной лошадки при измерений в ее окрестности).

dvb в сообщении #1057234 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1057287 писал(а):

Интеграл от $e^{(2)}$ вдоль какой-либо зелёной линии между точками её пересечения с соседними красными линиями и есть искомое расстояние вдоль периметра между соседними лошадками.

Я понял Вас так: проведем на графике горизонтальную линию, точки пересечения ее с красными линиями означают событие начала измерения каждой лошадкой расстояния до следующей. Они одновременны для всех лошадок. Теперь каждая лошадка интегрирует расстояние по зеленой линии до следующей. Теперь суммируем измеренное всеми лошадками. И, наконец, устремляем число лошадок к бесконечности. В пределе все измерения будут одновременны.

Это слишком оптимистично, додумывать за SergeyGubanov не нужно - если SergeyGubanov хотел так сказать, то так и сказал бы.
Ведь вопрос к ним ("искомое"!) , был про разумном определении интегральной длины периферии ускоренно вращающейся карусели - а НЕ что такое "расстояние м/у двух соседних лошадок" (т.е. что такое элемент собственной длины периферии).
Так что в "лучшем" случае, он ничего не ответил; в "худшем" продолжает настаивать интегрировать по фиксированной зеленой линии с начала до конца при ускоренном вращении (что вроде потверждается и его последующим ответом, что "та же беда", якобы существует и при равномерном вращении).

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #1057338 писал(а):

в этом случае, принято брать дифференциальные интервалы длины как нибудь "одновременно" а не медленно ползать черепахой вокруг меняющегося периметра

Вот это вот 'как нибудь "одновременно"' на математическом языке формализуется следующими словами: вдоль пространственно подобной линии трансверсальной мировым линиям.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #1057360 писал(а):

Вот это вот 'как нибудь "одновременно"' на математическом языке формализуется следующими словами: вдоль пространственно подобной линии трансверсальной мировым линиям.

Продолжаете юродствовать? ; )
Как Мунин ранее сказал:

Munin в сообщении #1056282 писал(а):

У периметра диска простой смысл: сколько верёвки потребуется.

а ваш метод для него неверен.

При вычислении например по одновременности t=const ИСО, все элементарные расстояния (длины наклонных зеленых отрезков) - суммируются именно вдоль пространственноподобной линии t=const: горизонтальной на вашей диаграмме, и трансверзальной мировым линиям.
В пределе интеграла, результат однозначен - и равен длины необходимой веревки.

А конкретнее, такой рассчет является ответом простейшeго физического вопроса: сколько эталонных линеек нужно приложить к периферии ускоренной карусели одновременно в момент t=const ИСО со всех сторон, чтобы ее плотно покрыть (взаимнонеподвижно к ней - т.е. с той же мгновенной тангенциальной скорости, с которой вращаются все элементы периферии в момент t).

На тот же вопрос (и аналогичными - например при приложения линеек одновременно по одновременности ИСО1) - ваш расчет, даст ошибочный ответ.
Более того, ваш рассчет вообще не может являться ответом про "длины периферии ускоряющейся карусели в момент $x^0=C_1$", в любом глобальном смысле времениподобной координатой $x^0$ - каков бы он не был бы; т.к. собственные элементы расстояния по обоих сторон одной и той же лошадки, у вас считаются в разных собственных времен лошадки (через годы), а значит и в разных координатных времен $x^0$.

[dvb]

manul91 в сообщении #1057338 писал(а):

Ведь вопрос к ним ("искомое"!) , был про разумном определении интегральной длины периферии ускоренно вращающейся карусели - а НЕ что такое "расстояние м/у двух соседних лошадок" (т.е. что такое элемент собственной длины периферии)

Я таки полагаю, что общая длина периферии складывается из элементов этой длины. Что касается одновременности измерения этих элементов, то да, если есть подозрение, что объект меняет размеры в процессе измерения (при любом способе определения этих размеров) то измерение следует проводить синхронно всеми участниками этого мероприятия. Как именно определить одновременнсть - другой вопрос. Например, в данном случае я предлагаю на оси зажечь лампочку, и когда каждая лошадка примет световой сигнал, немедленно произведет свое измерение. Не знаю, как этот метод выглядит с позиции чистой теории, но, во всяком случае, он конструктивен, и позволяет хоть что-то прокукарекать про зависимость периметра диска от времени в процессе его раскручивания.
Другое. Чуть выше Вы заявили, что радиус диска не может измениться, а вот периметр будет меняться в процессе ускорения. Надо полагать, это может происходить оттого, что каждая лошадка производит измерение в собственной системе отсчета, а системы у всех лошадок разные. Мы же, по предложенному методу тупо суммируем эти измерения. Хотелось бы иметь измерение периметра в какой-то одной выбранной системе отчета.