Диаметр последовательности простых чисел

[grizzly]

Спасибо за разъяснения.

Dmitriy40 в сообщении #962504 писал(а):

Ой-ой, если теория даёт лишь оценку $2\sqrt{n}$, то это же вообще мрак.

Теория даже этого не даёт :(

[Begemot82]

Попробовал оценить.
Разность $p[n+2]-p[n]$ брал из A031132 и A031133, точнее из таблиц, обозначил как Gap2.
Gap3,Gap25,Gap27 соответствующие разности. n - степень 10.
В табличке приведены максимальные разности:

 n  Gap  Gap2 Gap3 Gap25  Gap27
6   113  138  152  530   572
7   153  200  220  654   714
8   219  248  300  858   920
9   281  336  408 1070  1148 
10  353  436  516 1260  1300
11  463  524
12  539  624
13  673
14  803
15  905
16 1131
17 1219
18 1441

[Dmitriy40]

Begemot82
А поясните как из Gap и Gap2 получили остальные? А то я тут контрпример придумал, для n=7: 0 153 200 353 400 553 600 753 800 953 1000 1153 1200 1353 1400 1553 1600 1753 1800 1953 2000 2153 2200 2353 2400 2553 2600 - и Gap=153, и Gap2=200, однако Gap3 и прочие сильно больше Ваших. Я что-то неправильно понял?
И ещё странно почему у Вас Gap нечётный, вроде бы все разности между простыми числами должны быть чётными (кроме одной самой первой). Цифры-то похоже правильные, только на 1 меньше.
Ну и вдогонку, а данных ниже в таблицах нету, да? Жалко, я вот тоже не находил.

[Begemot82]

Dmitriy40
В таблицах Gap нечетные, не стал исправлять. Gap3 и остальные подсчетом в программе. Возможно ошибся. Завтра проверю и попытаюсь подсчитать до $10^{12}$ ( раз не находятся данные, приходится считать).
Вызывает сомнение, что для $10^{7}$
$Gap4=2 \cdot Gap2$ и даже сильнее $Gap2k=k\cdot Gap2$. Получается в Gap4 дважды идет рядом Gap2?. Возможно речь об разном. Что за контрпример?

-- 10.08.2015, 22:45 --

$Gap52=2600$?

[Dmitriy40]

Begemot82
Контрпример - умозрительно построенный, по исходным данным Gap и Gap2.
Или Вы привели реальные данные, насчитанные на реальных простых числах, а не полученные вычислением из Gap и Gap2? Я то посчитал Вы придумали как из Gap и Gap2 вычислить все прочие Gap и получили на удивление маленькие числа и обрадовался.

[Begemot82]

надеюсь, что без ошибок и они реальные

[Dmitriy40]

А, извиняюсь, контрпример тогда конечно не в кассу.
Буду ждать развития Вашей мысли, пока не очень понятно к чему ведёте.

[Begemot82]

Мысль была одна - посмотреть как ведет разность простых, отстоящих друг от друга на расстояние $k$
Добавил Gap4 и Gap16
В табличке приведены максимальные разности:

(Gaps)

 n  Gap  Gap2 Gap3 Gap4 Gap16 Gap25  Gap27
6   113  138  152  172 384   530   572
7   153  200  220  250 504   654   714
8   219  248  300  342 636   858   920
9   281  336  408  466 860  1070  1148 
10  353  436  516  560 1016 1260  1300
11  463  524  622                 1508
12  539  624
13  673
14  803
15  905
16 1131
17 1219
18 1441

Хочу расширить таблицу до $10^{12}$

Появилась такая гипотеза:
Отношение $Gap_k$ к $Gap$ на бесконечности стремится к 1.

[Begemot82]

Досчитал до $ 10^{12} $ для Gap3 и Gap4

В табличке приведены максимальные разности:

(Gaps)

n   Gap   Gap2   Gap3   Gap4
      
 6   114   138   152   172
 7   154   200   220   250
 8   220   248   300   342
 9   282   336   408   466
10   354   436   516   560
11   464   524   622   678
12   540   624   694   738

Выложил еще таблички, в которых приводятся простые числа, для которых достигается рекордная разность. Например, в gp4.txt есть строка для 738

738 686431875817 686431875079

[Dmitriy40]

Begemot82, очень интересные данные, спасибо.
А почему не считаете Gap для 5..27? Это ведь тоже интересно, а для Gap16 и Gap25 и Gap27 и полезно.

[Begemot82]

Dmitriy40 в сообщении #1046468 писал(а):

Это ведь тоже интересно, а для Gap16 и Gap25 и Gap27 и полезно

Это будет очередным этапом. Предыдущая попытка сорвалась из-за слишком агрессивной оптимизации.

[Begemot82]

Досчитал Gap16 Gap25 Gap27
В табличке приведены максимальные разности:

(Gaps 16 25 27)

 n  Gap  Gap16 Gap25  Gap27
6   113   384   530   572
7   153   504   654   714
8   219   636   858   920
9   281   860  1070  1148 
10  353  1016  1260  1300
11  463  1078  1452  1508
12  539  1322  1740  1788
13  673
14  803
15  905
16 1131
17 1219
18 1441

Таблицы выложены в облако

[Begemot82]

Дополнил новыми значениями Gap5 - Gap10

В табличке приведены максимальные разности:

(Gaps 1-10, 16, 25, 27)

n  Gap  Gap2 Gap3 Gap4 Gap5 Gap6 Gap7 Gap8 Gap9 Gap10 Gap16 Gap25  Gap27
6   114  138  152  172  206  236  266  288  300   306   384   530    572
7   154  200  220  250  262  304  360  390  402   428   504   654    714
8   220  248  300  342  390  396  414  462  488   504   636   858    920
9   282  336  408  466  504  546  588  646  684   726   860  1070   1148 
10  354  436  516  560  578  614  660  696  720   764  1016  1260   1300
11  464  524  622  678  694  750  804  862  886   906  1078  1452   1508
12  540  624  694  738  810  864  930  984 1026  1084  1322  1740   1788
13  674
14  804
15  906
16 1132
17 1220
18 1442

Результаты выложил в облако.

[Dmitriy40]

Begemot82
Чисто терминологический вопрос: А что точно означает цифра в названии "GapX"? Разница соседних простых это Gap или Gap2?
Похоже на Gap, но тогда Gap2 - разница в трёх числах? А Gap16 выдаёт разницу в 17-ти числах? Нелогично как-то. Да и более интересны разницы в КПППЧ16, а не 17. Я бы переназвал все Gap на единицу больше, а Gap без цифры оставить как есть для совместимости (она должна была получить имя Gap2).

[Begemot82]

GapX - это разница p[n+X] и p[n].
Для Gap16 дико сглупил. Надо было искать $p[n+15]-p[n]=Gap15$