Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1038180 писал(а):

хотелось бы, "прильнув к истокам", получить более адекватные перспективы по использованию ДШБ в теории музыки.

Вам может пригодиться:

http://www.luciocadeddu.com/tesi/cannas_magistrale.pdf
http://docenti.unicam.it/tmp/4111.pdf

И это тоже:

Фонд Гюйгенса-Фоккера писал(а):

Scala Release Notes
<...>
Version 2.22w
<...>
Improved Convergents dialog, with Stern-Brocot tree navigation.

[Свободный Художник]

Спасибо, уважаемый commator.
Кстати говоря, рисунки на найденой Вами странице:
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx
где Царлино излагает свою теоретическую концепцию, восходят куда-то к "Преданию Пифагора":
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/5/2/5.html

когда занимались делением октавы на две равные части:
http://www.px-pict.com/7/3/1/10/2.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1039645 писал(а):

когда занимались делением октавы на две равные части:

У Гайденко:
"Можно допустить, что пифагорейцы обнаружили несоизмеримость при попытке либо арифметически определить такую дробь, квадрат которой равен 2 (т. е. арифметически вычислить сторону квадрата, площадь которого равна 2), либо геометрически при отыскании общей меры стороны и диагонали квадрата; либо, наконец, в теории музыки, пытаясь разделить октаву пополам, т. е. найти среднее геометрическое между 1 и 2".
Гайденко П. П. Эволюция понятия науки.
Становление и развитие первых научных программ. М.: "Наука", 1980, с. 50.

Это хорошо согласуется с мыслями Д. Д. Мордухай-Болтовского по поводу происхождения среднего пропорционального:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

чертики из табакерки

В связи с экспериментом

Уибберли 2004 писал(а):

я сначала дам эту фразу в Пифагорейской настройке (которую я считаю корректной для этого фрагмента), а затем оценю те последствия, к которым привело бы исполнение той же самой фразы с использованием системы Чистой Интонации.

(Английский)

I shall first illustrate the phrase using Pythagorean tuning (which tuning I believe to be correct for this piece), and then assess the consequences of performing the same phrase using JI.

мне видится аналогия:



с пояснением:

Студопедия писал(а):

Геометрическая основа строения объектов окружающего мира вовсе не означает, что при рисовании надо изображать геометрические формы. Проблема заключается в следующем: за внешними очертаниями предмета необходимо увидеть его конструкцию, а затем в рисунке построить форму предмета в виде упрощенных геометрических тел, фигур или плоскостей, усложняя ее до полного реалистического изображения.
<...>
«Обрубовка» формы помогает лучше представить.

Пифагорейская конструкция (ЧИП3) выскакивает из табакерки раньше дидимовой (ЧИП5), но будучи не более чем обрубовкой последней, вовсе не отменяет нужды сделать над собой усложнения до дидимовой реалистичности. Затем, возможно, понадобится архитовы (ЧИП7), фарабиевы (ЧИП11) и боэцианские (ЧИП19) выскакивания, для доведения ЧИ до полного блеска.

Суть в замене больших чисел предыдущего чёртика меньшими следующего, но начинать надо с пифагорейского, а это столь же легко автоматизировать, сколь и перенос тональной пьесы из 12РДО в 31РДО, притом пифагорейские сонанты тоже расставятся автоматически вместе с надлежащими командами высотных изгибов.

Вторым проходом те из пифагорейских сонантов, где подозрительно велики доминант/субдоминантовые коэффициенты, автоматически заменяются соответствующими медиант/субмедиантовыми изгибами и буквами с коэффициентами.

Дальше может проясниться и способ замены подозрительных дидимовых сонантов на архитовы, фарабиевы, тредецимальные, септендецимальные и боэцианские.

