Диаметр последовательности простых чисел

[Begemot82]

По симметричным совпадает до 10 степени. Не симметричные не считал.
Считал максимальных соседей у близнецов, получил такие данные $100, 148, 196, 250, 318$.
Пока у рекордсменов растет и сосед с другой стороны близнеца.
Последний раз разность 4 для рекорда 150 встречалась у близнецов (27980937,27980939), причем последовательность разностей такая $150, 2, 4, 6, 14$.
Пока сделаю заметку ( 2, 4, 6 ), потом буду думать что с ней делать.

[Begemot82]

В OEIS есть последовательность для увеличивающихся разностей $2, 4, 6, ... 2n$, а для уменьшающихся нет. Есть последовательности, но там с пропусками, просто увеличивающиеся разности или уменьшающиеся.

[Dmitriy40]

Появились новые данные для чисел $<10^{n=14}$ по интервалам:

n   Sym  Non  Sym2  Non2   D3   D16
13  300  340   270   294  760  1564 - повтор предыдущих результатов для сравнения
14  390  396   322   352       1692

Формат: n - степень 10-ти; Sym - симметричный интервал вокруг простого числа $p_{i+1}-p_i=p_i-p_{i-1}$; Non - несимметричный $\min(p_{i+1}-p_i,p_i-p_{i-1})$; Sym2 - симметричный интервал вокруг близнецов $p_{i+2}-p_{i+1}=p_i-p_{i-1}, p_{i+1}-p_i=2$; Non2 - несимметричный $\min(p_{i+2}-p_{i+1},p_i-p_{i-1}), p_{i+1}-p_i=2$; D3 - разность $p_{i+2}-p_i$; D16 - разность $p_{i+15}-p_i$.
Добавить расчёт D3 забыл, придётся перезапускать счёт.

[Begemot82]

Неожиданно для троек результаты близки что для симметричных, что нет ( $ n=10^{14} $).
Для близнецов только для $10^8$ большой разрыв, затем уменьшился, к $10^{12}$ подрос, но затем снова результаты сблизились.
Неужели для больших чисел условие симметричности не очень сильно накладывает ограничение. Хотя чисто теоретически найдут такие числа, что рекорд попадет на симметричный случай. А что, нет никаких запретов, кроме вероятности, но вероятность на то и вероятность, что при отсутствии запретов все что не загадаешь, то и произойдет. Только какие же должны быть числа?

[Dmitriy40]

Begemot82
Такие случаи уже есть, просто они не все попали точно на границы $10^n$, потому и нет в таблице. А так, вот моменты когда симметричный рекорд обновляет и несимметричный рекорд (обратных случаев очевидно быть не может):

Одиночные простые:
2:5
6:53
12:211
390:26923643849953

Близнецы:
4:11
6:29
10:419
48:913637
264:1746861022397

-- 20.09.2015, 20:53 --

Ещё наблюдение, до одного и того же предела симметричных рекордов отдельных простых 29шт (все добавлены в A058868/A058867), несимметричных 52шт, симметричных рекордов близнецов 33шт, несимметричных 36шт.

-- 20.09.2015, 21:19 --

PS. Вдруг кто не знает, пока изменения в OEIS не одобрены редакторами, черновик (со всей историей исправлений) можно посмотреть по ссылке вида https://oeis.org/draft/Axxxxxx, без регистрации на портале.

[Dmitriy40]

Ну что же, до $10^{14}$ остался непобитым найденный ещё позачера рекорд $D_3=900:21185697626083$.
Выкладываю полные результаты всех 6-ти рекордов ($D_3, D_{16}$, симметричные и несимметричные интервалы вокруг одиночных чисел и близнецов): https://cloud.mail.ru/public/MwdT/asL1TZgbf

[Dmitriy40]

Подарок чисто для Begemot82, рекорды интервалов вокруг квадруплета (0,2,6,8):

(Симметричные)

4:11
10:821
12:15641
22:34841
40:420851
48:27076661
52:76215311
54:156552491
64:177112841
78:191969411
84:1669870751
88:18755821031
114:21510217361
150:31192327091
154:142210921841
162:739500018611
178:794355711881
180:961546740101
192:1022391439631

(Несимметричные)

2:5
4:11
10:191
12:3251
18:13001
22:34841
28:243701
40:420851
42:2954681
48:8561801
54:19897481
64:20314751
70:71708801
78:191969411
90:263364581
100:1230981461
118:2547789311
120:5539458641
130:16161080861
168:19331038031
174:107284417571
178:590001788861
190:756427387811
192:1022391439631

Тоже интересно, диаметры 4, 22, 40, 78, 192 являются общими (симметричный рекорд обновляет и несимметричный).
Сокращать данные до степеней 10 лень, желающие выполнят сами в уме.

