2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение19.09.2015, 14:33 


10/07/15
286
По симметричным совпадает до 10 степени. Не симметричные не считал.
Считал максимальных соседей у близнецов, получил такие данные $100, 148, 196, 250, 318$.
Пока у рекордсменов растет и сосед с другой стороны близнеца.
Последний раз разность 4 для рекорда 150 встречалась у близнецов (27980937,27980939), причем последовательность разностей такая $150, 2, 4, 6, 14$.
Пока сделаю заметку ( 2, 4, 6 ), потом буду думать что с ней делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение19.09.2015, 20:44 


10/07/15
286
В OEIS есть последовательность для увеличивающихся разностей $2, 4, 6, ... 2n$, а для уменьшающихся нет. Есть последовательности, но там с пропусками, просто увеличивающиеся разности или уменьшающиеся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение20.09.2015, 16:10 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Появились новые данные для чисел $<10^{n=14}$ по интервалам:
Код:
n   Sym  Non  Sym2  Non2   D3   D16
13  300  340   270   294  760  1564 - повтор предыдущих результатов для сравнения
14  390  396   322   352       1692
Формат: n - степень 10-ти; Sym - симметричный интервал вокруг простого числа $p_{i+1}-p_i=p_i-p_{i-1}$; Non - несимметричный $\min(p_{i+1}-p_i,p_i-p_{i-1})$; Sym2 - симметричный интервал вокруг близнецов $p_{i+2}-p_{i+1}=p_i-p_{i-1}, p_{i+1}-p_i=2$; Non2 - несимметричный $\min(p_{i+2}-p_{i+1},p_i-p_{i-1}), p_{i+1}-p_i=2$; D3 - разность $p_{i+2}-p_i$; D16 - разность $p_{i+15}-p_i$.
Добавить расчёт D3 забыл, придётся перезапускать счёт. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение20.09.2015, 20:09 


10/07/15
286
Неожиданно для троек результаты близки что для симметричных, что нет ( $ n=10^{14} $).
Для близнецов только для $10^8$ большой разрыв, затем уменьшился, к $10^{12}$ подрос, но затем снова результаты сблизились.
Неужели для больших чисел условие симметричности не очень сильно накладывает ограничение. Хотя чисто теоретически найдут такие числа, что рекорд попадет на симметричный случай. А что, нет никаких запретов, кроме вероятности, но вероятность на то и вероятность, что при отсутствии запретов все что не загадаешь, то и произойдет. Только какие же должны быть числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение20.09.2015, 20:37 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Begemot82
Такие случаи уже есть, просто они не все попали точно на границы $10^n$, потому и нет в таблице. А так, вот моменты когда симметричный рекорд обновляет и несимметричный рекорд (обратных случаев очевидно быть не может):
Код:
Одиночные простые:
2:5
6:53
12:211
390:26923643849953

Близнецы:
4:11
6:29
10:419
48:913637
264:1746861022397


-- 20.09.2015, 20:53 --

Ещё наблюдение, до одного и того же предела симметричных рекордов отдельных простых 29шт (все добавлены в A058868/A058867), несимметричных 52шт, симметричных рекордов близнецов 33шт, несимметричных 36шт.

-- 20.09.2015, 21:19 --

PS. Вдруг кто не знает, пока изменения в OEIS не одобрены редакторами, черновик (со всей историей исправлений) можно посмотреть по ссылке вида https://oeis.org/draft/Axxxxxx, без регистрации на портале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 00:47 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Ну что же, до $10^{14}$ остался непобитым найденный ещё позачера рекорд $D_3=900:21185697626083$.
Выкладываю полные результаты всех 6-ти рекордов ($D_3, D_{16}$, симметричные и несимметричные интервалы вокруг одиночных чисел и близнецов): https://cloud.mail.ru/public/MwdT/asL1TZgbf

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 01:55 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Подарок чисто для Begemot82, рекорды интервалов вокруг квадруплета (0,2,6,8):

(Симметричные)

Код:
4:11
10:821
12:15641
22:34841
40:420851
48:27076661
52:76215311
54:156552491
64:177112841
78:191969411
84:1669870751
88:18755821031
114:21510217361
150:31192327091
154:142210921841
162:739500018611
178:794355711881
180:961546740101
192:1022391439631

(Несимметричные)

Код:
2:5
4:11
10:191
12:3251
18:13001
22:34841
28:243701
40:420851
42:2954681
48:8561801
54:19897481
64:20314751
70:71708801
78:191969411
90:263364581
100:1230981461
118:2547789311
120:5539458641
130:16161080861
168:19331038031
174:107284417571
178:590001788861
190:756427387811
192:1022391439631
Тоже интересно, диаметры 4, 22, 40, 78, 192 являются общими (симметричный рекорд обновляет и несимметричный).
Сокращать данные до степеней 10 лень, желающие выполнят сами в уме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 13:27 