[commator]

commator в сообщении #1040544 писал(а):

аналогия:

$\cdot$ Пифагорейская (ЧИП3) обрубовка$:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot$ Дидимова (ЧИП5) реалистичность$:$
$\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v03j.mp3 $;~~\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v05j.mp3 $;$
$\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v03j.zip $;~\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v05j.zip $;$
$\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v03j.sib $.~~~~\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v05j.sib $.$

[commator]

bntr в сообщении #1033561 писал(а):

мелодические ходы

Возникла нужда выяснения, что есть мелодичесий ход?

Ход легато на секунду, например, большую или малую, есть бесспорно мелодический, даже по канонам строгой полифонии, а ход на терцию, хоть бы и легато, там оценивается как скачок и свойство мелодического должен терять. Также теряет свойство мелодического и ход на залигованную чистую приму, поскольку нет изменения высоты.

Ход без легато должен иметь какую-то ощутимую паузу, т. е. тишину, между концом предыдущей высоты и началом следующей. Ход между паузой и высотой и наоборот всегда скачок, теряющий свойство мелодического.

Обладает ли ход легато на уменьшённую секунду свойством мелодического?

Обладает ли залигованный ход на увеличенную приму свойством мелодического, или он всё же является лишь хроматическим изменением высоты ступени, что следует понимать как проявление её категорийности?

commator в сообщении #1033479 писал(а):

Datta & Others 2006 писал(а):

Категорийность восприятия высоты хранила бы неповрежденной грамматические и другие музыкальные требования, которые зависят от восприятия нот.

(Английский)

Categoricity of pitch perception would keep intact the grammatical and other musical requirements, which are dependent on the perception of notes

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1040544 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

чертики из табакерки

Пифагорейская конструкция (ЧИП3) выскакивает из табакерки раньше дидимовой (ЧИП5), но будучи не более чем обрубовкой последней, вовсе не отменяет нужды сделать над собой усложнения до дидимовой реалистичности. Затем, возможно, понадобится архитовы (ЧИП7), фарабиевы (ЧИП11) и боэцианские (ЧИП19) выскакивания, для доведения ЧИ до полного блеска.

Суть в замене больших чисел предыдущего чёртика меньшими следующего, но начинать надо с пифагорейского, а это столь же легко автоматизировать, сколь и перенос тональной пьесы из 12РДО в 31РДО, притом пифагорейские сонанты тоже расставятся автоматически вместе с надлежащими командами высотных изгибов.

Вторым проходом те из пифагорейских сонантов, где подозрительно велики доминант/субдоминантовые коэффициенты, автоматически заменяются соответствующими медиант/субмедиантовыми изгибами и буквами с коэффициентами.

Дальше может проясниться и способ замены подозрительных дидимовых сонантов на архитовы, фарабиевы, тредецимальные, септендецимальные и боэцианские.

Как это ни парадоксально, но прежде чем появилось ЧИП3, появилась гораздо бОльшая бесконечная абелева группа всех рациональных числовых отношений относительно операции "составления отношений" (изоморфная абелевой группе всех положительных рациональных чисел относительно операции умножения). Как это описано в "Истории математики":
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

А ЧИП3 -- достояние новейшего времени. Например, у Царлино нигде нет упоминания ни о ЧИП3, ни о ЧИП5.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1040915 писал(а):

у Царлино нигде нет упоминания ни о ЧИП3, ни о ЧИП5

Скажите, пожалуйста, разве сути пифагоровых штанов не было до того, как Пифагор впервые натянул её на человечество в форме штанов, а оно, понятное дело попозже, обозвало их пифагоровыми?

Также и суть ЧИПов есть везде и всегда, а нынешняя надобность её обзывания может быть выражена где-то в иных мирах по-другому, если там до неё есть кому-то какое-то дело.

-- 27.07.2015, 22:43 --

commator в сообщении #1040904 писал(а):

является лишь хроматическим изменением высоты ступени, что следует понимать как проявление её категорийности

Добавлю уточнение:

Datta & Others 2006 писал(а):

поскольку музыка есть вид общения она должна иметь языковое строение. Языковому строению нужны алфавиты, которые в случае музыки по сути категории в высотной шкале.

(Английский)

since music is a mode of communication it must have a linguistic structure. A linguistic structure needs alphabets, which in the case of music are categories in the pitch scale.

