Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

bntr в сообщении #1027200 писал(а):

commator в сообщении #1017712 писал(а):

Кроме того, изменяющиеся, но неразличимые или плохо различимые ГФ, позволяют между собой отождествление, что даёт возможность считать одинаковыми не совпадающие в действительности высоты, например, на расстоянии не более $5..6~c\leftarrow JND$ (just-noticeable difference ~ порог различимости),



т. е. ради расширения множества допустимых интерпретаций одного и того-же через его роли в другом, ложные и правдивые, внутри порога различимости можно уравнивать в правах знаки $\equiv,\approx$.

Поясните, пожалуйста, на примере доминантсептаккорда:
4:5:6:7, 20:25:30:36, 36:45:54:64 (wiki)
Соответствующие этим соотношениям функции - плохо ли различимы?
Если плохо и "позволяют отождествление", то значит ли это, что мы не сможем интерпретировать числовым соотношением (одним из трех), например, некое конкретное употребление доминантсептаккорда неким венским классиком?

Мои соображения:

 Формальная фоника :Dø(:Øt ∩ :Ød) →        =V: → V+02¢
                   │
                   │      ↑
  10.  :Q[7/4]2t ≡ │ :QØ2t┤ → ρΑ,VIIь: →      VIIь-31¢
   9.              │      │
   8.              │      │
   7. :TD[6/4]2t ≡ ├:Døt  │ →      =V: →         V+02¢
   6.              │      │
   5.              │      │
   4.  :M[5/4]2t ≡ │ :MØ2t┤ →  ιΔ,III: →       III-14¢
   3.              │      │
   2.              │      │
   1.              │      │
   0. :2T[4/4]2t ≡ ├:Død  │ →      =I: →         I±00¢
                   ↓      │
                          │
       Формальная тоника (:Qø U :Mø):Ø2t → =I: → I±00¢
                                                 ───────
                         Средний абсолютный уход:  08¢



      Формальная фоника :2Dø(:Øm ∩ :Ødt) →       =II: → II+04¢
                        │
                        │       ↑
  10. :2D2T[36/20]m2t ≡ ├:2Døm  │ → Δι,VIIь: →        VIIь+18¢
   9.                   │       │
   8.                   │       │
   7.  :TDM[30/20]m2t ≡ ├:2Dødt │ →      =V: →           V+02¢
   6.                   │       │
   5.                   │       │
   4.   :2M[25/20]m2t ≡ │  :MØ2t┤ →  ιΔ,III: →         III-14¢
   3.                   │       │
   2.                   │       │
   1.                   │       │
   0.  :2TM[20/20]m2t ≡ │ :2TØ2t┤ →      =I: →           I±00¢
                        ↓       │
                                │
             Формальная тоника (:Mø U :2Tø):Ø2t → =I: →  I±00¢
                                                         ───────
                                 Средний абсолютный уход:  06¢


       Формальная фоника :4Tø(:Ø2d ∩ :Ø4t) →       =I: → I±00¢
                         │
                         │       ↑
  10.   :6T[64/36]2d2t ≡ ├:4Tø2d │ →  =VIIь: →        VIIь-04¢
   9.                    │       │
   8.                    │       │ 
   7.  :3DT[54/36]2d2t ≡ │ :DTØ2t┤ →     =V: →           V+02¢
   6.                    │       │
   5.                    │       │
   4.  :2DM[45/36]2d2t ≡ │  :MØ2t┤ → ιΔ,III: →         III-14¢
   3.                    │       │
   2.                    │       │
   1.                    │       │
   0. :2T2D[36/36]2d2t ≡ ├:4Tø4t │ →     =I: →           I±00¢
                         ↓       │
                                 │
              Формальная тоника (:DTø U :Mø):Ø2t → =I: → I±00¢
                                                         ───────
                                 Средний абсолютный уход:  03¢

Если оценивать по среднему уходу от стандартной 12РДО звуковысотности, то наихудшей различимостью (03¢) будет обладать функция аккорда 36:45:54:64. Два других тоже не многие различат, у кого слух настроен на оценку по среднему уходу.

Если оценивать аккорды попарно с учётом влияния каждого звука, то легко заметить, что различия между аккордами есть только для септимы, притом громадные(49¢, 27¢ и 22¢), что и различия функций должно делать хорошо заметными.

Что до интерпретирования венского класстка, у нас всегда может быть несколько несовпадающих результатов, которые надо все прослушивать для выбора наиболее пригодных.

