Что такое f(x)

[Olivka]

Кажется, нас учили так:
через $x,x_0,a,b$ обозначают аргументы
$f(x),f(x_0),f(a),f(b)$ - это значения функции
буквой $f$ без скобок обозначается сама функция

Но часто ведь под $f(x)$ понимают не значение, а само соответствие. Так и пишут (даже в тестах ЕГЭ): "функция $f(x)$...". Кто поможет разобраться?

[Brukvalub]

В чем нужно помогать? Нужно дать надежные гарантии того, что

Olivka в сообщении #1051766 писал(а):

часто ведь под $f(x)$ понимают не значение, а само соответствие. Так и пишут (даже в тестах ЕГЭ): "функция $f(x)$

Зуб даю, так часто пишут!

[Olivka]

Вопрос о том, как правильно.

[stef]

С точки зрения математики корректнее называть соответствие просто $f$. Но в школьных учебниках практически все функции задаются формулами, и в выражении $f(x)=ax^2+bx+c$ это "от икс" существенно для понимания. Можно было бы написать так: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto ax^2+bx+c$. Но это более громоздко.

[Olivka]

stef в сообщении #1051775 писал(а):

$f(x)=ax^2+bx+c$

А это формула для произвольного значения. Разумеется, если написать $f(a,b)=ax^2+bx+c$, то будет совсем другое понимание этой формулы.
Я вижу, что нет ничего сложного называть соответствия соответствиями, а значение - значением. Сохраняя при этом школьную простоту и краткость записи.

[Dmitriy40]

В записи $f(x)$ знак $x$ всего лишь указывает на аргумент функции, от чего именно рассматривается функция, при этом все прочие буквы (в формуле) обозначают константы. В записи $f$ непонятно какая именно переменная в формуле считается аргументом. Так можно лишь ссылаться дальше в тексте на вышеопределённую функцию $f(\omega)$, где и должно быть указано какой знак считается аргументом, а какие (все прочие) константами.
Это частное мнение, как правильно я не знаю и тоже интересно стало.

stef в сообщении #1051775 писал(а):

Можно было бы написать так: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto ax^2+bx+c$. Но это более громоздко.

И школьнику непонятно. Вроде бы функции в школе вводятся сильно раньше понятий отображения (впрочем я и сам плохо понимаю такую запись).

[TOTAL]

Olivka в сообщении #1051766 писал(а):

Но часто ведь под $f(x)$ понимают не значение, а само соответствие.

Соответствие между аргументом и значением.

[demolishka]

Приходилось видеть записи типа $f(x) \in L^2[a;b]$. Подозреваю, что где-то существуют и такие: $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$. Причем очень часто этот $x$ упоминается там, где это вообще не нужно, как будто символ $f$ не может существовать без $x$. Всё это вызывает недопонимание и только запутывает начинающего читателя.

[Brukvalub]

На мой взгляд, все это надуманная проблема. Не могу представить себе ситуации, в которой по контексту нельзя было бы догадаться, идет ли речь о функции как отображении, или о значении этой функции в конкретной, заранее заданной точке.
Начинающему нужно разбираться в сути математики, а не цепляться к понятным из контекста нюансам обозначений, иначе до дела дело так и не дойдет.

[provincialka]

Ну, конечно, $\sin$ -- это функция, а $\sin(x)$ -- ее значение в точке $x$. Но эти тонкости обычному школьнику (а часто и студенту) не нужны.
Правда, некоторые проблемы возникают, когда у функции нет имени. Как, например, записать функцию $x^3$ без икса?
Проблемы возникают тогда, когда надо построить композицию функций. Например, такое задание

Функции $f$ и $g$ заданы формулами $f(x) = \sin(x), g(x)=x^3$
Записать формулами композиции $f\circ g,g\circ f,f\circ f,g\circ g$

вызывает затруднение, особенно на нематематических специальностях.

[Olivka]

Oleg Zubelevich, Вы что же, удаляете свои сообщения?

demolishka в сообщении #1051824 писал(а):

$f$ не может существовать без $x$

Действительно, тут будет много вопросов. Например как после этого записать сложную функцию? А что такое обратная зависимость? А можно ли написать $x(f)$?

[TOTAL]

demolishka в сообщении #1051824 писал(а):

Причем очень часто этот $x$ упоминается там, где это вообще не нужно, как будто символ $f$ не может существовать без $x$. Всё это вызывает недопонимание и только запутывает начинающего читателя.

$f(x)$ указывает на то, что функция одного аргумента, что не вызывает недопонимания и не запутывает читателя. Проблема надумана.

[Olivka]

provincialka в сообщении #1051832 писал(а):

Записать формулами композиции $f\circ g,g\circ f,f\circ f,g\circ g$
вызывает затруднение, особенно на нематематических специальностях.

О, это настоящий ужас, особенно, когда неясно в каком порядке выполнять.

[bot]

Olivka в сообщении #1051833 писал(а):

А можно ли написать $x(f)$?

Можно, если функция обозначена буквой $x$. а аргумент буквой $f$.

-- Ср сен 09, 2015 16:49:54 --

Olivka в сообщении #1051838 писал(а):

О, это настоящий ужас, особенно, когда неясно в каком порядке выполнять.

В двух случаях из 4-х это не имеет значения.

[provincialka]

Olivka в сообщении #1051838 писал(а):

О, это настоящий ужас, особенно, когда неясно в каком порядке выполнять.

Ну почему же неясно? Ясно, что перед этим дано определение композиции, например так: $f\circ g(x) = f(g(x))$. Нет, проблема бывает в том, что вчерашние школьники не могут отделить этот "икс" от функции. Например, вместо $f(f(x)) = \sin \sin x$ пишут что-нибудь вроде $\sin x\sin x$. Впрочем, всех ошибочных записей уж и не упомню... А ведь их надо потом дифференцированию учить!