[commator]

commator в сообщении #1040904 писал(а):

является лишь хроматическим изменением высоты ступени, что следует понимать как проявление её категорийности

Ещё уточнение:

Datta & Others 2006 писал(а):

восприятие высоты в музыкальном ладу является категорийным [14]. Изученные категории по сути интервалы семи чистых нот и пяти измененных нот. Поскольку ноты по сути интервалы не фиксированных позиций певцы могут свободно выбирать любую частоту для ноты, в определённом интервале в соответствии с его собственным восприятием приятности. Действительно нет обязанности петь точную частоту продиктованную так называемыми соотношениями.

(Английский)

perception of pitch in music mode is categorical [14]. The learned categories are the intervals of seven pure notes and the five altered notes. As the notes are intervals not fixed positions the singers are free to choose any frequency for a note in a particular interval according to his own perception of pleasantness. There is really no obligation to sing an exact frequency dictated by the so-called ratios.

14. Sundberg J,"Perceptual aspect of singing", Journal of Voice, N.Y., . Vol.8, No.2, 1994.

Напрашивается сравнение:

commator в сообщении #1033365 писал(а):

bntr в сообщении #1033191 писал(а):

Может быть, нота энгармонической гаммы со всеми своими комматически близкими соседями образует "зону" Гарбузова?

Хороший вопрос, на который даже у отца зон ответ не найти:

Гарбузов 1948 по Рагсу 1980 писал(а):

Сведе́ние в музыкальном искусстве интонационных явлений к определенным количественным отношениям между звуками, иначе говоря, объяснение музыкальных явлений точечной, а не зонной акустикой — недопустимо, так как такое объяснение не соответствует закономерностям, наблюдаемым в музыкальной практике.

Зона не является областью допусков по отношению к некоторой объективной звуковысотной норме, так как в пределах зоны все звуки, интервалы и тональности качественно равны. >>

[commator]

Уместен и такой материал:

Баустид 2003 писал(а):

Давно было понято, что фиксированные системы настройки, возложенные на органы, клавесины и фортепьяно, любые системы, какие могут быть, имеют тенденцию не так строго поддерживаться инструментами, позволяющими естественную гибкость настройки:

Цитата:

Певец, или скрипач изогнёт некоторые интервалы в зависимости от их ближайшего контекста; но он не создает вследствие этого особую темперацию, потому что в различные моменты он даст каждый тон шкалы различными оттенками высоты в довольно узкой полосе […]²

<...>
Такая гибкость настройки была описана, Ivor Darreg, как 'эластичная настройка'.³ <...> предполагает склонность строить в чистых квинтах, квартах и/или чистых терциях, где возможно, и неизбежные компенсации для этого растяжением или сжатием через подобное регулирование других интервалов (а именно через производство полутонов и, особенно, вводных нот в тональной музыке, меньшими). Поскольку система верных, или чистых интервалов, неприменима в музыке, которая модулирует (из-за влияния различных комм, возникающих в чисто настроенных системах), эластичная настройка есть практический способ достигнуть красоты и консонанса чистых интервалов с минимумом нарушения общей устойчивости высоты.
<...>
малейшие интервалы (всего 7 центов) как показано, являются возможными. Наиболее примечательным, также, был факт, что полоса пропускания некоторых из малейших интервалов была всего 2-4 цента, особенность, которая может быть заметна, на слух, снижением качества тона этих высот.