Со временем прояснится, как можно и как нельзя вычислять интерпретации для получения только пригодных версий, что и можно будет закреплять в алгоритмах соответствующих программ.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1027496 писал(а):

Мне кажется, что если бы Рамо не "вильнул" (после первой половины своего творчества), то монохорд естественным образом доэволюционировал бы до средства представления "гармонических сетей", которые рассматривают в проективной геометрии: http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/5.html

Так ведь и Царлино увильнул от монохорда к полихорду (после первой половины своей книжки), притом многозначительно процитировал популярного в то время юриста:

commator в сообщении #1024227 писал(а):

Цитата:

(Латынь)

Difficile est, nisi docto homini tot tendere chordas,

Alciat. Embl. 2. lib. 1

Трудно сие, но человек научился натягивать множество струн,

Альциат. Эмбл[ема] 2. Кн[ига] 1

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1027496 писал(а):

Мне кажется, что если бы Рамо не "вильнул" (после первой половины своего творчества), то монохорд естественным образом доэволюционировал бы до средства представления "гармонических сетей", которые рассматривают в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/5.html

Если позволительно сказать, что "Рациональные числа как музыкальные интервалы" (как это делает Д. Райт):
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

то также позволительно сказать, что и "Рациональные лучи как музыкальные интервалы":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1.html

и строить "гармоническую сеть" (в виде Дерева Штерна - Броко) на лучах пучка лучей (двойственной конструкции для прямолинейного ряда точек в теории проективной плоскости). Операцию умножения на лучах пучка, отвечающей операции умножения рациональных чисел, определить несложно.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1027935 писал(а):

строить "гармоническую сеть" (в виде Дерева Штерна - Броко) на лучах пучка лучей (двойственной конструкции для прямолинейного ряда точек в теории проективной плоскости).

И на нотном стане:



и в таблице:



и на диске:

http://bntr.livejournal.com/57460.html

[commator]

Попалась любопытная чисельно-интервальная критика музыкально-исторического доктринёрства Холопова:

Шип 2013, Учёные запискм Российской академии музыки имени Гнесиных, с. 26 писал(а):

логика освоения чисел, соответствующих начальным интервалам натурального строя, сама по себе не предопределяет завершенности процесса, поскольку ряд обертонов не замкнут. Он описывается математической прогрессией, устремленной в бесконечность. Тем не менее Холопов утверждает, что в XX веке «… мы вступили в совершенно невозможную ранее фазу развития, когда нечего больше завоевывать, <…> интервалов больше не осталось»

[commator]

commator в сообщении #1027092 писал(а):

bntr в сообщении #1008785 писал(а):

о некой особой роли интервалов вида p/(p-1) (например 2/1, 3/2, 5/4, 19/18,..).
Кажется, Вы называли и специальный термин для них.

commator в сообщении #1009498 писал(а):

Нашёл по этому поводу:

Герцман 1993 писал(а):

В эпиморном отношении (ἐπιμόριος) большее число полностью содержит меньшее и еще одну его часть (квинта 3:2, кварта - 4 : 3 и т.д.)

Полезно сосредоточиться и на второй части герцманова высказывания:

Герцман 1993 писал(а):

В <...> отношении <...> много­кратном (πολλαπλάσιος) большее число содержит меньшее более, чем один раз (окта­ва - 2 : 1, децима 3 : 1 и т. д.)

Много­кратные интервалы абсолютно дуальны для обер/унтертоновых оценок: от нижнего тона, как первого обертона, верхний обязательно пронумеруется его $k$-м обертоном ($k$\in \mathbb{N}$$); но с таким же успехом верхний тон можно назвать первым унтертоном, и нижний обязательно пронумеруется $k$-м унтертоном верхнего. Таким образом оказывается ложным утверждение

Рагс 1981 писал(а):

Унтертоны <...> никогда не возникают при колебаниях одного вибратора

В действительности один вибратор порождает столько же унтертонов, сколько и обертонов.

[bntr]

commator в сообщении #1027735 писал(а):

Что до интерпретирования венского классика, у нас всегда может быть несколько несовпадающих результатов, которые надо все прослушивать для выбора наиболее пригодных.

Со временем прояснится, как можно и как нельзя вычислять интерпретации для получения только пригодных версий, что и можно будет закреплять в алгоритмах соответствующих программ.

А может ли быть, что ГФ или некий другой "приписываемый смысл" объединяет (совмещает) несколько числовых интерпретаций (например, и 4:5:6:7, и 36:45:54:64)? Т.е. венский классик под конкретным доминантсептаккордом подразумевал два или более вариантов.

[bntr]

bntr в сообщении #1028494 писал(а):

Т.е. венский классик под конкретным доминантсептаккордом подразумевал два или более вариантов.

