Помогите со школьными задачками

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038065 писал(а):

Сначала, для наглядности (чтобы понять задачу), я решил нарисовать рисунок, в котором Марс будет в противостоянии. На рисунке голубая орбита - орбита корабля. Красным кружком показано место встречи корабля и Марса.

Это неправильный рисунок. Из условия следует, что орбита корабля касается орбиты Земли и орбиты Марса (такая орбита называется гомановской). А дальше третий закон Кеплера.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038068 писал(а):

Это неправильный рисунок.

Тогда так. Теперь правильно?

DimaM в сообщении #1038068 писал(а):

А дальше третий закон Кеплера.

$\frac{T^2}{{T_{\oplus}}^2}=\frac{a^3}{{a_\oplus}^3}$
$T={T_\oplus}\sqrt{\frac{a^3}{{a_\oplus}^3}}$
Из условия $A=2.5 a.e. \Rightarrow a=1.25 a.e.$
$T=1\text{год}\sqrt{\frac{{(1.25 a.e.)}^3}{{(1 a.e.)}^3}}=1.4 \text{года}$
Из рисунка видно, что корабль пройдёт ровно пол-орбиты. Тогда, $t=0.5T=0.7\text{года}$.
Ну теперь вижу, что новый рисунок правильный :)

DimaM, спасибо!

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038071 писал(а):

Тогда так. Теперь правильно?

Теперь да. Только эксцентриситет орбит планет сильно преувеличен.

В качестве упражнения рекомендую еще посчитать необходимую прибавку скорости, чтобы с орбиты Земли перейти на нужную, и чтобы потом перейти на орбиту Марса.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038074 писал(а):

Только эксцентриситет орбит планет сильно преувеличен.

Согласен. Но зато наглядно всё получилось :)

-- 17.07.2015, 21:01 --

DimaM в сообщении #1038074 писал(а):

В качестве упражнения рекомендую еще посчитать необходимую прибавку скорости, чтобы с орбиты Земли перейти на нужную, и чтобы потом перейти на орбиту Марса.

Я попробую.

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038071 писал(а):

Тогда так. Теперь правильно?

Почти. Помимо уже упомянутого гипетрофированного эксцентриситета, есть еще одна неправильность - орбита корабля не должна пересекать орбиту Земли, а только касаться ее в перигелии.

[DimaM]

Pphantom в сообщении #1038080 писал(а):

орбита корабля не должна пересекать орбиту Земли, а только касаться ее в перигелии

Действительно, что-то я этот момент упустил.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038080 писал(а):

Почти.

Вот. Теперь, небось, слишком ужатые получились?

[Pphantom]

Y

Atom001 в сообщении #1038093 писал(а):

Вот. Теперь, небось, слишком ужатые получились?

Нормально, только не в масштабе.

[Atom001]

Pphantom в сообщении #1038096 писал(а):

Нормально, только не в масштабе.

Не, всё. На этом и остановимся :)

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038074 писал(а):

В качестве упражнения рекомендую еще посчитать необходимую прибавку скорости, чтобы с орбиты Земли перейти на нужную, и чтобы потом перейти на орбиту Марса.

Пусть орбиты круговые (для эллипсов слишком долгое решение будет, наверное).
1) На корабль действует сила со стороны Солнца $F_{\odot}=G\frac{M_{\odot}m}{R^2}$, где $m$ - масса корабля, $R$ - радиус орбиты корабля.
Эта сила сообщает кораблю ускорение $a=\frac{F_{\odot}}{m}$.
Но ускорение это центростремительное, поэтому $a=\frac{{v_0}^2}{R}$.
Тогда, $\frac{{v_0}^2}{R}=\frac{F_{\odot}}{m}\Rightarrow \frac{{v_0}^2}{R}=G\frac{M_{\odot}}{R^2} \Rightarrow v_0=\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R}}$ - такую скорость надо задать, кораблю просто в космосе. Но если его запускать с Земли, то нужно ещё преодолеть притяжение самой Земли. Тогда, необходимая скорость для запуска корабля с Земли на нужную орбиту вычисляется по формуле $v={v_0}+v_{\text{II}}=\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R}}+\sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}}=\sqrt{G}(\sqrt{\frac{M_{\odot}}{R}}+\sqrt{\frac{2M_{\oplus}}{R_{\oplus}}})$, где $R_{\oplus}$ - радиус Земли.

2) Теперь чтобы перейти на орбиту Марса, покоящемуся телу нужно сообщить скорость $v_{\mars}=\sqrt{\frac{GM_{\odot}}{R_{\mars}}}$, где $R_{\mars}$ - радиус орбиты Марса.
Но к тому моменту, когда корабль будет переходить со своей орбиты на марсовскую, у него уже будет скорость $v$. Поэтому, кораблю нужно будет добавить лишь скорость $\delta v=v_{\mars}-v=\sqrt{G}(\sqrt{\frac{M_{\odot}}{R_{\mars}}}-\sqrt{\frac{M_{\odot}}{R}}-\sqrt{\frac{2M_{\oplus}}{R_{\oplus}}})$

Ну вот так как-то. Неправильно, небось?