10/07/15
286
D3 начинает входит в общую колею, отношение к D2 начинает приближается к 1. Понятно почему так происходит. Для D3 и D4 в начале числового ряда разброс был велик по сравнению с теоретическими значениями средних величин и рекордами D2.
Для троек средняя величина разности $r_1$ и $r_2$ растет как $\ln(x)$, рекордное значение разности D2 растет как $\ln^2(x)$. И если первоначально я думал, что рядом с большими разностями, а тем более рекордными, разности больше по сравнению с "стандартном", то сейчас вижу, что разности рядом с рекордными начинают вести как случайные величины с распределением $\frac{1}{\ln(x)}$. Определить как будет вести D3 ( зависимость D3 от x ) мало данных, а тем более теоретических знаний. Но то, что предел $\frac{D3}{D2}$ есть и он равен единице ни вызывает уже сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 14:31 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Дополнение к квадруплету.
Симметричный интервал:
198:1770749539541
Несимметричный интервал:
214:1437131870591
228:1807979348801
244:5070358697351
На $10^{13}$ счёт остановлен.

-- 21.09.2015, 14:33 --

Из интересного, обнаружено продолжение A031132:A031133 - 944:117102787055687

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Begemot82 в сообщении #1054242 писал(а):
Остается проводить эксперименты. Какие еще? Что еще можно покрутить?

Предложение ещё в силе? Может, Вас заинтересует в этой статье письмо от Erdos к Ruzsa (см. нужно формулу 2.2 в начале страницы 121), а также комменарий Ruzsa относительно этой формулы и её связи с вероятностной моделью.

На всякий случай коротко суть по-русски.
Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:
$$
\max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2}.
$$
По вероятностной модели в пределе это даёт 1/4. Эрдош предполагает стремление к 0. Ruzca удивляется, что если Эрдош прав, то мы имеем очень сильный индикатор неслучайности в поведении простых. И говорит, что численные эксперименты были бы здесь очень интересны. У Вас уже есть готовый знаменатель. Может попробуем?

Если справедлива вероятностная модель, то это плюс несколько очков к Вашей гипотезе $D_3/D_2 \to 1$, если нет, тогда минус несколько очков. Ставки сделаны :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 15:13 
Заслуженный участник


04/03/09
910
grizzly в сообщении #1055468 писал(а):
Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:
$$
\max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)}.
$$


В знаменателе квадрат, наверное, должен быть. Так вот, быстрая проверка до $10^{11}$ показала, что это отношение монотонно падает, но пока что достигло 0.28. Нужны проверки бо'льших интервалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 15:34 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Наверное стоит уточнить, что готовый знаменатель есть не у нас, а даже в вики аж до значения 1476:1,425,172,824,437,699,411. И до 4е18 (вероятно даже до $2^{62}$) все простые проверены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
12d3
Спасибо, конечно квадрат. Правлю исходное сообщение. Хм.. 0,28 это что ж -- всё идёт к вероятностной модели? в пику Эрдошу? Но до $10^{11}$ в 1999-м наверняка уже посмотрели и Ruzsa знал результаты. Хотя вряд ли мы на следующих 3 степенях перейдём через 0,25. Разве что по скорости падения будет что-то заметно. Подозрительно всё это.

А на что нужно делить произведение трёх соседних разностей? ну или ещё какие подобные формулы? Можем мы где-то использовать $D3$ в знаменателе с пользой для интереса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 16:00 


10/07/15
286
grizzly в сообщении #1055468 писал(а):
Предложение ещё в силе?
В силе.
По формуле ( с квадратом ). В точке достижения рекорда первый множитель сокращается, а отношение второго к рекорду стравится к нулю ( по моей гипотезе, которая пока подверждается данными), то есть предел 0. Просто в то время оно колебалось около 0.25, а на $10^{14}$ уже близится к 1.1. Обдумаю уже к вечеру.
grizzly в сообщении #1055468 писал(а):
Если справедлива вероятностная модель, то это плюс несколько очков к Вашей гипотезе $D_3/D_2 \to 1$, если нет, тогда минус несколько очков
Наверное наоборот, моя гипотеза для D3 является повторением гипотезы Эрдоша. Только я шел от больших наборов чисел, а для 4 и 3 видел странное поведение. Четверка быстро отпала, а тройка только после результатов Dmitriy40 для $10^{13},10^{14}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение21.09.2015, 16:02 
Заслуженный участник


04/03/09
910
Хочу исправиться, про монотонность я сильно загнул. Выходит, что отношение колеблется где-то в районе 0.3. Чуть позже опубликую график.
grizzly в сообщении #1055505 писал(а):
А на что нужно делить произведение трёх соседних разностей?

Попробуем сначала на куб делить, посмотрим, к чему стремится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 176 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group