И возможна ли, commator, по-вашему, такая интерпретация доминантсептаккорда: 108:135:162:160:196 (подобная 36:45:54:64, но с еще одной чистой малой терцией), где под третьей ступенью подразумевается и 160, и 162?

[commator]

bntr в сообщении #1028494 писал(а):

А может ли быть, что ГФ или некий другой "приписываемый смысл" объединяет (совмещает) несколько числовых интерпретаций (например, и 4:5:6:7, и 36:45:54:64)? Т.е. венский классик под конкретным доминантсептаккордом подразумевал два или более вариантов.

В один и тот же момент вряд ли понадобится интерпретировать доминантсептаккорд как две несовпадающие версии чистого интонирования, особенно в попытке совместить 4:5:6:7, и 36:45:54:64. В разные моменты одной и той же композиции может быть даже и лучше применять 4:5:6:7, и 36:45:54:64 поочерёдно, в зависимости от выписанного нотами контекста у венского, либо иного классика.

Вместе с этим надо обратить внимание: умножение на 9 из 4:5:6:7 делает 36:45:54:63, что при совмещении с 36:45:54:64 даёт 36:45:54:63:64.

Как слух воспримет вертикальную архитову комму 63:64 вместе с трезвучием 36:45:54 надо пробовать, поскольку несмотря на то что комма бесспорно породит биения, возможно неприятные в отдельном её исполнении, эти биения будут в унисон с первым обертоном, имеющем вероятность фантомного присутствия в ощущении вертикали 36:45:54:63:64, равно как и в ощущении отдельно испоненной вертикально архитовой коммы 63:64.

-- 18.06.2015, 20:15 --

bntr в сообщении #1028554 писал(а):

возможна ли, commator, по-вашему, такая интерпретация доминантсептаккорда: 108:135:162:160:196 (подобная 36:45:54:64, но с еще одной чистой малой терцией), где под третьей ступенью подразумевается и 160, и 162?

160:162, или перемещённая на октаву вверх дидимова комма 80:81, даст биения в унисон с фантомом 2-го обертона, т. е. употребить по арифметике возможно, но способен ли слух работать с такой арифметикой?

Только опытным путём надо выяснять.

Вчера, к примеру, получил ссылку на септимальную музыку.

http://chrisvaisvil.com/prelude-for-fok ... mit-piano/

Воспринималась бы как приемлемая, если бы не кое-какие моменты, скорее претендующие на неприятную фальшь, чем на необычные, но имеющие право на существование вертикали.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1027935 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1027496 писал(а):

Мне кажется, что если бы Рамо не "вильнул" (после первой половины своего творчества), то монохорд естественным образом доэволюционировал бы до средства представления "гармонических сетей", которые рассматривают в проективной геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/5.html

Если позволительно сказать, что "Рациональные числа как музыкальные интервалы" (как это делает Д. Райт):
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html

то также позволительно сказать, что и "Рациональные лучи как музыкальные интервалы":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1.html

и строить "гармоническую сеть" (в виде Дерева Штерна - Броко) на лучах пучка лучей (двойственной конструкции для прямолинейного ряда точек в теории проективной плоскости).

commator в сообщении #1027954 писал(а):

И на нотном стане:
и в таблице:
и на диске:

Непонятно, как в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" определить операцию "умножения", соответствующую операции умножения рациональных чисел. Для того представления "гармонической сети", о котором говорил я, есть подсказка у Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/2.html
(рис. 135 с гиперболой)

Свободный Художник в сообщении #1027935 писал(а):

Операцию умножения на лучах пучка, отвечающей операции умножения рациональных чисел, определить несложно.

-- Сб июн 20, 2015 23:36:22 --

Непонятно даже, каким образом определить в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" операцию группоида Брандта:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/4.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

Непонятно, как в приведенных Вами представлениях "гармонической сети" определить операцию "умножения", соответствующую операции умноженияо <...> oперацию группоида Брандта

Наиболее употребимыми у меня оказались операции, мною пока называемые уравнивание слева/справа.

Пусть дана вертикаль пары сонантов:

$:S_1s_2$
$:S_3s_4$

которая после уравнивания слева приобретаёт вид:

$:S_3S_1s_2s_3$
$:S_1S_3s_4s_1$

и после уравнивания справа:

$:S_4S_1s_2s_4$
$:S_2S_3s_4s_2$

Может быть Вам виднее какова математическая суть сих несложных операций, так просветите.

