Помогите со школьными задачками

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038504 писал(а):

Не только, есть еще кое-что.

Момент импульса?

Pphantom в сообщении #1038504 писал(а):

Нет. Слово "гелиоцентрический", по идее, предполагает, что центр находится в Солнце, а не где-то еще, не так ли?

Я с Вами согласен.
Тогда рисунок выглядит так:



Но тогда как выполнить первый пункт? Мне кажется, что не хватает данных.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038521 писал(а):

Момент импульса?

Да.

Atom001 в сообщении #1038521 писал(а):

Но тогда как выполнить первый пункт? Мне кажется, что не хватает данных.

Просто начинать надо не с него. Вы знаете долготы в некоторый момент времени. Вы знаете (или можете легко узнать) скорости изменения долгот...

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038523 писал(а):

Да.

Хорошо, я попробую что-нибудь нарешать.

Pphantom в сообщении #1038523 писал(а):

Вы знаете долготы в некоторый момент времени.

Знаю.
Этот некоторый момент можно обозначить за начало отсчёта времени.

Pphantom в сообщении #1038523 писал(а):

Вы знаете (или можете легко узнать) скорости изменения долгот...

Могу. Эти скорости будут равны соответствующим угловым скоростям планет.
Тогда долготы меняются по законам
$\left\{ \begin{array}{lcl} \Delta (t)=\Delta_0+\omega_{\oplus}t \\ \delta (t)=\delta_0+\omega_{\venus}t \\ \end{array} \right.$

Так, теперь из рисунка можно найти, что $\delta (t)-\Delta (t)=90°-\varepsilon$. Из верхней системы левые части подставим в формулу и получим $\delta_0+\omega_{\venus}t-\Delta_0-\omega_{\oplus}t=90°-\varepsilon$.
Тогда, $t=\frac{90°-\varepsilon-\delta_0+\Delta_0}{\omega_{\venus}-\omega_{\oplus}}$.
Знаменатель можно преобразовать по формуле связи периода и угловой скорости $\omega_{\venus}-\omega_{\oplus}=360°(\frac{1}{T_{\venus}}-\frac{1}{T_{\oplus}})$.
Итоговая формула имеет вид

$$t=\frac{90°-\varepsilon-\delta_0+\Delta_0}{360°(\frac{1}{T_{\venus}}-\frac{1}{T_{\oplus}})}$$

Подставляем значения (периоды выражены в сутках). $t=\frac{90°-48°-260,67°+99,92°}{360°(\frac{1}{225}-\frac{1}{365})}=\frac{-118,75}{0,61}=-194,7 \text{ суток}$

Время получилось отрицательным. Где опять несостыковка?

[Pphantom]

Это же не равномерное прямолинейное движение, а периодическое. Чем долгота $260^\circ 40'$ отличается от долготы $-99^\circ 20'$?

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038553 писал(а):

Чем долгота $260^\circ 40'$ отличается от долготы $-99^\circ 20'$?

Ни чем, собственно.

Pphantom в сообщении #1038553 писал(а):

Это же не равномерное прямолинейное движение, а периодическое.

Спасибо! Всё получилось!

[Munin]

Pphantom в сообщении #1038504 писал(а):

Atom001 в сообщении #1038473 писал(а):

Есть ещё импульс.

Не только, есть еще кое-что. :-)

Причём импульс-то как раз не сохраняется...

[Pphantom]

Munin в сообщении #1038771 писал(а):

Причём импульс-то как раз не сохраняется...

Строго говоря, сохраняется, только пользы от этого никакой. Если внимательно посмотреть на действия при решении подобных задач, то обнаружится, что они неявно подразумевают предельный переход $m \to 0$, т.е. масса корабля предполагается пренебрежимо малой. Законы сохранения энергии и момента импульса при этом дают нетривиальные равенства, а закон сохранения импульса сводится к банальному $0=0$.

[Atom001]

Что-то я опять впал в ступор.
Момент импульса по определению равен $\vec{L}=\vec{R}\times\vec{p}$.
Если перейти к скалярам, то $L=Rp \sin{(\vec{R};\vec{p})}$.
Для орбиты Земли всё хорошо, $L_{\oplus}=R_{\oplus}mv_0$, (синус прямого угла есть 1).
А для промежуточной орбиты опять всё сложно, $L=R(t)m(v_0+v(R))\sin{(\vec{R};\vec{p})}$. Здесь и радиус-вектор - функция, и скорость - функция, и ещё синус появляется.
Если записать формулу момента импульса иначе ($L=J\omega$), то всё равно дело встанет из-за отсутствия функции радиус-вектора от времени, так как момент инерции зависит от $R$.

Я вижу только два пути. Нужно либо принять, что все орбиты есть круги (что запрещено условием), либо подключать тяжёлую артиллерию и рассматривать движение по эллипсам (что затянется, я думаю, на долго). Но раз уж умные люди в унисон говорят: "Используй момент импульса", то, получается, есть ещё один вариант, который учитывает и эллиптичность орбиты и матанализ не привлекает к работе. Короче, прошу ещё одну подсказку :)

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038806 писал(а):

Я вижу только два пути. Нужно либо принять, что все орбиты есть круги (что запрещено условием), либо подключать тяжёлую артиллерию и рассматривать движение по эллипсам (что затянется, я думаю, на долго).

