Диаметр последовательности простых чисел

[grizzly]

Begemot82 в сообщении #1044749 писал(а):

Появилась такая гипотеза:
Отношение $Gap_k$ к $Gap$ на бесконечности стремится к 1.

Каждый раз, когда появляется сообщение в данной теме, вспоминаю об этой гипотезе. Моя интуиция не способна её принять, хотя данные в табличке свидетельствуют пока в пользу такой закономерности. Но тогда мы имеем какую-то подозрительную регулярность в распределении простых, чего обычно никто не ожидает.

Я не смог найти нужные ссылки (не придумал запроса, который бы отсеял 99% ненужных ссылок), и даже в энциклопедии последовательностей ничего такого не нашёл. Если кто-то видел / слышал об этом, просьба поделиться.

[Begemot82]

Можно отталкиваться от
- среднее расстояние между простыми растет как логарифм,
- Gap растет как квадрат логарифма.
Большие разности между двух простых чисел не притягивают больших разностей вблизи, т.е соседние простые числа по-прежнему ведут так же.
Более точных аргументов пока видел, но глубоко не рыл.

-- 17.09.2015, 17:27 --

В июле обсуждались КПППЧ17, наверно поэтому GAP16. А затем плавно из 16 получились 25 и 27, но эти уже совсем левые получились, не те.

[grizzly]

Зарылся ещё раз в поиск и нашёл на math.overflow несколько обсуждений между серьёзными людьми

Человек с ником известного в теме специалиста Andrew Granville на MOF писал(а):

I am not keen on making conjectures if we have little or no evidence for any particular answer. What is evident from calculations is that $\max\limits_{n\le N}\dfrac{p_{n+1}-p_n}{\ln^2 p_n}$ grows slowly to its limit. It is possible that the limit is $2e^{-\gamma}$, but perhaps it is $\infty $? Who knows? There is no convincing heuristic, and it is evident that this is a delicate question.

Говоря по-русски (с учётом других цитат), упомянутая у нас гипотеза шита белыми нитками никуда не годной вероятностной модели Крамера, а строго пока не доказано даже, что $\varlimsup\limits_{N\to \infty}\max\limits_{n\le N}\dfrac{p_{n+1}-p_n}{\ln^2 p_n}< \infty .$

[Begemot82]

Не доказано даже, что разность между двумя простыми меньше $2\sqrt{n}$ ( есть в начале темы). Но оценивать как-то хочется. В личных целях можно воспользоваться и такими приближениями, раз в теории такая дыра даже для пары простых, не говоря уже о нескольких простых.

[grizzly]

(Begemot82)

Вы только не подумайте чего обидного. Я с интересом слежу за обновлением эвристики от Вас -- мне любопытно. Тем более, что в сети я ничего не нашёл, кроме скудных данных в энциклопедии последовательностей. А моё ворчание выше -- это только попытка оправдать свою упрямую интуицию

-- 17.09.2015, 19:56 --

Begemot82 в сообщении #1054210 писал(а):

Не доказано даже, что разность между двумя простыми меньше $2\sqrt{n}$ ( есть в начале темы).

Ну да, только сообразил, какую ерунду я говорю сейчас на фоне своих же постов полугодовой давности. В чём-то сбила меня эта эвристика

[Begemot82]

Если в теории даже для двух чисел только гипотезы, то для несколько простых последовательных чисел вообще вакуум. Остается проводить эксперименты.
Какие еще? Что еще можно покрутить?
Расширять таблицу? Основное уже видно и нового не будет.
Как то оценить разреженность вокруг чисел-рекордсменов. Тогда какой критерий выбрать и что он даст?
Жду любых предложений.

[Dmitriy40]

Вот как бы сюда прикрутить гипотезу о среднем блуждании? Когда даже большие перемещения, но с хаотичным направлением приводят в среднем к незначительному общему перемещению? Или о сумме нескольких независимых случайных величин, когда в среднем сумма получается сильно меньше максимально возможной. (Эх, надо бы вспомнить точные названия ...) Здесь ведь тоже, хотя интервалы между соседними числами и растут, но вот интервалы к примеру $p_{n+15}-p_n$ растут уже не как $15 \cdot (p_{n+1}-p_n)$ - это и интересно, можно ли значительно улучшить эту оценку, $k \cdot (p_{n+k}-p_n)$, ведь по факту они реально значительно меньше. А интервалы $p_{n+1}-p_n$ можно попробовать или найти оценки, или прямые данные даже для ещё не пройденных нами интервалов.

PS. Допилил свою небыструю программу генерации простых чисел до расчёта всех Gap до 100 включительно (последовательности длиной от 2 до 100), скорость счёта оказалась 240млн/с (860млрд/ч). Сейчас ради интереса сравню результаты.

