Помогите со школьными задачками

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038871 писал(а):

Это верно?

Почти. Гравитационная энергия - отрицательная.
При решении полезно вспомнить выражение для первой космической скорости $V_\oplus$.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038892 писал(а):

Гравитационная энергия - отрицательная.

А почему? Я могу выбрать нулевой уровень энергии на Солнце и положительное направление во вне?

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038898 писал(а):

А почему?

Принято нулевой уровень выбирать на бесконечности. Обычно так удобнее.

Atom001 в сообщении #1038898 писал(а):

Я могу выбрать нулевой уровень энергии на Солнце и положительное направление во вне?

Можете. Но все равно выражение получится не такое, как у вас. Правильно

$$U=GMm\left(\dfrac{1}{R_0}-\dfrac{1}{r}\right).$$

Здесь $R_0$ - расстояние, энергия на котором берется за нуль.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038900 писал(а):

Принято нулевой уровень выбирать на бесконечности. Обычно так удобнее.

Ясно. Буду знать.

DimaM в сообщении #1038900 писал(а):

Здесь $R_0$ - расстояние, энергия на котором берется за нуль.

Расстояние от чего? От звезды?

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038902 писал(а):

Расстояние от чего? От звезды?

Вообще между двумя точечными (или сферически симметричными) массами. В данном случае - от звезды.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038906 писал(а):

Вообще между двумя точечными (или сферически симметричными) массами. В данном случае - от звезды.

Ясно.

DimaM, спасибо за хорошую задачу.

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038907 писал(а):

DimaM, спасибо за хорошую задачу.

На здоровье!
Хотя задача не моя, да и не новая.

[DimaM]

На ту же тему задачка:
в центральном гравитационном поле орбита пробного тела задается в полярных координатах выражением $r=\dfrac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}$. Надо выразить параметр орбиты $p$ и эксцентриситет $\varepsilon$ через сохраняющиеся величины - полную энергию и момент импульса (деленные на массу пробного тела, разумеется).

Если в этой теме неуместно, прошу модератора перенести, куда следует.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038921 писал(а):

На ту же тему задачка:

Буду решать.

DimaM в сообщении #1038921 писал(а):

Если в этой теме неуместно, прошу модератора перенести, куда следует.

Не, пуская здесь лежит. Это же тема с задачами, которые я затрудняюсь решить, а Вашу задачу я слёту тоже решить не могу. А кто их (задачи) предлагает - не важно.

[Pphantom]

DimaM в сообщении #1038921 писал(а):

в центральном гравитационном поле орбита пробного тела задается в полярных координатах выражением $r=\dfrac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}$.

Все-таки обычно $r=\dfrac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi}$. Разница невелика, но так стандартнее.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038921 писал(а):

в центральном гравитационном поле орбита пробного тела задается в полярных координатах выражением $r=\dfrac{p}{1-\varepsilon\cos\varphi}$. Надо выразить параметр орбиты $p$ и эксцентриситет $\varepsilon$ через сохраняющиеся величины - полную энергию и момент импульса (деленные на массу пробного тела, разумеется).

Запишем систему выражений для энергии и момента импульса в двух точках орбиты - в перицентре и в точке орбиты, которая отстоит от перицентра на $90\circ$

$$\left\{ \begin{array}{lcl} L_1=R_1mv_1 \\ L_2=R_2mv_2\sin\alpha \\ E_1=\frac{m{v_1}^2}{2}-\frac{GM}{R_1} \\ E_2=\frac{m{v_2}^2}{2}-\frac{GM}{R_2} \\ \end{array} \right.$$

Где, $R_1$ и $R_2$ - расстояния от центра гравитационного поля (от одного из фокусов), до соответствующей точки орбиты, $m$ - масса пробного тела, $v_1$ и $v_2$ - скорости в соответствующей точке орбиты, $M$ - масса тела, создающего поле.

Из первых двух уравнений выразим скорости $v_1$ и $v_2$.
Предварительно учтём, что $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1-{\ctg\alpha}^2}}$, а для эллипса $\ctg\alpha=\frac{F^2}{b^2}$, где $F$ - расстояние от центра до фокуса, $b$ - малая полуось. Но $F=\varepsilon a$, где $\varepsilon$ - эксцентриситет, $a$ - большая полуось.
Тогда, учитывая $\varepsilon=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$, имеем $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{b^2}}}$

Значит,

$$v_1=\frac{L_1}{mR_1}$$

$$v_2=\frac{L_2\sqrt{2+\frac{1}{b^2}}}{mR_2}$$

Теперь подставим значения скоростей в соответствующие выражения для энергий (так как энергия и момент импульса сохраняются в любой точке орбиты, то можно избавиться от индексов у этих величин).

$$E=\frac{L^2}{2m{R_1}^2}-\frac{GM}{R_1}$$

$$E=\frac{L^2(1+\frac{1}{2b^2})}{m{R_2}^2}-\frac{GM}{R_2}$$

Теперь можно, решив квадратные уравнения, найти $R_1$ и $R_2$. Эти эр даже получаются не особо громоздкими. Но потом придётся переходить от $R_1$ и $R_2$ к $p$ и $\varepsilon$. И этот переход меня пугает. Поэтому я здесь останавливаюсь, чтобы спросить: той ли дорогой я иду?

[Pphantom]

Проще было бы сделать это для перицентра и апоцентра.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1039189 писал(а):

Проще было бы сделать это для перицентра и апоцентра.

Да? Но можно и так. Я думал, что если задействую обе полуоси, то что-то подсократится.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1039192 писал(а):

Да? Но можно и так. Я думал, что если задействую обе полуоси, то что-то подсократится.

Наоборот, будет резко сложнее.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1039198 писал(а):

Наоборот, будет резко сложнее.

Вы правы.