Вас на самом деле интересует ситуация только в перицентре и апоцентре орбиты. Немного подумав, можно догадаться, что в этих точках скорость перпендикулярна радиус-вектору (докажите этот факт самостоятельно ).

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038826 писал(а):

Немного подумав, можно догадаться, что в этих точках скорость перпендикулярна радиус-вектору (докажите этот факт самостоятельно ).

Да, это доказать было не сложно.

Pphantom в сообщении #1038826 писал(а):

Вас на самом деле интересует ситуация только в перицентре и апоцентре орбиты.

Тогда, для орбиты Земли$L_{\oplus}=R_{\oplus}mv_0$ и для промежуточной орбиты в перицентре $L_p=R_pm(v_0+\Delta_pv)$, где $R_p$ - расстояние в перицентре, $\Delta_pv$ - первая искомая добавка.
Учитывая, то момент импульса сохраняется, можно найти $\Delta_pv$:

$$\Delta_pv=v_0(\frac{R_{\oplus}}{R_p}-1)$$

Соответственно, для промежуточной орбиты в апоцентре $L_a=R_am{v_0}'$ и для орбиты Марса $L_{\mars}=R_{\mars}m({v_0}'+\Delta_av)$, где ${v_0}'$ - начальная скорость при переходе с промежуточной орбиты на орбиту Марса.
Откуда находим

$$\Delta_av={v_0}'(\frac{R_a}{R_{\mars}}-1)$$

Но, позвольте, разве если я задам на земной орбите кораблю скорость $\Delta_pv$, корабль полетит по нужной орбите? Разве он не полетит по круговой орбите с радиусом $R_p$, которая даже не коснётся орбиты Марса?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038852 писал(а):

Но, позвольте, разве если я задам на земной орбите кораблю скорость $\Delta_pv$, корабль полетит по нужной орбите? Разве он не полетит по круговой орбите с радиусом $R_p$, которая даже не коснётся орбиты Марса?

А первый закон Кеплера кто-то отменил? С чего фокус орбиты переедет из Солнца в другую точку?

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038852 писал(а):

Тогда, для орбиты Земли$L_{\oplus}=R_{\oplus}mv_0$ и для промежуточной орбиты в перицентре $L_p=R_pm(v_0+\Delta_pv)$, где $R_p$ - расстояние в перицентре, $\Delta_pv$ - первая искомая добавка.
Учитывая, то момент импульса сохраняется, можно найти $\Delta_pv$:

$$\Delta_pv=v_0(\frac{R_{\oplus}}{R_p}-1)$$

А это ничего, что по построению $R_{\oplus}=R_p$?
Вы неверно понимаете закон сохранения. При добавлении скорости момент импульса, разумеется, меняется (как и энергия), но вот при дальнейшем движении по промежуточной орбите - остается постоянным.
Запишите закон сохранения энергии и сохранения момента импульса в виде равенства соответствующих величин в перицентре и апоцентре. Получится система из двух уравнений, которую нужно решить.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038853 писал(а):

А первый закон Кеплера кто-то отменил? С чего фокус орбиты переедет из Солнца в другую точку?

А разве первый закон Кеплера запрещает круговые орбиты? Он ведь говорит только о том, что все планеты Солнечной системы вращаются по эллипсам, но он не утверждает, что непременно все тела, обращающиеся вокруг Солнца, должны обращаться по эллипсам. Так ведь?

DimaM в сообщении #1038858 писал(а):

А это ничего, что по построению $R_{\oplus}=R_p$?

DimaM в сообщении #1038858 писал(а):

Запишите закон сохранения энергии и сохранения момента импульса в виде равенства соответствующих величин в перицентре и апоцентре. Получится система из двух уравнений, которую нужно решить.

$$\left\{ \begin{array}{lcl} \frac{m{v_{\oplus}}^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\oplus}}=\frac{m{v_{\mars}}^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\mars}}\\ R_{\oplus}mv_{\oplus}=R_{\mars}mv_{\mars} \\ \end{array} \right.$$

Из этой системы можно найти $v_{\oplus}$ и $v_{\mars}$.
Тогда первая искомая добавка вычисляется по формуле $\Delta_1v=v_{\oplus}-V_{\oplus}$, где $V_{\oplus}$ - скорость Земли.
А вторая искомая добавка вычисляется по формуле $\Delta_2v=V_{\mars}-v_{\mars}$, где $V_{\mars}$ - скорость Марса.

Это верно?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038871 писал(а):

А разве первый закон Кеплера запрещает круговые орбиты? Он ведь говорит только о том, что все планеты Солнечной системы вращаются по эллипсам, но он не утверждает, что непременно все тела, обращающиеся вокруг Солнца, должны обращаться по эллипсам. Так ведь?

Не запрещает. Но каким образом Вы получите круговую орбиту с центром в Солнце, проходящую через точку на орбите Земли, но с радиусом, не совпадающим с радиусом земной орбиты?

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038883 писал(а):

Но каким образом Вы получите круговую орбиту с центром в Солнце, проходящую через точку на орбите Земли, но с радиусом, не совпадающим с радиусом земной орбиты?

И то верно!