[Begemot82]

D3 начинает входит в общую колею, отношение к D2 начинает приближается к 1. Понятно почему так происходит. Для D3 и D4 в начале числового ряда разброс был велик по сравнению с теоретическими значениями средних величин и рекордами D2.
Для троек средняя величина разности $r_1$ и $r_2$ растет как $\ln(x)$, рекордное значение разности D2 растет как $\ln^2(x)$. И если первоначально я думал, что рядом с большими разностями, а тем более рекордными, разности больше по сравнению с "стандартном", то сейчас вижу, что разности рядом с рекордными начинают вести как случайные величины с распределением $\frac{1}{\ln(x)}$. Определить как будет вести D3 ( зависимость D3 от x ) мало данных, а тем более теоретических знаний. Но то, что предел $\frac{D3}{D2}$ есть и он равен единице ни вызывает уже сомнения.

[Dmitriy40]

Дополнение к квадруплету.
Симметричный интервал:
198:1770749539541
Несимметричный интервал:
214:1437131870591
228:1807979348801
244:5070358697351
На $10^{13}$ счёт остановлен.

-- 21.09.2015, 14:33 --

Из интересного, обнаружено продолжение A031132:A031133 - 944:117102787055687

[grizzly]

Begemot82 в сообщении #1054242 писал(а):

Остается проводить эксперименты. Какие еще? Что еще можно покрутить?

Предложение ещё в силе? Может, Вас заинтересует в этой статье письмо от Erdos к Ruzsa (см. нужно формулу 2.2 в начале страницы 121), а также комменарий Ruzsa относительно этой формулы и её связи с вероятностной моделью.

На всякий случай коротко суть по-русски.
Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:

$$ \max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2}. $$

По вероятностной модели в пределе это даёт 1/4. Эрдош предполагает стремление к 0. Ruzca удивляется, что если Эрдош прав, то мы имеем очень сильный индикатор неслучайности в поведении простых. И говорит, что численные эксперименты были бы здесь очень интересны. У Вас уже есть готовый знаменатель. Может попробуем?

Если справедлива вероятностная модель, то это плюс несколько очков к Вашей гипотезе $D_3/D_2 \to 1$, если нет, тогда минус несколько очков. Ставки сделаны

[12d3]

grizzly в сообщении #1055468 писал(а):

Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:

$$ \max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)}. $$

В знаменателе квадрат, наверное, должен быть. Так вот, быстрая проверка до $10^{11}$ показала, что это отношение монотонно падает, но пока что достигло 0.28. Нужны проверки бо'льших интервалов.

[Dmitriy40]

Наверное стоит уточнить, что готовый знаменатель есть не у нас, а даже в вики аж до значения 1476:1,425,172,824,437,699,411. И до 4е18 (вероятно даже до $2^{62}$) все простые проверены.

[grizzly]

12d3
Спасибо, конечно квадрат. Правлю исходное сообщение. Хм.. 0,28 это что ж -- всё идёт к вероятностной модели? в пику Эрдошу? Но до $10^{11}$ в 1999-м наверняка уже посмотрели и Ruzsa знал результаты. Хотя вряд ли мы на следующих 3 степенях перейдём через 0,25. Разве что по скорости падения будет что-то заметно. Подозрительно всё это.

А на что нужно делить произведение трёх соседних разностей? ну или ещё какие подобные формулы? Можем мы где-то использовать $D3$ в знаменателе с пользой для интереса?

[Begemot82]

grizzly в сообщении #1055468 писал(а):

Предложение ещё в силе?

В силе.
По формуле ( с квадратом ). В точке достижения рекорда первый множитель сокращается, а отношение второго к рекорду стравится к нулю ( по моей гипотезе, которая пока подверждается данными), то есть предел 0. Просто в то время оно колебалось около 0.25, а на $10^{14}$ уже близится к 1.1. Обдумаю уже к вечеру.

grizzly в сообщении #1055468 писал(а):

Если справедлива вероятностная модель, то это плюс несколько очков к Вашей гипотезе $D_3/D_2 \to 1$, если нет, тогда минус несколько очков

Наверное наоборот, моя гипотеза для D3 является повторением гипотезы Эрдоша. Только я шел от больших наборов чисел, а для 4 и 3 видел странное поведение. Четверка быстро отпала, а тройка только после результатов Dmitriy40 для $10^{13},10^{14}$.

[12d3]

Хочу исправиться, про монотонность я сильно загнул. Выходит, что отношение колеблется где-то в районе 0.3. Чуть позже опубликую график.

grizzly в сообщении #1055505 писал(а):

А на что нужно делить произведение трёх соседних разностей?

Попробуем сначала на куб делить, посмотрим, к чему стремится.