Диаметр последовательности простых чисел

[Begemot82]

Не признал продолжение таблицы с GapSymm.
GapS - интервал удаленности одиноких простых чисел ( минимум из двух интервалов ).
Одиночество, удаленность.

[Begemot82]

Если простые числа похожи на случайные числа, то со странными свойствами.
Почти все, а можно сказать все, простые числа нечетные.
В распределении разностей между простыми локальные пики на разностях кратных 6.
После $10^{35}$ преобладает разность 30, после $10^{425}$ разность 210.
По нашей теме
Некоторое кортежи не встречаются, некоторые один раз. Со случайными такое не может быть.
Арифметическая прогрессия из последовательных простых не произвольная.
Можно еще что-то вспомнить, наверно этого достаточно.

[Dmitriy40]

Да, про симметричные интервалы я не подумал, спасибо за наводку. Но думаю и минимум из несимметричных тоже интересно.
Про диаметры пожалуй Вы правы, можно вместо $gap_n$ называть $D_n$ (или в тексте D2, D3, D16, D25, ...), n - количество элементов в последовательности.

[Begemot82]

Тогда остановимся на определениях
$D_k,Dk$ - диаметр k последовательных простых чисел,
$r_1,r_2,....r_{k-1}$ - разности

[Dmitriy40]

Неудобно и создаёт путаницу. Я бы исключил $r_1$ и использовал индекс одинаково и для диаметров, и для разностей. Ну и пусть первая разность будет не с единичным индексом, кого это пугает? Или пусть даже по определению будет $D_1=r_1=0$ (для последовательности из единственного числа), тоже не пугает.
И тогда кстати будет соблюдаться равенство $D_k=r_k$ для нормированных на 0 паттернов/последовательностей (как к примеру все паттерны и КПППЧ), что фактически отменяет необходимость отдельного введения понятия разности.

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1054696 писал(а):

И тогда кстати будет соблюдаться равенство $D_k=r_k$ для нормированных на 0 паттернов/последовательностей (как к примеру все паттерны и КПППЧ), что фактически отменяет необходимость отдельного введения понятия разности.

Попробую расписать для кортежа ( этот термин мне больше нравиться, может будем применять его) 0, 2, 6, 8 как я предполагал
$d_1=0,d_2=2,d_3=6, d_4=8$
$r_1=2,r_2=4,r_3=2$
Предлагаете сделать замену обозначений r и d ?
$r_1=0,r_2=2,r_3=6, r_4=8$
$d_1=2,d_2=4,d_3=2$
Может тогда вместо d использовать другую букву.

[Dmitriy40]

Нет, Вы правы, это я недопонял. Согласен на первый вариант, с $d_{1..4}=(0, 2, 6, 8), r_{1..3}=(2, 4, 2)$ для указанного кортежа. И всегда будет выполняться $r_n=d_{n+1}-d_n$.
Тогда разность будет "с какого числа до следующего" - именно с последним у меня была путаница, я хотел в разницах указывать число на 1 больше, чтобы они были $r_{2..4}=(2,4,2)$. Но теперь понимаю что смысла в этом нет, да и сами разницы не особо нужны, диаметров достаточно.

-- 18.09.2015, 22:04 --

Добавил в свою программу учёт и симметричных интервалов (спасибо за идею), из A058868. Уже получил следующие новые значения для неё: 210, 228, 240, 258. Как новая программа досчитает до 1е13, наведу синхронизацию в данных и выложу и такие диаметры тоже.

[Begemot82]

В этой последовательности есть ссылка на A054342, указаны центральные простые из тройки на которые выпадает первое появление разности $2,6,12,18,24... 192,198,204,210,218,224$. Для пары простых такой задачей занимается Dr. Thomas R. Nicely

[Dmitriy40]

Не, я пока продлеваю A058868/A058867, они мне понравились, а A054342 немного шире, ну её.

[Begemot82]

Но в ней есть
36 264860525507
37 978720895253
38 472446412421
39 374787490919
это как я понимаю, для 210,216,222,228 . Они могут быть полезны, хотя бы для проверки.
Для 210 и 228 совпадут?

В описании описка, вместо 204,210,218,224
д.б. ( так как кратны 6 ) 204,210,216,222

[Dmitriy40]

Ага, описка, Вольфрамом легко проверяется по начальным числам.

Похоже совпадают. Вот продолжение для A058868:A058867:

210:264860525507
228:374787490919
240:1521870804107
258:2093308790851
276:4228611064537
300:6537587646671
306:17432065861517

-- 19.09.2015, 02:09 --

Ну раз выложил эти результаты отдельно, а меньшие есть в OEIS, то перевыкладывать полную таблицу не буду. Кому надо - найдёт. До 1е14 ещё далеко, тогда и обновлю.

[Begemot82]

Кроме поиска G2,G3, в тройках рекордов:
$r_1=r_2$ - симметричных разностей,
$\min(r_1,r_2)$ - одиночество

добавил в поиск рекордов

$abs(r_1-r_2)$ - перекос разностей,
$\max(r_1,r_2)$ - "простора", максимальный интервал с любой стороны.
а также для близнецов ( $r_2=2 $) поиск рекордов
$r_1=r_3$ - симметричных разностей,
$\min(r_1,r_3)$ - одиночества
$\max(r_1,r_3)$ - "простора"
Для близнецов уже четверки, ищутся и G4.
Любопытно, будет что-то интересно.

[Dmitriy40]

Хм, ну Вы заморочились.
А разве $\max(r_1, r_2)$ не равно $\max(r_1)$? Для $p_n$ или $p_{n+1}$? А $\max(r_1)$ - просто обычный prime gap, который известен очень далеко (даже в вики есть до 1.4e18). То же и с максимумом для близнецов. Потому максимумы мне кажутся неинтересными.
Да, пожалуй тоже добавлю поиск $((r_1=r_3)\vee\min(r_1, r_3))\wedge r_2=2$ (симметричных и несимметричных одиноких близнецов).

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1054880 писал(а):

А разве $\max(r_1, r_2)$ не равно $\max(r_1)$?

Да, перемудрил, достаточно перекоса. Обычно с утра хорошо думается, сегодня не задалось.

[Dmitriy40]

Сверим данные по близнецам? Степень 10-ти, Симметричные интервалы, Несимметричные интервалы:

n  Sym2 Non2
6    48   48
7    58   88
8    78  124
9   120  130
10  144  162
11  174  216
12  210  258
13  270  294