-- 17.09.2015, 21:36 --

Begemot82 в сообщении #1054147 писал(а):

GapX - это разница p[n+X] и p[n].
Для Gap16 дико сглупил. Надо было искать $p[n+15]-p[n]=Gap15$

Нет, Gap16, Gap25, Gap27 названы правильно, это именно для последовательностей длиной 16, 25 и 27 элементов. То что нужно.
А вот Gap2..Gap10 названы на единицу меньше, на самом деле это для последовательностей 3..11.
Ну вернее это мне так удобнее их называть, если хотите по смещению (+X), то неправильно названы как раз Gap16, Gap25, Gap27. Хотя, не называем же мы КПППЧ длиной 16 как КПППЧ15.

-- 17.09.2015, 21:39 --

Begemot82 в сообщении #1054077 писал(а):

В табличке приведены максимальные разности:

Все результаты подтверждаю. У меня такие же.

[Begemot82]

Если рассматриваются случайные блуждания, то обычно характеристики процесса не зависят от времени. Тогда надо так изменить, чтобы что-то постепенно увеличивалось или уменьшалось. Например в единице измерения брать N перемещений или рассматривать перемещение в одну сторону с вероятностью обратно логарифму номера попытки.
Будет модель соответствовать поведению простых чисел?

Dmitriy40 в сообщении #1054246 писал(а):

Допилил свою небыструю программу генерации простых чисел

Вот это здорово. А то у меня есть сомнения , не напортачил где-нибудь - с меня встанет.
С обозначением не настаиваю, главное чтобы короче и просто описывать.

[Dmitriy40]

Begemot82
Я под случайными блужданиями думал подразумевать амплитуду скачка следующего простого числа (т.е. фактически Gap2=Gap - разницу между соседними простыми числами). На мой взгляд (не проверял!) она ведёт себя (с некоторыми оговорками) как случайная величина. И тогда для получения Gap25 надо сложить 24 случайные величины ...
А монотонно увеличивающейся величиной можно брать зависимость диаметра от длины последовательности (для каждого фиксированного $p_n$).

Часть сообщений выделена в тему «Ошибка в A031132 [OEIS]»

[Dmitriy40]

Не в тему, но близко.
Кроме простых Gaps интересно было бы поискать и одиночные простые числа - которые с обоих сторон отделены большими интервалами. Соответственно и порядок увеличения такого симметричного интервала (причём разумеется с одной стороны он может быть и больше). Т.е. такие $p_n$, для которых $gap=\min(p_{n+1}-p_n, p_n-p_{n-1})$ будет возрастать.

[Dmitriy40]

Этот интервал растёт кажется быстрее Gap2 (между соседними числами), вот что пока наcчиталось:

n  GapSymm
6  54
7  76
8  108
9  156
10  186
11  242

[Begemot82]

Хорошее предложение - найти "хуторян".
Последовательность ограничена последовательностью Gap2. Тогда отношение $Gapmin2/Gap2 < 1$, но возрастает она не монотонно.
Что это значит? Есть ли предел отношения и чему он равен?
Выполняется также соотношение $ 2 \cdot Gapmin2 \leqslant Gap3$
Если моя гипотеза верна, то предел $ \leqslant 0.5$. Число $0.5$ - лучший кандидат для предела.
Любопытно еще рассмотреть случай когда $p_{n+1}-p_n = p_n-p_{n-1}$ и тоже искать рекорды ( и его тогда обозначать GapSymm2).

[Begemot82]

Прогнал, получается такая таблица рекордов, где в столбцах
степень 10
Gap2
минимальная разность
равные разности
Gap3

6   114  54  42 138
7   154  76  60 200
8   220 108  96 248
9   282 156 144 336
10  354 186 168 436
11  464 242

[Dmitriy40]

Следующие значения для GapS (никак не решу как его коротко назвать) и некоторых остальных Gap:

n    GapS  Gap2  Gap3  Gap16  Gap25  Gap27
12   284   540*  624*  1322*  1740*  1788*
13   340   674   760   1564   1938   2014

Результаты с * повторяют результаты Begemot82.

-- 18.09.2015, 14:23 --

Кстати, в OEIS нет последовательности $\text{Records of GapS}(n=2..\infty) = \min(p_{n+1}-p_n, p_n-p_{n-1})$, вот думаю, может добавить? Интересная же.

-- 18.09.2015, 14:34 --

До 1е14 разности будут считаться порядка 5-ти дней. И типа полтора месяца до 1е15. Долго. Эх, в несколько потоков запустить, что ли, забив на поиск КПППЧ и квадратов ... Никак не соберусь разобраться как прикрутить primesieve.

[Begemot82]

GapS - разрыв ( интервал, пробел) между простыми - prime gaps.
Для последовательности из k элементов $ Gap_k=p_{n+k-1}-p_n$ можно продолжать называть диаметр.

Если для троек разности одинаковые ( симметричные тройки ), то чемпионы есть в OEIS A058868 (разности) и A058867 (центральное простое число). В последний раз последовательности расширялись 11 лет назад 204:178796541817