(Английский)

It has long been realised that the fixed tuning systems imposed on organs, harpsichords and pianos, whatever systems those may be, tend not to be so strictly adhered to by instruments which allow a natural flexibility of tuning:

Цитата:

A singer or violinist will inflect certain intervals depending on their immediate context; but he does not produce thereby a specific temperament because at different moments he will represent each tone of the scale by different shades of pitch within a fairly narrow band […]²

<...>
Such flexibility of tuning has been described, by Ivor Darreg, as ‘elastic tuning’.³ <...> suggests a tendency to tune in pure fifths, fourths and/or pure thirds where possible and the inevitable compensations for this stretching or contracting by a like adjustment of other intervals (notably by making semitones and, especially, leading notes in tonal music, smaller). Because a system of just, or pure intervals, is impossible to sustain in music which modulates (due to the influence of the various commas which arise in just tuning systems), elastic tuning is a practical way to achieve the beauty and consonance of pure intervals with a minimum of disruption to the overall stability of pitch.
<...>
the smallest intervals (as small as 7 cents) are shown to be possible. Most notable, too, was the fact that the bandwidth of some of the smallest intervals was as little as 2-4 cents, a feature which can be heard, aurally, by a diminution of the tone quality of these pitches.

² Lindley, M. (1980) Temperaments. New Grove Dictionary of Music and Musicians, ed. Stanley Sadie (London: Grove Publications), xviii, 661
³ Darreg, I, (1979) Xenharmonic Bulletin No.9, Xenharmonikon, 7 and 8 (Spring, 1979), unpaged

[Свободный Художник]

Непонятно, почему

commator в сообщении #1040921 писал(а):

... суть ЧИПов есть везде и всегда...

А также непонятно, в чем она заключается, эта их "суть" (Вы это не объясняете).
Между тем, разобраться в сути ЧИПов нужно (чтобы осмыссленно использовать их на практике).
На мой взгляд, последовательность объяснения "сути" ЧИПов может быть такой:

Свободный Художник в сообщении #1030997 писал(а):

Если Вы пытаетесь построить некую "алгебру музыкальной гармонии", то было бы логично, если бы Вы использовали в ней какие-нибудь понятия и конструкции из этой самой алгебры. Например, группоид Брандта, о котором я писал, есть, как раз-то, вполне определенная алгебраическая система.

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

Непонятно даже, каким образом определить в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" операцию группоида Брандта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/4.html

Нам будет вполне достаточно информации об этой системе, приведенной у Клифорда и Престона:
http://www.px-pict.com/9/5/2/7/1.html
Причем это такая алгебраическая система, которая относится именно к делу (построения некоей "алгебры музыкальной гармонии").

К делу она относится потому, что при помощи стандартных алгебраических конструкций, кратко обрисованных, например, у А. Г. Куроша:
http://www.px-pict.com/9/5/3/3/1/3.html
мы можем определить абелеву группу, изоморфную абелевой группе всех рациональных чисел относительно операции умножения, как фактор-полугруппу полугруппы Брандта по очевидной конгруэнции.
И далее определить интересующие Вас ЧИПы разнообразных пределов как подгруппы этой группы.
Тогда появление ЧИПов будет естественным, они не будут просто выскакивать из ниоткуда, как чертики из табакерки.

-- Вт июл 28, 2015 23:33:23 --

Свободный Художник в сообщении #1040915 писал(а):

Как это ни парадоксально, но прежде чем появилось ЧИП3, появилась гораздо бОльшая бесконечная абелева группа всех рациональных числовых отношений относительно операции "составления отношений" (изоморфная абелевой группе всех положительных рациональных чисел относительно операции умножения). Как это описано в "Истории математики":
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

А ЧИП3 -- достояние новейшего времени. Например, у Царлино нигде нет упоминания ни о ЧИП3, ни о ЧИП5.

Вот, как раз-то, бесконечная абелева группа всех рациональных числовых отношений относительно операции "составления отношений", начиная с самого зарождения западной музыкальной теории интенсивнейшим образом в теоретико-музыкальной практике использовалась. Согласно исследованиям, например, Д. Д. Мордухай - Болтовского:
"практическое приложение теории отношений имело место в построении теории музыки":
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

-- Вт июл 28, 2015 23:51:39 --

Свободный Художник в сообщении #1041152 писал(а):

Между тем, разобраться в сути ЧИПов нужно (чтобы осмыссленно использовать их на практике).