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038321 писал(а):

Неправильно, небось?

Неправильно. Забыли, что корабль движется вокруг Солнца со скоростью Земли.
Я, собственно, предлагал найти прибавку скорости без учета старта с Земли. Допустим, корабль движется по орбите Земли - как его надо толкнуть, чтоб долетел до орбиты Марса? А когда долетел, как надо толкнуть, чтоб перешел на орбиту Марса.
Законы сохранения тут очень полезны.

[Atom001]

DimaM
Законы сохранения, говорите...
1) Так, корабль летает по орбите Земли. Значит, он обладает энергией $E_{\oplus}=\frac{m{v_0}^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\oplus}}$, где $m$ - масса корабля, $v_0$ - скорость корабля на орбите земли, $R_{\oplus}$ - радиус орбиты Земли.
Когда корабль перепрыгнет на свою промежуточную орбиту, то он будет иметь энергию $E=\frac{m(v_0+\Delta v)^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R}$, где $\Delta v$ - искомая добавка к скорости, $R$ - радиус промежуточной орбиты корабля.
По закону сохранения энергии, $E_{\oplus}=E \Rightarrow \frac{m{v_0}^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\oplus}}=\frac{m(v_0+\Delta v)^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R}$
Теперь, выражая $\Delta v$, получу $\Delta v=\sqrt{{v_0}^2+2GM_{\odot}(\frac{1}{R_{\oplus}}-\frac{1}{R})}-v_0$

2) Теперь с промежуточной орбиты корабль перейдёт на орбиту Марса, где будет обладать энергией $E_{\mars}=\frac{m(v_0+\Delta v+\delta v)^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\mars}}$, где $\delta v$ - вторая добавка скорости, $R_{\mars}$ - радиус орбиты Марса.
Опять же по закону сохранения энергии, $E=E_{\mars} \Rightarrow \frac{m{v_0+\Delta v}^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R}=\frac{m(v_0+\Delta v+\delta v)^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R_{\mars}}$.
Тогда, $\delta v=\sqrt{(v_0+\Delta v)^2+2GM_{\odot}(\frac{1}{R}-\frac{1}{R_{\mars}})}-v_0-\Delta v$.

Ну как теперь? Опять неправильно?

[DimaM]

Atom001 в сообщении #1038367 писал(а):

Когда корабль перепрыгнет на свою промежуточную орбиту, то он будет иметь энергию $E=\frac{m(v_0+\Delta v)^2}{2}+\frac{GmM_{\odot}}{R}$, где $\Delta v$ - искомая добавка к скорости, $R$ - радиус промежуточной орбиты корабля.

Не-не, так нельзя. Промежуточная орбита - вовсе не окружность. Она представляет собой эллипс с перигелием $R_\oplus$ и афелием $R$.
Кроме энергии есть еще одна сохраняющаяся величина.

[Atom001]

DimaM в сообщении #1038466 писал(а):

Кроме энергии есть еще одна сохраняющаяся величина.

Есть ещё импульс. Но тут я не могу ничего толкового придумать.
На земной орбите корабль будет иметь импульс $p_{\oplus}=mv_0$. На промежуточной орбите корабль будет обладать импульсом $p=m(v_0+\Delta v)$.
Есть ещё второй закон Ньютона в импульсной форме $\Delta p=F\Delta t$. Там сила вообще меняться будет, да и время некуда пристроить.
В общем, прошу ещё подсказку.

-- 19.07.2015, 14:34 --

Задача №5

Цитата:

Определите ближайший день наилучшей утренней видимости Венеры, зная гелиоцентрические долготы на 1 января Венеры (260°40') и Земли (99°55').

Правильно ли я нарисовал рисунок? Насколько я понимаю, наилучшая видимость Венеры будет достигнута в максимальной элонгации. Которая для Венеры определена и равна $\varepsilon=48°$.
Тогда, вот алгоритм решения:
1) Найти $\delta$ и $\Delta$ (гелиоцентрические долготы Венеры и Земли), при которых угол $\varepsilon$ будет равен $48°$.
2) Найти изменение гелиоцентрических долгот.
3) Связать это изменение с изменением времени.
4) Определить сколько времени прошло от 1 января.

Правильный ли этот алгоритм?

[Pphantom]

Atom001 в сообщении #1038473 писал(а):

Есть ещё импульс.

Не только, есть еще кое-что.

Atom001 в сообщении #1038473 писал(а):

Правильно ли я нарисовал рисунок?

Нет. Слово "гелиоцентрический", по идее, предполагает, что центр находится в Солнце, а не где-то еще, не так ли? Остальное в целом верно.