[Свободный Художник]

Хотелось бы, чтобы Вы предоставили несколько больше информации об интересующих Вас операциях, а также разъяснили, по возможности, их содержательный смысл.
Смысл операции группоида Брандта легко понять, потому что она очень проста. Я изобразил "таблицу Кэли" для "Pair Groupoid" в случае, когда эта операция задана на декартовом квадрате 4-х элементного множества, состоящего из некоторых абстрактных символов А, B, C и D:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/10/1.html
Упорядоченые пары изображены там дугами ориентированого графа, как это иногда делают:
http://www.px-pict.com/9/4/2/3/2/2.html

-- Вс июн 21, 2015 23:50:29 --

Свободный Художник в сообщении #1029182 писал(а):

... Для того представления "гармонической сети", о котором говорил я, есть подсказка у Кокстера:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/11/2.html
(рис. 135 с гиперболой)

Свободный Художник в сообщении #1027935 писал(а):

Операцию умножения на лучах пучка, отвечающей операции умножения рациональных чисел, определить несложно.

Нам понадобится один элементарный факт о пересечении рационального луча с гиперболой:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/8.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1029457 писал(а):

Хотелось бы, чтобы Вы предоставили несколько больше информации об интересующих Вас операциях, а также разъяснили, по возможности, их содержательный смысл.

Один из Ваших излюбленных примеров:



Извлекаем вертикаль из начала второго такта и делаем преобразования, исходя из того, что ля-первой-октавы принята за оригинант суборигинанта:

$a1:[~1/1~]\to:\varnothing_\varnothing$
$f1:[19/24]\to:Ud3t$
$c1:[19/32]\to:U5t$
$~f:[19/48]\to:Ud4t$

Eсли будут вопросы, постараюсь ответить, затем продолжу.

[bntr]

commator в сообщении #1017712 писал(а):

bntr в сообщении #1017678 писал(а):

мозгу приходится выбирать

Сие происходит в процессе составления композиции, полагаю.

Когда готовая композиция предъявляется через чистую интонацию по точной нотации, мозгу остаётся только восприятие выбора композитора.

Допускаете ли вы, что некая рационализация может происходить и в мозгу (вне замысла композитора)?

Неверно ли полагать, что, если некто совсем без умысла нажимает клавиши пианино, то в мозгу у слушателя происходит работа: попытки рационализировать входящие стимулы, найти для нот целочисленные интерпретации, таким образом осмыслить слышимое, построить рациональную сетку, сплести музыкальную ткань?

Не может ли это порой происходить и без особого на то желания, на уровне психоакустической системы и/или более глубоких уровнях?

Я пытаюсь спросить, не может ли такая рационализация (плетение музыкальной ткани) успешно происходить в мозге и при игре на клавиатуре 12РДО, и при чьём-то грязном пении, где-нибудь на уровне воображения, пусть с бОльшими усилиями?

[commator]

bntr в сообщении #1029539 писал(а):

не может ли такая рационализация (плетение музыкальной ткани) успешно происходить в мозге и при игре на клавиатуре 12РДО, и при чьём-то грязном пении, где-нибудь на уровне воображения, пусть с бОльшими усилиями?

Именно так оно и работает, по-моему.

Отсюда вытекает следуещее: массовое навязывание слушателям 12РДО стимуляции заставляет их психоакустические системы усиленно искать в автоматическом режиме те или иные рациональные оправдания потоку грубых иррациональных софизмов, что исподволь накаляет нервную систему общества до проявлений массовой агрессивности.

Если мне кто-то скажет, что система 12РДО не имеет никакого отношения к успешному развязыанию двух мировых войн, я не поверю, потому что развязала их страна, первая из запустивших в массовую эксплуатацию этот чудовищный инструмент уничтожения любой возможности управлять процессами осмысленного энгармонического урегулирования в целях точного предьявления аудитории чистого смысла композиций, дошедших до нас в виде головоломной 12РДО софистики.

Есть ещё более ужасающее следствие гегемонии 12РДО: наметилась тенденция рекламировать пифагорейский строй, как вполне приемлемый для исполнения всякого многоголосия, которое можно слушать в системе 12РДО. Если мне кто-то скажет, что это не может влиять на развязывание третьей мировой войны, я не поверю.

Ноосфера писал(а):

в избавлении главное место занимает музыка. Мессия не только учит новым нигунам (мелодиям), но даже изобретает новые музыкальные инструменты.

Циолковский писал(а):

Музыка есть сильное, возбуждающее, могучее орудие, подобное медикаментам. Она может и отравлять и исцелять.

Лосев 1979 писал(а):

Чем мельче тоновые различия, тем больше античный человек переживал здесь мягкости и расслабления; и, наоборот, мелодия с достаточно большими и четкими интервалами казалась ему строгой, энергичной и серьезной