2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 12  След.
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение23.09.2015, 23:18 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
По моему нету. Она обязана начинаться с a(8)=1107819732821 из A111950, а это число входит лишь в три последовательности, причём не на первой позиции, да и вообще они о другом.
Аналогично и про более длинные последовательности близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 00:51 


10/07/15
286
Dmitriy40
Могут быть только такие последовательности

$ 2, 4, 2 $ - квадруплеты и
$ 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2$
$ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,  12, 10, 8, 6, 4, 2$
$ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2$

Действительно сначала будет очень редко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 02:10 


10/07/15
286
Максимальные разности на вершине из ряда $ 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28,  ... $ ( тоже последовательность :lol: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 02:58 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Begemot82
Забавно, что длина последовательности (количество чисел в ней) равна максимальной разности. Удобно. :-)
А ещё забавно, что все они будут подмножеством КПППЧ - попарные суммы совпадают. Вот только квадратов 4х4 из них кажется не собирается. Во всяком случае из длины 16 точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 07:45 


10/07/15
286
Поискал $ 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28,  ... $ в OEIS, нашлись 4 последовательности. У всех дальше продолжение $ 32, 38 $. Продолжил новую последовательность $ 32, 34 $, т.е она действительно новая. Если еще в начале добавить 2, то вот она
$2, 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28, 32, 34$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 17:50 


10/07/15
286
grizzly в сообщении #1055468 писал(а):
Пусть $D(x)=\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)$. Эрдош говорит о следующем выражении при $x\to \infty $:
$$
\max\limits_{p_k<x} \dfrac{(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2}.
$$

Наверно так $$
 \dfrac{\max\limits_{p_k<x}(p_{k+1}-p_k)(p_k-p_{k-1})}{D(x)^2}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 18:29 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
При вычислении этого максимума предполагается что $D(x)=\operatorname{const}$, так что без разницы где стоит константа.

-- 24.09.2015, 18:59 --

Можно даже так переписать, для большей понятности:$$f(x) = \max\limits_{p_a < x}\frac{(p_{a+1}-p_a)(p_a-p_{a-1})}{(\max\limits_{p_b < x}(p_{b+1}-p_b))^2} = \frac{\max\limits_{p_a < x}((p_{a+1}-p_a)(p_a-p_{a-1}))}{(\max\limits_{p_b < x}(p_{b+1}-p_b))^2}$$Обратите внимание, индексы в числителе и знаменателе разные! А $x$ одинаковые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Совершенно не понимаю, из каких соображений Эрдош был настолько уверен в своей гипотезе. Никакая обозримая эмпирика на это не намекает. И эта эмпирика у него уже была 30 лет тому (я видел старые работы, в которых изучали выборочную статистику для очень больших по тем временам интервалов, до которых мы и сейчас не дойдём в полном объёме). С другой стороны, вероятностную модель Крамера после выдвижения той гипотезы сколько-то правил Грэнвилль. Но эта правка никак не тянет на такие изменения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 19:19 


10/07/15
286
Dmitriy40 в сообщении #1056301 писал(а):
Можно даже так переписать, для большей понятности:
Вот так намного понятней. В прежней записи каждый раз воспринимал по другому.