Суть абелевой группы -- в свойствах ее групповой операции. Свойства операции указанной выше группы всех рациональных числовых отношений относительно операции "составления отношений" реально использовались при построении античной теории музыки. См., например, "Предложение B", которое приводит Б. Л. ван дер Варден:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html

Какие конкретные свойства групповых операций абелевых групп ЧИП3 и ЧИП5 используете Вы в своих исследованиях?

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1041152 писал(а):

Какие конкретные свойства групповых операций абелевых групп ЧИП3 и ЧИП5 используете Вы в своих исследованиях?

Тут, например,

commator в сообщении #1040738 писал(а):

$\cdot$ Пифагорейская (ЧИП3) обрубовка$:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdot$ Дидимова (ЧИП5) реалистичность$:$
<...>
$\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v03j.zip $;~\cdot$ https://sites.google.com/site/commator/ ... 05v05j.zip $;$

есть партитуры в ZIPах, где всё что мне понадобилось для исследования выражено формулами, которые при желании можно неплохо понимать.

Если к тому же разбираться в операциях абелевых групп не хуже чем я разбираюсь в операциях сонантометрии, то можно и меня просаетить, какими групповыми свойтвами пользуюсь я.

Дело в том, что меня не суть абелевых преобразований занимает в исследованиях, а как в партитуре тональной музыки любой сложности и протяжённости доминант/субдоминантовые формулы ЧИП3 сонантометрии, которые легко автоматически расставить, затем автоматически преробразовывать в медиант/субмедиантные ЧИП5 и далее, если понадобится, в квартант/субквартантовые ЧИП7.

Делаю всё вручную и подыскиваю оптимальные способы записи своих ручных действий формулами, в надежде нащупать дальнейшие машинные действия для автоматизации, что нелегко, пока.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1041152 писал(а):

Непонятно, почему

commator в сообщении #1040921 писал(а):

... суть ЧИПов есть везде и всегда...

А также непонятно, в чем она заключается, эта их "суть" (Вы это не объясняете).
Между тем, разобраться в сути ЧИПов нужно (чтобы осмыссленно использовать их на практике).

Суть ЧИПов совпадает с сутью основной теоремы арифметики.

Вот, что о ней пишут:

Ноосфера писал(а):

В «Началах» Евклида теорема не встречается, однако уже в книге VII появляются предложения, которые ей эквивалентны. Нет точной формулировки и в книге «Введение в теорию чисел» Лежандра, написанной в 1798 году. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году. Почти во всех школьных учебниках доказательство этой теоремы не приводится, вероятно, из-за отсутствия её в работах Евклида.

Мне, например, кажется будто я о возможности разложения натуральных чисел на простые сомножители знаю чуть ли не с первого класса, а про называние этой возможности основной теоремой арифметики с гауссовым её доказательством только из Википедии вычитал.

Это к тому, что суть ЧИПов и факторизации можно осмысленно использовать на практике даже не зная кто такой Гаусс.

[bntr]

commator в сообщении #1040904 писал(а):

Возникла нужда выяснения, что есть мелодичесий ход?

Я всё же склоняюсь к варианту, где в восприятии нет никакого мелодического хода на 81/80, т.е. нет шва, а мозг интерпретирует эту последовательность I-V-II-IV-I образом, сходным с "синтонической темперацией":

https://en.wikipedia.org/wiki/Syntonic_temperament писал(а):

* generates all non-octave intervals from a stack of tempered perfect fifths; and
* tempers the syntonic comma to unison.

Так же верю, что в восприятии мозг способен на трюки, подобные описанным здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_tonality писал(а):

Dynamic tuning
For example, one could learn to play Rodgers and Hammerstein's Do-Re-Mi in its original 12-tone equal temperament (12-tet) and then play it with exactly the same finger-movements, on exactly the same note-controlling buttons, while smoothly changing the tuning in real time across the syntonic temperament's tuning continuum.

[commator]

bntr в сообщении #1041460 писал(а):

в восприятии мозг способен на трюки

Мне нравится искать интерпретации музыкальных пьес, снижающие напряхённость восприятия от чрезмерного трюкачества.