-- 24.09.2015, 19:31 --

grizzly
Если рассматривать только числа, на которых достигается рекорд $D(x)$, то отношение стремится к нулю. Или на каких-то особых простых числах.
Не помните порядок интервалов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 19:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
А я вот никак не пойму откуда же берётся 0.25 в пределе. Это походу чисто эмпирический факт, не подкреплённый даже вероятностными методиками (правда я в них и не разбираюсь). Попробую аргументировать своё возражение.
Выберем такой $x=p_c+1$, чтобы выполнилось $D(x)>D(x-1)$ (сами $c$ и $p_c$ не знаем, но это и не нужно, главное что они есть), это очевидно возможно. Фактически это означает что интервал от $p_c$ до следующего простого больше чем интервал до предыдущего простого. Для такого $x$ ни одно из чисел $(p_{i+1}-p_i)$ и $(p_i-p_{i-1})$ при $p_i<x$ не может превышать $D(x)$. Соответствено, произведение таких чисел не может превысить $D(x)^2$ (теорема о максимуме площади прямоугольника со сторонами не больше заданной, что достигается лишь для квадрата).
А вот что может помешать произведению стать равным $D(x)(D(x)-2)$ я не понимаю. Ведь вполне может встретиться такая ситуация, когда следующий интервал от простого числа всего на 2 больше предыдущего интервала до того же простого числа. И с увеличением величины интервала $t=D(x)$ отношение $\frac{t(t-2)}{t^2}$ будет неограниченно приближаться к 1, а вовсе не к 0.25.
Не вижу я прямого запрета нахождению такой пары интервалов. Да, пока такого не встретилось, но это эмпирика ... Получается что пока что рядом с каждым рекордом интервала стоят исключительно весьма короткие интервалы, менее четверти рекорда. Но в чём причины этого?!
Или я в чём-то всё же ошибся?

-- 24.09.2015, 19:39 --

Begemot82
Да, я и сам постоянно недопонимал что это за дробь, только после Вашего вопроса попытался проанализировать подробно и кажется дошло. За что Вам спасибо. :-) Воистину при объяснении другому и сам понимаешь лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 19:59 


10/07/15
286
Если вместо $D_2$ взять $D_3$, то $  \dfrac{2r_1\cdot 2r_2}{D_3^2} $ может быть равно 1 или сколь угодно быть близким к 1. А эмпирика в $ \dfrac{D_3}{D_2} \to 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 20:06 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Не поленился проверил все известные рекорды для чисел $>10^{12}$, максимум что нашёл: (-92,55350776431903243,+1198). 92/1198, слёзы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Dmitriy40 в сообщении #1056330 писал(а):
Или я в чём-то всё же ошибся?

Я уверен, что Вы ошибаетесь. Я не смогу расписать здесь выкладки вероятностной модели, приводящей к 1/4 -- я их не знаю и не владею этой техникой. Но я смотрел в статьях различный инструментарий этой модели и имею какое-то минимальное представление о её возможностях. И вероятность встретить предложенную Вами пару подряд идущих интервалов наверняка будет 0 (даже если это событие не является невозможным). Так что меня совсем не удивляет утверждение Ruzsa в его обзорной статье. К тому же его авторитет в области теории чисел не следует сбрасывать со счетов.

Мы могли бы посмотреть такую выборочную эмпирику на тех интервалах, до которых мы не дотягиваемся. Взять интервал ~10 млрд. чисел, начиная с $10^{19}$, например, найти на нём максимум произведения подряд идущих Gap'ов и максимальный Gap. Поделить одно на квадрат другого. Это, конечно, не в точности то же, что нам нужно, но разница здесь чисто косметическая. Зато таких экспериментов можно провести много и как раз в духе вероятностных методов убедиться, что в результате с завидным постоянством будет ~0.25.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 21:35 


10/07/15
286
А что, идея! Привык видишь ли все от $0$ шагать. Вспоминаю, что иногда в серьезных статьях попадались таблицы небольших интервалов, но удаленных от основной области исследования. А меня кто может остановить? Ну ошибусь пару раз, кто-нибудь поправит. Итак день на раздумья и на выходные запускаю серию тестов в далеких тайных глубинах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диаметр последовательности простых чисел
Сообщение24.09.2015, 21:45 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Да, интересный эксперимент. Лучше даже брать числа из диапазона $(1425172824437699412,2^{64})$ (почти 13 раз) - для них точно известно (из вики) $D(x)=1476$. Правда я не помню где видел утверждение что проверены все числа до $2^{64}$, тогда можно взять предыдущий диапазон $(804212830686677670,1425172824437699410)$ с $D(x)=1442$. Primesieve работает в обоих диапазонах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 176 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group